4.3.5 全等三角形的应用 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册4.3.5全等三角形的应用专项练习##知识点回顾###核心思路利用**全等三角形的性质：对应边相等\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)对应角相等**，来**测量不能直接量的距离\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)证明线段相等\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)证明角相等**。常见实际模型：1.**测池塘两端距离**（对顶角模型，SAS）2.**卡钳测内径**（对顶角模型，SAS）3.证明线段相等\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)角相等：先证三角形全等，再用全等性质得到结论。✅解题步骤：①从实际场景抽象出两个三角形；②找出条件，证明两个三角形全等（SSS/SAS/ASA/AAS）；③利用全等，把不能直接测量的线段转化为可测量线段。>全等判定汇总：SSS\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)SAS\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)ASA\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)AAS>❌不能判定：SSA\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)AAA满分：100分，时间：40分钟##一\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)选择题（每题4分，共20分）1.利用全等测距离，主要依据是（）A.全等三角形周长相等B.全等三角形对应边相等C.全等三角形面积相等D.全等三角形具有稳定性2.卡钳测量工件内槽宽，构造全等三角形用的判定方法一般是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.要证明两条线段相等，常用方法是（）A.直接目测B.证明它们所在的两个三角形全等C.只要长度看起来一样就相等D.三个角相等就可以推出边相等4.如图，测池塘$A\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)B$距离，取点$C$，使$\(AC=DC\)$，$\(BC=EC\)$，连接$DE$，则$\(AB=DE\)$，依据是（）A.SASB.SSSC.ASAD.AAS5.下列不能用全等三角形解决的是（）A.测量池塘两端距离B.证明两个角相等C.计算三角形内角和D.证明两条线段相等##二\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)填空题（每题4分，共20分）1.利用全等三角形解决实际测量问题，原理是全等三角形________相等。2.卡钳测内径，利用的相等角是________。3.证明线段或角相等，常常先证明它们所在的两个三角形________。4.测池塘距离模型中，构造全等一般用________判定。5.全等三角形对应角相等，可以用来证明两直线________。##三\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)基础解答题（每题8分，共32分）1.【池塘测距】要测池塘$A\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)B$两点距离，在地面取一点$C$，使$\(AC=EC\)$，$\(BC=DC\)$。求证：$\(AB=ED\)$。2.已知：$AB\perpAD$，$ED\perpAD$，$\(AB=DE\)$，$\angleB=\angleE$。求证：$\(BC=EF\)$。3.已知：$AC\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)BD$相交于$O$，$\(OA=OB\)$，$\(OC=OD\)$。求证：$\angleA=\angleB$。4.小明用两根长度相等的木棍，中点钉在一起做成卡钳，解释为什么卡钳两端的距离等于工件内槽宽度。##四\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)拓展提升题（每题14分，共28分）1.已知：$\(AB=CD\)$，$AB\parallelCD$。求证：$\(AD=BC\)$。2.如图，$AC\perpBC$，$AD\perpBD$，垂足分别为$C\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)D$，$\(AC=BD\)$。求证：$\(AD=BC\)$。---#参考答案与解析##一\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)选择题1.B2.B3.B4.A5.C##二\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)填空题1.**对应边**2.**对顶角**3.**全等**4.**SAS**5.**平行**##三\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)基础解答题1.证明：在$\triangleABC$和$\triangleEDC$中$\begin{cases}\(AC=EC\)(\text{已知})\\\angleACB=\angleECD(\text{对顶角相等})\\\(BC=DC\)(\text{已知})\end{cases}$$\therefore\triangleABC\cong\triangleEDC(\text{SAS})$$\therefore\(AB=ED\)$（全等三角形对应边相等）2.证明：$\becauseAB\perpAD，ED\perpAD，\therefore\angleA=\angleD=90^\circ$在$\triangleABC$和$\triangleDEF$中$\begin{cases}\angleA=\angleD(\text{已证})\\\(AB=DE\)(\text{已知})\\\angleB=\angleE(\text{已知})\end{cases}$$\therefore\triangleABC\cong\triangleDEF(\text{ASA})$$\therefore\(BC=EF\)$（全等三角形对应边相等）3.证明：在$\triangleAOD$和$\triangleBOC$中$\begin{cases}\(OA=OB\)(\text{已知})\\\angleAOD=\angleBOC(\text{对顶角相等})\\OD=OC(\text{已知})\end{cases}$$\therefore\triangleAOD\cong\triangleBOC(\text{SAS})$$\therefore\angleA=\angleB$（全等三角形对应角相等）4.解：两根木棍中点相连，所以两组线段相等；中点处是对顶角相等，SAS证两个三角形全等，对应边相等，所以卡钳开口距离等于工件内槽宽度。##四\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)拓展提升题1.证明：$\becauseAB\parallelCD$，$\therefore\angleBAC=\angleDCA$（两直线平行，内错角相等）在$\triangleABC$和$\triangleCDA$中$\begin{cases}\(AB=CD\)(\text{已知})\\\angleBAC=\angleDCA(\text{已证})\\AC=CA(\text{公共边})\end{cases}$$\therefore\triangleABC\cong\triangleCDA(\text{SAS})$$\therefore\(AD=BC\)$（全等三角形对应边相等）2.证明：$\becauseAC\perpBC，AD\perpBD，\therefore\angleC=\angleD=90^\circ$在$Rt\triangleACB$和$Rt\triangleBDA$中$\begin{cases}AB=BA(\text{公共边})\\\(AC=BD\)(\text{已知})\end{cases}$$\thereforeRt\triangleACB\congRt\triangleBDA(\text{HL})$$\therefore\(AD=BC\)$（全等三角形对应边相等）##易错警示1.实际应用题，**先转化成几何图形**，不要直接写结论；2.证明线段\(A\(AC\(C、D\)BD\)B\)角相等，**必须先证全等**，再写“全等三角形对应边/角相等”；3.测距模型几乎都是SAS，核心条件是**对顶角相等**。下一节：**4.4用尺规作三角形**，继续同模板吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.3.5全等三角形的应用授课教师：.

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8年级（

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学

习

目

标12灵活构造全等三角形，将不可测距离化为可测距离（重点）学会构建全等三角形模模型思想，解决相关的实际问题（难点）全等三角形的判定方法

SAS（边角边）

ASA（角边角）AAS（角角边

）

SSS（边边边）

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.有两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.新知探究有三边对应相等的两个三角形全等.

在生活中，有时可以利用全等三角形的有关知识帮助我们解决一些实际问题.03新知探究如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么?问题1：CD的长就是河的宽度表明了什么样的等量关系？CD=AB问题2：怎么证明两条边相等？全等三角形的性质03新知探究如图，为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么?问题3：证明哪两个三角形全等可证得CD=AB？△AEB≌△CED问题4：你能完成这道习题吗？03新知探究

03新知探究小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是例8尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？问题1：要求的内径是图中哪条线段(可作辅助线)？CD（连接CD）问题2：题目表明只要量出AB的长就可以知道玻璃瓶的内径是多少实际需要我们验证哪个等量关系？03新知探究

D

返回2.

风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告：项目主题实物的测量与计算驱动问题如何测量风力发电基础底座的直径活动内容利用三角形全等的知识进行测量与计算活动过程如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径．①从点A处向正西方向步行4m到达点C处；②从点B处向正东方向步行4m到达点D处；③从点D处沿正南方向步行一定距离到达点E处，F为DE的中点；④从点E处沿正东方向步行16m到达点G处，此时C，F，G三点在一条直线上(1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长．【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE.因为F为DE的中点，所以DF＝EF.在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF，DF＝EF，∠CFD＝∠GFE，所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16m.因为AC＝BD＝4m，所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)．返回(2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据)【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可．03新知探究在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到例9B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么?03新知探究问题1：AB与水平线的夹角是哪个角？为什么？∠BAE，从A点出发，水平线是AE,所以夹角是∠BAE问题2：BC与水平线的夹角是哪个角？问题3：点B不在水平线AE上，如何定义这个夹角？03新知探究解：如图，过点

B

作

BF⊥AC，交

AC

于点

F，则∠CFB=∠AFB=90°.又∠CFB=∠CAE=90°，所以

FB//AE，从而∠ABF=∠BAE.因为两盏灯的光线

AB，BC

与水平线的夹角相等，所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF=∠ABF.03新知探究

新知应用基础巩固题

C构造全等三角形（AAS或ASA）模型新知应用基础巩固题

B构造全等三角形（AAS或ASA）模型新知应用基础巩固题

3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，