3.2.3 因式分解法 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.2.3因式分解法##✅知识点###1.原理**如果两个因式的积等于0，那么至少其中一个因式为0**若$A\cdot\(\boldsymbol{B=0}\)$，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{A=0}\)}$或$\boldsymbol{\(\boldsymbol{B=0}\)}$。>适用：一元二次方程整理后，左边能因式分解，右边等于0。###2.因式分解法解方程步骤1.**移项**：把所有项移到左边，使方程右边=0；2.**分解**：左边多项式因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式）；3.**降次**：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；4.**求解**：解两个一次方程，得到原方程的根。###常用因式分解公式-提公因式：$\(ax+bx=x(a+b)\)$-平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$-完全平方：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2$>⚠️重要提醒：**不要随便两边同时除以含未知数的代数式，会丢根！**例：$x(x-2)=3(x-2)$，不能直接除以$(x-2)$，否则丢掉$\(x=2\)$这个根。---##专项练习###一、选择题1.方程$(x-1)(x+2)=0$的解是（）A.$\(x=1\)$B.$x=-2$C.$x_1=1,x_2=-2$D.$x_1=-1,x_2=2$2.解方程$x^2=3x$，移项因式分解，正确是（）A.$x(x-3)=0$B.$x^2-3\(x=1\)$C.$\(x(x+3)=0\)$D.$x-3=0$3.方程$x^2-9=0$因式分解后为（）A.$(x-3)^2=0$B.$(x+3)(x-3)=0$C.$x(x-9)=0$D.$(x+9)(x-9)=0$4.方程$(2x-1)^2=0$的根是（）A.$x=\dfrac12$B.$x_1=x_2=\dfrac12$C.$x_1=\dfrac12,x_2=-\dfrac12$D.无实根###二、填空题\(\boldsymbol{5}\).$\(x(x+\(\boldsymbol{5}\))=0\)$，方程的根：________。6.$x^2-4\(x=0\)$，因式分解：________，根为________。7.$(x-3)^2=4$，移项用平方差分解：$(x-3+2)(x-3-2)=0$，根为________。###三、基础解答题（因式分解法解方程）8.$x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x=0\)$9.$x^2-16=0$10.$x^2-6x+9=0$###四、中档解答题11.$(x-2)^2=3(x-2)$12.$2x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x+2=0\)$13.$(2x+1)^2=(x-3)^2$###五、拓展题14.已知直角三角形两条直角边长是方程$x^2-7x+12=0$的两根，求这个直角三角形的斜边长度。---#参考答案与解析###选择题1.**C**解析：$x-1=0$或$\(x+2=0\)$，$x_1=1,x_2=-2$2.**A**解析：移项$x^2-3\(x=0\)$，提公因式$x(x-3)=0$3.**B**解析：平方差公式$x^2-3^2=(x+3)(x-3)$4.**B**解析：完全平方，两个相等实数根。###填空题\(\boldsymbol{5}\).$\boldsymbol{x_1=0,\x_2=-\(\boldsymbol{5}\)}$6.$\boldsymbol{x(x-4)=0}$；$\boldsymbol{x_1=0,x_2=4}$7.$\boldsymbol{x_1=\(\boldsymbol{5}\),\x_2=1}$$(x-1)(x-\(\boldsymbol{5}\))=0\Rightarrowx_1=1,x_2=\(\boldsymbol{5}\)$###解答题8.$x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x=0\)$提公因式：$x(x-\(\boldsymbol{5}\))=0$$\(x=0\)$或$x-\(\boldsymbol{5}\)=0$$\boldsymbol{x_1=0,\x_2=\(\boldsymbol{5}\)}$9.$x^2-16=0$平方差：$(x+4)(x-4)=0$$\(x+4=0\)$或$x-4=0$$\boldsymbol{x_1=-4,\x_2=4}$10.$x^2-6x+9=0$完全平方：$(x-3)^2=0$$\boldsymbol{x_1=x_2=3}$11.$(x-2)^2=3(x-2)$移项：$(x-2)^2-3(x-2)=0$提公因式：$(x-2)(x-2-3)=0$$(x-2)(x-\(\boldsymbol{5}\))=0$$x-2=0$或$x-\(\boldsymbol{5}\)=0$$\boldsymbol{x_1=2,\x_2=\(\boldsymbol{5}\)}$12.$2x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x+2=0\)$十字相乘：$(2x-1)(x-2)=0$$2x-1=0$或$x-2=0$$\boldsymbol{x_1=\dfrac12,\x_2=2}$13.$(2x+1)^2=(x-3)^2$移项：$(2x+1)^2-(x-3)^2=0$平方差：$[2x+1+(x-3)][2x+1-(x-3)]=0$$(3x-2)(x+4)=0$$3x-2=0$或$\(x+4=0\)$$\boldsymbol{x_1=\dfrac23,\x_2=-4}$14.解：$x^2-7x+12=0$因式分解：$(x-3)(x-4)=0$$x_1=3,x_2=4$两直角边为3、4。斜边$=\sqrt{3^2+4^2}=\(\boldsymbol{5}\)$答：斜边长为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{5}\)}$。##📌考试易错点1.方程**右边必须等于0**才能因式分解；2.不能直接约掉含未知数因式，会丢失一个根；3.遇到$()^2=()^2$，移项用平方差，不要直接开平方（两种方法都可以，本节要求因式分解）；4.两个相等实数根要写$x_1=x_2=\dots$。>简答模板：移项使方程右边为0，左边因式分解，令每个因式等于0，解两个一元一次方程，得到方程的根。下一节：**一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，要继续吗？或者给你一份无答案自测卷？湘教版（新教材）数学九年级上册3.2.3因式分解法授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程12理解用因式分解法解一元二次方程的依据（重点）掌握用因式分解法解一元二次方程的基本步骤（重点）导入新课我们学了因式分解，你还记得吗？问题1：什么叫做分解因式？问题2：因式分解的方法有哪些？把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.(1)提取公因式法(2)公式法:平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)

完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2探究新知探究一：因式分解法

探究新知探究一：因式分解法像上面这样,利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

探究新知探究一：因式分解法

对比两种解法,因式分解法步骤更少、计算量更小,解题更加简便。公式法需要确定系数、计算判别式、代入公式,流程相对繁琐;该方程结构适合因式分解,优先选择因式分解法。探究新知方法总结：

知识点1

用因式分解法解一元二次方程的依据1.

用因式分解法解方程,下列过程正确的是(

)A

返回

A

返回知识点2

用因式分解法解一元二次方程

C

返回探究新知探究二：用因式分解法解方程

探究新知探究二：用因式分解法解方程

探究新知探究二：用因式分解法解方程

探究新知探究二：用因式分解法解方程

探究新知探究二：用因式分解法解方程

探究新知方法总结：1.标准解题步骤：移项（右边化为0）→因式分解→分别令因式为0→解一元一次方程。2.常用分解技巧：优先使用提公因式法、平方差公式,简单二次三项式可尝试十字相乘法。3.易错警示：解方程时严禁两边直接除以含未知数的因式,避免丢失根;注意符号书写规范。4.解法选择：方程易分解时,因式分解法相比配方法、公式法更简便快捷。基础巩固题新知应用

2.用因式分解法解方程2x

(x+2)+3x+6=0，可得（

）A.(x+2)(2x+3)=0

B.(x+2)(5x+6)=0C.2x²+7x+6=0D.6x(x+2)=0A解析

因式分解2x

(x+2)+3x+6=2x(x+2)+3

(x+2)=(x+2)(2x+3)，则原方程可化为

(x+2)(2x+3)=0，故选A.基础巩固题新知应用3.下列过程正确的是(

)A．由(2x－3)(3x－4)＝0得2x－3＝0或3x－4＝0B．由(x＋3)(x－1)＝1得x＋3＝0或x－1＝1C．由(x－2)(x－3)＝2×3得x－2＝2或x－3＝3D．由x(x＋2)＝0得x＋2＝0A4.方程

x²-7x+10=0的两个根是

（

）A.

x₁=2，x₂=5B.

x₁=﹣2，x₂=﹣5C.x₁=2，x₂=﹣5D.x₁=﹣2，x₂=5A如果

a·

b=0，那么a=0

或b=0.十字相乘法基础巩固题新知应用

A

6．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(

)A．(x＋10)(x－6) B．(x－10)(x＋6)C．(x＋10)(x＋6) D．(x－10)(x－6)B十字相乘法x2+bx+c=

(x-d)(x-h)

11

当方程两边有相同的因式时，不能同除以这个因式，否则容易漏解.返回

2返回知识点3

用合适的方法解一元二次方程

AA.

①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B.

①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法C.

①④因式分解法，②公式法，③配方法D.

①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法返回7.

用合适的方法解下列方程：

返回

BA.

第一、三象限

B.

第二、四象限C.

第一象限

D.

第四象限

返回

A

运用换元法解一元二次方程时，先要找出相同的部分，看成一个