3.2.2 公式法 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.2.2公式法##✅知识点###1.求根公式推导来源对一元二次方程$ax^2+bx+c=0\(a\neq0)$用**配方法**推导得到求根公式：$$\boldsymbol{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-\(\boldsymbol{4}\)ac}}{2a}}$$###2.根的判别式$\boldsymbol{\Delta=b^2-\(\boldsymbol{4}\)ac}$（Delta）-$\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等**的实数根-$\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等**的实数根-$\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**没有实数根**>⚠️必须先把方程化成**一般形式$ax^2+bx+c=0$**\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)再确定$\(a,b,c\)$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)**注意带上正负号！**###3.公式法解题步骤1.**化一般式**：整理成$ax^2+bx+c=0$；2.**定系数**：写出$\(a,b,c\)$；3.**算判别式**：$\Delta=b^2-\(\boldsymbol{4}\)ac$；\(\boldsymbol{4}\).**判断**：-$\Delta\ge0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)代入求根公式计算；-$\Delta<0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)直接写**无实数根**；5.写出两根$x_1,x_2$。>口诀：**化一般\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)找abc；算德尔塔\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)判根情；套公式\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)解方程**---##专项练习###一、选择题1.一元二次方程$3x^2-2x-1=0$中\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$\(a,b,c\)$分别是（）A.$3,-2,-1$B.$\(3,2,1\)$C.$3,-2,1$D.$-3,-2,-1$2.方程$x^2-\(\boldsymbol{4}\)x+\(\boldsymbol{4}\)=0$的判别式$\Delta$的值为（）A.$16$B.$8$C.$0$D.$-16$3.一元二次方程$2x^2+3x+2=0$根的情况是（）A.两个不等实根B.两个相等实根C.无实数根D.无法确定\(\boldsymbol{4}\).用公式法解方程$x^2-5x=6$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$b^2-\(\boldsymbol{4}\)ac=$（）A.$25$B.$\(\boldsymbol{4}\)9$C.$1$D.$-2\(\boldsymbol{4}\)$###二、填空题5.方程$2x^2-5x+1=0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$a=\_\_\_,b=\_\_\_,c=\_\_\_$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$\Delta=\_\_\_$。6.方程$x^2+2x=0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$\Delta=\boldsymbol{\_\_\_}$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)方程根为________。7.若一元二次方程$x^2-2x+m=0$有两个不相等实数根\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)则$m$取值范围_______。###三、基础解答题（公式法解方程）8.$x^2-2x-8=0$9.$2x^2+5x-3=0$10.$x^2-6x+9=0$###四、中档解答题11.$3x^2-2x-2=0$12.$2x^2-7x+3=0$13.$x^2-3x+\(\boldsymbol{4}\)=0$###五、拓展题1\(\boldsymbol{4}\).已知关于$x$的方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)（1）当$k$取何值时\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)方程有实数根？（2）当$k$取何值时\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)方程有两个相等实数根？---#参考答案与解析###选择题1.**A**解析：$3x^2-2x-1=0\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)a=3,b=-2,c=-1$2.**C**解析：$\Delta=(-\(\boldsymbol{4}\))^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\times\(\boldsymbol{4}\)=16-16=0$3.**C**解析：$\Delta=3^2-\(\boldsymbol{4}\)\times2\times2=9-16=-7<0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)无实数根\(\boldsymbol{4}\).**B**解：整理$x^2-5x-6=0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$\Delta=(-5)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\times(-6)=25+2\(\boldsymbol{4}\)=\(\boldsymbol{4}\)9$###填空题5.$\boldsymbol{2,-5,1,17}$$\Delta=(-5)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times2\times1=25-8=17$6.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{4}\)}$；$\boldsymbol{x_1=0,x_2=-2}$$\Delta=2^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\times0=\(\boldsymbol{4}\)$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)$x=\dfrac{-2\pm\sqrt\(\boldsymbol{4}\)}{2}=-1\pm1$7.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{m<1}\)}$$\Delta=(-2)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\timesm>0\Rightarrow\(\boldsymbol{4}\)-\(\boldsymbol{4}\)m>0\Rightarrow\(\boldsymbol{m<1}\)$###解答题8.$x^2-2x-8=0$$a=1,b=-2,c=-8$$\Delta=(-2)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\times(-8)=\(\boldsymbol{4}\)+32=36>0$$$x=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm6}{2}$$$x_1=\(\boldsymbol{4}\),\x_2=-2$9.$2x^2+5x-3=0$$a=2,b=5,c=-3$$\Delta=5^2-\(\boldsymbol{4}\)\times2\times(-3)=25+2\(\boldsymbol{4}\)=\(\boldsymbol{4}\)9>0$$$x=\frac{-5\pm7}{\(\boldsymbol{4}\)}$$$x_1=\frac{-5+7}{\(\boldsymbol{4}\)}=\frac12,\x_2=\frac{-5-7}{\(\boldsymbol{4}\)}=-3$10.$x^2-6x+9=0$$a=1,b=-6,c=9$$\Delta=(-6)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\times9=36-36=0$$$x=\frac{6\pm0}{2}=3$$$x_1=x_2=3$11.$3x^2-2x-2=0$$a=3,b=-2,c=-2$$\Delta=(-2)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times3\times(-2)=\(\boldsymbol{4}\)+2\(\boldsymbol{4}\)=28>0$$$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{2\pm2\sqrt7}{6}=\frac{1\pm\sqrt7}{3}$$$x_1=\dfrac{1+\sqrt7}{3},\x_2=\dfrac{1-\sqrt7}{3}$12.$2x^2-7x+3=0$$a=2,b=-7,c=3$$\Delta=(-7)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times2\times3=\(\boldsymbol{4}\)9-2\(\boldsymbol{4}\)=25>0$$$x=\frac{7\pm5}{\(\boldsymbol{4}\)}$$$x_1=3,\x_2=\frac12$13.$x^2-3x+\(\boldsymbol{4}\)=0$$a=1,b=-3,c=\(\boldsymbol{4}\)$$\Delta=(-3)^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\times\(\boldsymbol{4}\)=9-16=-7<0$$\therefore$方程**无实数根**1\(\boldsymbol{4}\).解：$a=1,b=-2(k-1),c=k^2$$$\Delta=\big[-2(k-1)\big]^2-\(\boldsymbol{4}\)\times1\timesk^2$$$$=\(\boldsymbol{4}\)(k^2-2k+1)-\(\boldsymbol{4}\)k^2=\(\boldsymbol{4}\)k^2-8k+\(\boldsymbol{4}\)-\(\boldsymbol{4}\)k^2=-8k+\(\boldsymbol{4}\)$$(1)方程有实数根：$\Delta\ge0$$-8k+\(\boldsymbol{4}\)\ge0\Rightarrow\boldsymbol{k\le\dfrac12}$(2)两个相等实数根：$\Delta=0$$-8k+\(\boldsymbol{4}\)=0\Rightarrow\boldsymbol{k=\dfrac12}$##📌考试易错点1.找$\(a,b,c\)$一定要带符号！如$-2x$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)则$b=-2$；2.判别式$\Delta=b^2-\(\boldsymbol{4}\)ac$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)是**减\(\boldsymbol{4}\)ac**\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)容易错写成$b^2-\(\boldsymbol{4}\)a\timesc$时符号出错；3.求根公式分子是$\boldsymbol{-b\pm\sqrt{\Delta}}$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)负号不要漏掉；\(\boldsymbol{4}\).$\Delta<0$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)直接写**没有实数根**\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)不要继续套公式计算。>简答模板：先化为一元二次方程一般形式\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)确定系数$\(a,b,c\)$\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)计算判别式\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)判断根的情况\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)代入求根公式求解。下一节：因式分解法\(3x^2-2x-1=0，a=3,b=-2,c=-1\)继续吗？或者我给你一份不带答案的公式法专项练习？湘教版（新教材）数学九年级上册3.2.2公式法授课教师：.

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9年级（

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程123经历一元二次方程求根公式的推导过程，培养逻辑推理能力（难点）掌握一元二次方程求根公式，能熟练运用公式法解一元二次方程（重点）

导入新课用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方整理开方求解定解化1

让我们一起来探究它。