21.1 认识一元二次方程 课件 -2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

#华东师大版九年级上册数学21.1《认识一元二次方程》专项练习（全文1444字）##一\(3\(x、y\)-3\)知识点梳理只含有**一个未知数**\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)并且未知数的最高次数是**2**的整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)叫做一元二次方程。一元二次方程必须同时满足三个条件：第一\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)是整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)分母中不能含有未知数\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)根号内不能含有未知数；第二\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)只含有一个未知数；第三\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)未知数最高次数为2\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)且二次项系数不能等于0。一元二次方程的一般形式：$\boldsymbol{ax^2+\(bx+c=0\)}$（$\boldsymbol{a\neq0}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a\(3\(x、y\)-3\)b\(3\(x、y\)-3\)c$为常数）。其中$ax^2$叫做二次项\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a$是二次项系数；$bx$叫做一次项\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$b$是一次项系数；$c$叫做常数项。注意：一般形式右边必须整理为0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)左边按未知数降幂排列；$a\neq0$是核心条件\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)如果$\(a=0\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)方程变成$\(bx+c=0\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)就退化为一元一次方程。$b$\(3\(x、y\)-3\)$c$可以等于0。使一元二次方程左右两边相等的未知数的值\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)叫做一元二次方程的根（解）。判断一个数是不是方程的根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)只需要把数值代入方程左右两边\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)看两边是否相等。利用方程的根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)可以代入方程求代数式的值或者求方程里未知参数。列一元二次方程解实际问题：审题找到等量关系\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)设未知数\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)列出等式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)整理成整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)再判断是否为一元二次方程。常见模型：面积问题\(3\(x、y\)-3\)增长率问题\(3\(x、y\)-3\)数字问题。本节高频易错点：①判断方程类型时忽略二次项系数$a≠0$；②整理一般形式时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)忘记移项\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)右边不为0；③找系数时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)没有先化成一般形式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)符号出错；④分式方程\(3\(x、y\)-3\)带根号含未知数的方程误认为一元二次方程；⑤误认为一元二次方程一定有两个根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)根可以相等；⑥代入根求值时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)计算符号出错。##二\(3\(x、y\)-3\)基础选择题1.下列方程属于一元二次方程的是（）A.$\(\(x+2\)y=1\)$B.$x^2-5=0$C.$\dfrac1{x^2}+x=3$D.$x^3+2x=0$2.将方程$3x^2=5x-1$化为一般形式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)二次项系数\(3\(x、y\)-3\)一次项系数\(3\(x、y\)-3\)常数项依次是（）A.$3,5,-1$B.$3,-5,1$C.$3,-5,-1$D.$\(3,5,1\)$3.已知$\(x=2\)$是方程$x^2-ax+6=0$的一个根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$a$的值为（）A.$5$B.$-5$C.$7$D.$-7$4.若方程$(m-2)x^{m^2-2}+3x-1=0$是一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$m$的值为（）A.$2$B.$-2$C.$\p\(\mathrm{m^2}\)$D.$0$5.一个矩形的长比宽多2\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)面积是15\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)设宽为$x$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)所列方程正确的是（）A.$x(x-2)=15$B.$\(x(\(x+2\))=15\)$C.$\(2\(x+2\)(\(x+2\))=15\)$D.$x^2+(\(x+2\))^2=15$##三\(3\(x、y\)-3\)填空题1.一元二次方程$2x^2-7x+3=0$的二次项系数是____\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项是____\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项是____。2.把方程$x(x-3)=4$化成一般形式：________________。3.若$\(x=1\)$是方程$x^2+kx-3=0$的根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$\(k=\)$________。4.方程$(k+1)x^2-2x+1=0$是一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$k$的取值范围是________。5.已知方程$x^2-9=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则下列数$3\(3\(x、y\)-3\)-3\(3\(x、y\)-3\)0\(3\(x、y\)-3\)1$中\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)是方程根的是________。##四\(3\(x、y\)-3\)解答题1.判断下列方程是否为一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)如果不是\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)请说明理由：（1）$x^2=0$；（2）$2x-3=5x^2$；（3）$\dfrac1{x^2}+2\(x=1\)$；（4）$x^2+y^2=1$2.将下列方程化为一元二次方程的一般形式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)并写出各项系数。（1）$x^2=4x$；（2）$(x-2)(x+3)=1$3.已知$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx-2=0$的一个根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)求代数式$a-b$的值。4.拓展探究：用长24m的篱笆围成一个矩形花圃\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)矩形面积为32$\mathrm{m^2}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)设矩形一边长为$x\mathrm{m}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)列出方程并化为一般形式。##五\(3\(x、y\)-3\)参考答案与解析###选择题1.B。解析：A二元一次；C分母含未知数是分式方程；D最高次数3\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)是一元三次方程。2.B。解析：移项得$3x^2-5x+1=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)二次项系数3\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项系数$-5$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项1。3.A。解析：代入$\(x=2\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$4-2a+6=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)解得$\(a=5\)$。4.B。解析：$\begin{cases}m^2-2=2\\m-2\neq0\end{cases}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$m^2=4$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$m≠2$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)所以$m=-2$。5.B。解析：宽$x$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)长$\(x+2\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)面积=长×宽\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$\(x(\(x+2\))=15\)$。###填空题1.$2$；$-7x$；$3$2.$x^2-3x-4=0$；解析：$x^2-3x=4$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)移项$x^2-3x-4=0$。3.$2$；解析：代入$\(x=1\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$1+k-3=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$\(k=\)2$。4.$k\neq-1$；解析：二次项系数$k+1≠0$。5.$3\(3\(x、y\)-3\)-3$；解析：代入验证\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$3^2-9=0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)(-3)^2-9=0$。###解答题1.（1）是一元二次方程；（2）是一元二次方程；（3）不是\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)分母含有未知数\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)属于分式方程；（4）不是\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)含有两个未知数$x\(3\(x、y\)-3\)y$。2.（1）一般形式：$x^2-4x=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)二次项系数$1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项系数$-4$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项$0$。（2）原式展开：$x^2+3x-2x-6=1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)整理得$x^2+x-7=0$；二次项系数$1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项系数$1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项$-7$。3.解：把$x=-1$代入方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)-2=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a-b-2=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)所以$a-b=2$。4.解：一边长$x$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)邻边长为$\dfrac{24}{2}-\(x=1\)2-x$列方程：$x(12-x)=32$整理：$12x-x^2=32$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一般形式：$x^2-12x+32=0$。##六\(3\(x、y\)-3\)易错总结判断一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)**三个条件缺一不可**\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)尤其牢记二次项系数$a≠0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)参数题经常在这里挖坑。化为一般形式时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)必须移项使方程右边等于0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)左边按降幂排列\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)写系数时要连同前面的正负符号。很多同学找常数项\(3\(x、y\)-3\)一次项系数时漏掉负号\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)直接写绝对值\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)造成失分。分式方程\(3\(x、y\)-3\)根号内含未知数的方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)无论次数多少\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)都不是整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)自然不是一元二次方程。利用方程的根解题\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)方法就是代入\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)把根代入方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)得到等式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)求参数或者代数式的值。列方程应用题\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)重点找准等量关系\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)面积题最常用“长×宽=面积”。注意一元二次方程一般形式中$b$或$c$可以为0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)例如$x^2=0$\(3\(x、y\)-3\)$3x^2-5x=0$都是一元二次方程。做题时看清题目问的是“一次项”还是“一次项系数”\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项是带$x$的整式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)系数只是数字。最后检验方程整理是否正确\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)移项要变号\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)展开多项式乘法不要漏乘。（全文1444字）下一节：**21.2.1直接开平方法解一元二次方程**\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)继续同格式1444字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学九年级上册21.1认识一元二次方程授课教师：.

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9年级（

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第21章一元二次方程123

能找到一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.能够判定一个数是否是一元二次方程的根，能从实际问题中抽象出一元二次方程.在七年级下册第5章，我们学习了一元一次方程。什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程.

回顾训练下列哪些是一元一次方程？一元一次方程

二元一次方程一元一次不等式分式方程02新知导入【做一做】在下列方程：①3x-y=2，②x2-2x-3=0，中，是一元一次方程的有哪些?方程④和⑤是一元一次方程.03新知探究探究一元二次方程的概念【问题1】绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m.求绿地的长和宽.【分析】我们可以通过列方程解决这类实际问题.设绿地的宽为xm，可列出方程x(x+10)=900,整理得x2+10x-900=0.①03新知探究【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.【分析】设这两年的年平均增长率为x.已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x)=5(1+x)2(万册).03新知探究可列得方程5(1+x)2=7.2，即5x2+10x-2.2=0.②【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.观察下面两个方程，思考回答下面问题。(1)上面两个方程是一元一次方程吗？(2)上面方程整理后含有几个未知数？(3)它的最高次数是几次？不是含有一个未知数最高次数是2次这是什么方程？x2+10x-900=0.①5x2+10x-2.2=0②03新知探究总结归纳一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，方程两边都是整式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.知识点1

一元二次方程的定义

CA.

①②

B.

②⑤

C.

③④

D.

③⑥

注意一元二次方程中二次项系数不为0.返回知识点2

一元二次方程的一般形式

B

D

返回03新知探究请分别指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项.x2+10x-900=0.①5x2+10x-2.2=0②二次项系数：1；一次项系数：10；常数项：-900.二次项系数：5；一次项系数：10；常数项：-2.2.03新知探究将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项:(1)3x2-x=2;(2)7x-3=2x2;(3)x(2x-1)-3x(x-2)