4.1.1三角形的有关概念及三边关系 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册\(\boldsymbol{3}\).\(\boldsymbol{3}\).2二次根式的混合运算专项练习##知识点回顾运算顺序：**先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内**。整式的运算法则、乘法公式在二次根式中全部适用：1.分配律：$\(m(a+b)=ma+mb\)$2.平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$\(\boldsymbol{3}\).完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2}$解题要点：1.乘除优先，加减最后；加减前必须化成最简二次根式，只合并同类二次根式；2.利用乘法公式可以简化计算；\(\boldsymbol{3}\).结果一定要化为**最简二次根式**，分母不含根号；4.注意符号，去括号仔细。满分：1\(\boldsymbol{0}\)\(\boldsymbol{0}\)分时间：4\(\boldsymbol{0}\)分钟##一、选择题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分）1.计算$\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{2})$的结果是（）A.$\sqrt{16}-\sqrt2$B.$2$C.$4-\sqrt2$D.$6$2.$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$等于（）A.$1$B.$2$C.$\(\boldsymbol{3}\)$D.$5-4$\(\boldsymbol{3}\).$(\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}+1)^2$的结果是（）A.$4$B.$4+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$C.$\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)$D.$\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$4.下列计算正确的是（）A.$\sqrt2+\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=\sqrt5$B.$\sqrt8\div\sqrt2=2$C.$\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt2=\(\boldsymbol{3}\)$D.$\sqrt2\times\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=\sqrt5$5.$(2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt6)\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$等于（）A.$2-\sqrt2$B.$2-\sqrt6$C.$\sqrt2$D.$2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2$##二、填空题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分）1.$(\sqrt{\(\boldsymbol{7}\)}+\(\boldsymbol{3}\))(\sqrt\(\boldsymbol{7}\)-\(\boldsymbol{3}\))=$________。2.$(\sqrt5-\sqrt2)^2=$________。\(\boldsymbol{3}\).$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}(\sqrt{12}-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))=$________。4.$(\(\boldsymbol{3}\)+\sqrt2)(\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2)=$________。5.$\sqrt{24}\times\dfrac12-\sqrt6=$________。##三、基础解答题（每题8分，共\(\boldsymbol{3}\)2分）1.计算：（1）$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}(\sqrt6-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))$（2）$\sqrt{8}(\sqrt2-\sqrt{\dfrac12})$2.计算：（1）$(2+\sqrt\(\boldsymbol{3}\))(2-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))$（2）$(\sqrt5+\sqrt2)^2$\(\boldsymbol{3}\).计算：（1）$(\sqrt{2\(\boldsymbol{7}\)}-\sqrt{12})\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$（2）$(\sqrt{18}-\sqrt8)\times\sqrt2$4.计算：$\sqrt{12}+\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\times(\sqrt6-\sqrt2)$##四、拓展提升题（每题14分，共28分）1.计算：$(\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}+\sqrt2)^2-(\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2)^2$2.已知$a=\sqrt2+1$，求代数式$a^2-2a+1$的值。---#参考答案与解析##一、选择题1.B解析：$\sqrt2\times\sqrt8-\sqrt2\times\sqrt2=\sqrt{16}-2=4-2=2$2.A解析：平方差，$(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$\(\boldsymbol{3}\).B解析：完全平方，$(\sqrt\(\boldsymbol{3}\))^2+2\sqrt\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)^2=\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)=4+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$4.B解析：A不能合并；C结果$2\sqrt2$；D结果$\sqrt6$5.A解析：$2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt6\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=2-\sqrt2$##二、填空题1.$\boldsymbol{-2}$2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)-2\sqrt{1\(\boldsymbol{0}\)}}$\(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)}$5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{0}\)}$##三、基础解答题1.（1）$\begin{align}\text{原式}&=\sqrt{18}-\sqrt9\\&=\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\(\boldsymbol{3}\)\end{align}$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\(\boldsymbol{3}\)}$（2）$\begin{align}\text{原式}&=\sqrt8\times\sqrt2-\sqrt8\times\sqrt{\dfrac12}\\&=\sqrt{16}-\sqrt4=4-2=\boldsymbol{2}\end{align}$2.（1）原式$=2^2-(\sqrt\(\boldsymbol{3}\))^2=4-\(\boldsymbol{3}\)=\boldsymbol{1}$（2）原式$=(\sqrt5)^2+2\sqrt5\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2=\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)+2\sqrt{1\(\boldsymbol{0}\)}}$\(\boldsymbol{3}\).（1）$\begin{align}\text{原式}&=\sqrt{2\(\boldsymbol{7}\)}\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt{12}\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\\&=\sqrt9-\sqrt4=\(\boldsymbol{3}\)-2=\boldsymbol{1}\end{align}$（2）$\begin{align}\text{原式}&=\sqrt{18}\times\sqrt2-\sqrt8\times\sqrt2\\&=\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)6}-\sqrt{16}=6-4=\boldsymbol{2}\end{align}$4.解：$\begin{align}\text{原式}&=2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\sqrt{18}-\sqrt6\\&=2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt6\end{align}$$\boldsymbol{2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt6}$##四、拓展提升题1.解：方法一：完全平方展开$\begin{align}\text{原式}&=(\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt6+2)-(\(\boldsymbol{3}\)-2\sqrt6+2)\\&=5+2\sqrt6-5+2\sqrt6=\boldsymbol{4\sqrt6}\end{align}$2.解：$a^2-2a+1=(a-1)^2$代入$a=\sqrt2+1$$\begin{align}\text{原式}&=(\sqrt2+1-1)^2=(\sqrt2)^2=\boldsymbol{2}\end{align}$##易错警示1.混合运算顺序不能乱，**先乘除，后加减**；2.乘法公式可以直接套用，简化计算；\(\boldsymbol{3}\).不要把被开方数直接加减；4.除法分配律只适用于**分子是和差、分母是单项式**的情况，不能反过来拆分分母；5.结果必须化为最简二次根式。下一节：**第4章一元二次方程4.1.1一元二次方程的概念**，继续同模板吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.1.1三角形的有关概念及三边关系授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形123理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形．（重点）理解三角形按边的数量关系分类；（重点）掌握三角形三边关系并运用它解决相关问题。（难点）导入新课观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.02新知导入不在同一直线上议一议观察下图，在图中找出几个三角形.构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？首尾相接03新知探究探究一三角形的概念及表示方法不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.

03新知探究

通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.03新知探究两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边.两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.03新知探究三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.

等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.注意03新知探究探究二三角形三边之间的关系思考在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度.这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？基本事实：两点之间，线段最短AB+AC>BC,AB+BC>AC,AC+BC>AB.03新知探究三角形三边之间的关系:三角形的任意两边之和大于第三边.三角形的任意两边之差有什么关系？三角形的任意两边之差小于第三边.03新知探究

三角形三边之间的关系:三角形的任意两边之和大于第三边.三角形的任意两边之差小于第三边.03新知探究

例1

1.

下列由三条线段组成的图形是三角形的是(

)CA.

B.

C.

D.

返回返回2.如图所示，以A为顶点的三角形有______个，以∠C为内角的三角形有________________________．在△ACE中，AC所对的角是________，∠C所对的边是________，以线段AD为边的三角形有____________________．6

△ABD，△ADE，△ADC返回3．如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(

)A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形D03新知探究探究三三角形的高、角平分线、中线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.

03新知探究做一做

03新知探究在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.

03新知探究在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.

03新知探究说一说任意画一个三角形，画出三条边上的中线.你发现了什么？它们相交于一点.03新知探究三角形的三条中线相交于一点.这三条中线的交点叫作三角形的重心.

三角形的重心一定在三角形的内部.注意03新知探究例2

03新知探究例2

新知应用基础巩固题1.下列图形属于三角形的是().BA.&1&

B.&2&

C.&3&

D.&4&

2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8

（）不能能能不能不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形的任意两边之和大于第三边

新知应用基础巩固题3.五条线段的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线段为边长可以构成____个三角形.34.如图所示的三角形中，是等腰三角形的有________.（填序号）①②④三角形的任意两边之和大于第三边注意：等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.新知应用基础巩固题5.如图.（1）图中共有___个三角形，它们分别__________________________________________________；（2）以AD为边的三角形有_______________________；（3）∠AED是的______，______内角.6△ABD、△ADE