3.5.2图形面积和动态问题 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.5.2一元二次方程应用：图形面积+动态几何问题##✅知识点###一、图形面积问题核心思路：用含未知数的代数式表示图形的长、宽\(AB=8cm，BC=6cm\)利用**面积公式**列方程。常考类型：1.矩形\(AB=8cm，BC=6cm\)中间有道路（小路）：**平移法**\(AB=8cm，BC=6cm\)把道路移到边上\(AB=8cm，BC=6cm\)空白区域拼成新矩形。>若矩形长$a$\(AB=8cm，BC=6cm\)宽$b$\(AB=8cm，BC=6cm\)小路宽$x$\(AB=8cm，BC=6cm\)横向、纵向各一条小路：>新矩形长：$a-x$\(AB=8cm，BC=6cm\)宽：$b-x$\(AB=8cm，BC=6cm\)面积$S=(a-x)(b-x)$⚠️注意：道路是两条（一横一竖）\(AB=8cm，BC=6cm\)不要重复减去重叠小正方形面积。2.边框问题：图片外围加等宽边框\(AB=8cm，BC=6cm\)总面积=图片面积+边框面积。3.裁剪、折长方体：从矩形四角裁去边长$x$小正方形\(AB=8cm，BC=6cm\)折成无盖长方体长=原长$-2x$\(AB=8cm，BC=6cm\)宽=原宽$-2x$\(AB=8cm，BC=6cm\)高=$x$###二、动态几何动点问题一般：点在边上面运动\(AB=8cm，BC=6cm\)速度已知\(AB=8cm，BC=6cm\)设运动时间为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{t}\)}$\(AB=8cm，BC=6cm\)用$\(\boldsymbol{t}\)$表示线段长度\(AB=8cm，BC=6cm\)结合面积、勾股定理列一元二次方程。⚠️限制条件：动点不能跑出线段范围\(AB=8cm，BC=6cm\)解出$\(\boldsymbol{t}\)$后\(AB=8cm，BC=6cm\)**检验取值是否在合理区间**\(AB=8cm，BC=6cm\)舍去不合实际的根。---##专项练习###一、选择题1.一块矩形菜地长20m\(AB=8cm，BC=6cm\)宽1\(\boldsymbol{2\mathrm{m}}\)\(AB=8cm，BC=6cm\)四周修等宽小路\(AB=8cm，BC=6cm\)小路宽$x$m\(AB=8cm，BC=6cm\)菜地面积不变\(AB=8cm，BC=6cm\)则内部菜地长为（）A.$20-x$B.$20-2x$C.$12-2x$D.$\(20+2x\)$2.长方形纸片长30\(AB=8cm，BC=6cm\)宽20\(AB=8cm，BC=6cm\)四角剪边长$x$小正方形\(AB=8cm，BC=6cm\)折无盖盒子\(AB=8cm，BC=6cm\)盒子底面积代数式（）A.$(30-x)(20-x)$B.$(30-2x)(20-2x)$C.$30\\(\boldsymbol{t}\)imes20-4x^2$D.$(30-2x)(20-x)$3.直角三角形两直角边$AB=8cm\(AB=8cm，BC=6cm\)BC=6cm$\(AB=8cm，BC=6cm\)点$P$从$A$向$B$以1cm/s移动\(AB=8cm，BC=6cm\)$\(\boldsymbol{t}\)$秒后$AP=\(\boldsymbol{t}\)$\(AB=8cm，BC=6cm\)则$\(PB=\)$（）A.$\(\boldsymbol{t}\)$B.$8-\(\boldsymbol{t}\)$C.$6-\(\boldsymbol{t}\)$D.$8+\(\boldsymbol{t}\)$4.矩形地面长3\(\boldsymbol{2\mathrm{m}}\)\(AB=8cm，BC=6cm\)宽20m\(AB=8cm，BC=6cm\)一横一竖等宽小路\(AB=8cm，BC=6cm\)耕地面积$540\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)设路宽$x$\(AB=8cm，BC=6cm\)方程是（）A.$(32-x)(20-x)=540$B.$32\\(\boldsymbol{t}\)imes20-32x-20x=540$C.$(32-2x)(20-2x)=540$D.$32\\(\boldsymbol{t}\)imes20-x^2=540$###二、填空题5.矩形长18\(AB=8cm，BC=6cm\)宽10\(AB=8cm，BC=6cm\)四角剪边长$x$正方形折无盖长方体\(AB=8cm，BC=6cm\)则底面长=______\(AB=8cm，BC=6cm\)底面宽=______。6.矩形花园长40m\(AB=8cm，BC=6cm\)宽26m\(AB=8cm，BC=6cm\)修一横一竖小路\(AB=8cm，BC=6cm\)路宽$x$\(AB=8cm，BC=6cm\)空白种植面积$840\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)列方程________。7.直角三角形$ABC$\(AB=8cm，BC=6cm\)$\angleB=90^\circ$\(AB=8cm，BC=6cm\)$AB=12\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm},BC=16\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}$\(AB=8cm，BC=6cm\)点$P$从$A$向$B$\(AB=8cm，BC=6cm\)速度2cm/s；点$Q$从$B$向$C$\(AB=8cm，BC=6cm\)速度1cm/s\(AB=8cm，BC=6cm\)运动时间$\(\boldsymbol{t}\)$秒\(AB=8cm，BC=6cm\)$\(PB=\)$________\(AB=8cm，BC=6cm\)$\(BQ=\)$________。###三、基础应用题8.一块矩形铁皮长40cm\(AB=8cm，BC=6cm\)宽30cm\(AB=8cm，BC=6cm\)四角各截去一个相同的小正方形\(AB=8cm，BC=6cm\)折成无盖长方体盒子\(AB=8cm，BC=6cm\)底面积为$600\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)求截去小正方形边长。9.矩形草坪长\(\boldsymbol{30\mathrm{m}}\)\(AB=8cm，BC=6cm\)宽20m\(AB=8cm，BC=6cm\)中间修一条纵向等宽小路\(AB=8cm，BC=6cm\)余下草坪面积$504\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)求小路宽度。###四、中档应用题10.矩形场地长40m\(AB=8cm，BC=6cm\)宽26m\(AB=8cm，BC=6cm\)修筑同样宽的一条横向、一条纵向道路\(AB=8cm，BC=6cm\)余下部分做草坪\(AB=8cm，BC=6cm\)草坪总面积$840\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)求道路的宽。11.在$R\(\boldsymbol{t}\)\\(\boldsymbol{t}\)riangleABC$中\(AB=8cm，BC=6cm\)$\angleB=90^\circ$\(AB=8cm，BC=6cm\)$AB=8\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm},BC=6\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}$。点$P$从$A$沿$AB$向$B$以1cm/s移动\(AB=8cm，BC=6cm\)点$Q$从$B$沿$BC$向$C$以2cm/s移动\(AB=8cm，BC=6cm\)$\(P,Q\)$同时出发。几秒后$\\(\boldsymbol{t}\)rianglePBQ$面积等于$6\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}^2$？###五、拓展题12.用长40m篱笆\(AB=8cm，BC=6cm\)靠墙围矩形花圃（墙足够长）\(AB=8cm，BC=6cm\)垂直墙一边长$x\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}$\(AB=8cm，BC=6cm\)面积$150\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)求矩形两边长。---#参考答案与解析###选择题1.**B**\(AB=8cm，BC=6cm\)左右两边都有路\(AB=8cm，BC=6cm\)两边各减去$x$\(AB=8cm，BC=6cm\)一共减$2x$2.**B**\(AB=8cm，BC=6cm\)长和宽两端都剪掉$x$\(AB=8cm，BC=6cm\)都减$2x$3.**B**\(AB=8cm，BC=6cm\)$\(PB=\)AB-AP=8-\(\boldsymbol{t}\)$4.**A**\(AB=8cm，BC=6cm\)平移法\(AB=8cm，BC=6cm\)横向纵向各一条小路\(AB=8cm，BC=6cm\)长减$x$\(AB=8cm，BC=6cm\)宽减$x$###填空题5.$\boldsymbol{18-2x}$；$\boldsymbol{10-2x}$6.$\boldsymbol{(40-x)(26-x)=840}$7.$\boldsymbol{12-2\(\boldsymbol{t}\)}$；$\boldsymbol{\(\boldsymbol{t}\)}$###解答题8.解：设小正方形边长为$x\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}$\(AB=8cm，BC=6cm\)底面长$(40-2x)$\(AB=8cm，BC=6cm\)宽$(30-2x)$$$\begin{align*}(40-2x)(30-2x)&=600\\1200-140x+4x^2&=600\\4x^2-140x+600&=0\\x^2-35x+150&=0\\(x-5)(x-30)&=0\end{align*}$$$x_1=5,\x_2=30$\(AB=8cm，BC=6cm\)$\(x=30>30\)$不符合题意舍去答：截去小正方形边长$\boldsymbol{5\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}}$9.解：设小路宽$x\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}$\(AB=8cm，BC=6cm\)纵向小路\(AB=8cm，BC=6cm\)草坪宽$20$\(AB=8cm，BC=6cm\)长$30-x$$$\begin{align*}20(30-x)&=504\\600-20x&=504\\20x&=96\\x&=4.8\end{align*}$$答：小路宽$\boldsymbol{4.8\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}}$10.解：设道路宽$x\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}$\(AB=8cm，BC=6cm\)平移草坪拼成新矩形\(AB=8cm，BC=6cm\)长$(40-x)$\(AB=8cm，BC=6cm\)宽$(26-x)$$$\begin{align*}(40-x)(26-x)&=840\\1040-66x+x^2&=840\\x^2-66x+200&=0\\(x-2)(x-64)&=0\end{align*}$$$x_1=2,\x_2=64$（大于长宽\(AB=8cm，BC=6cm\)舍去）答：道路宽$\boldsymbol{2\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}}$11.解：设$\(\boldsymbol{t}\)$秒后面积$6\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}^2$$AP=\(\boldsymbol{t}\),\\(PB=\)8-\(\boldsymbol{t}\),\\(BQ=\)2\(\boldsymbol{t}\)$$\\(\boldsymbol{t}\)rianglePBQ$面积：$\dfrac12\cdo\(\boldsymbol{t}\)PB\cdo\(\boldsymbol{t}\)\(BQ=\)6$$$\begin{align*}\frac12(8-\(\boldsymbol{t}\))\cdo\(\boldsymbol{t}\)2\(\boldsymbol{t}\)&=6\\\(\boldsymbol{t}\)(8-\(\boldsymbol{t}\))&=6\\\(\boldsymbol{t}\)^2-8\(\boldsymbol{t}\)+6&=0\\\(\boldsymbol{t}\)&=\frac{8\pm\sqr\(\boldsymbol{t}\){64-24}}{2}=4\pm\sqr\(\boldsymbol{t}\){10}\end{align*}$$检验范围：$P$最多走8s\(AB=8cm，BC=6cm\)$Q$最多走$6\div2=3\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{s}$\(AB=8cm，BC=6cm\)$\\(\boldsymbol{t}\)herefore\(\boldsymbol{t}\)\le3$$4+\sqr\(\boldsymbol{t}\){10}\approx7.16>3$舍去；$4-\sqr\(\boldsymbol{t}\){10}\approx0.84<3$\(AB=8cm，BC=6cm\)符合条件。答：经过$\boldsymbol{(4-\sqr\(\boldsymbol{t}\){10})}$秒\(AB=8cm，BC=6cm\)面积等于$6\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{cm}^2$。12.解：垂直墙边长$x\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}$\(AB=8cm，BC=6cm\)平行墙边长$(40-2x)\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}$$$\begin{align*}x(40-2x)&=150\\40x-2x^2&=150\\2x^2-40x+150&=0\\x^2-20x+75&=0\\(x-5)(x-15)&=0\end{align*}$$$x_1=5$\(AB=8cm，BC=6cm\)平行墙：$40-10=30$；$x_2=15$\(AB=8cm，BC=6cm\)平行墙：$40-30=10$。答：矩形两边为$\boldsymbol{5\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}}$和$\boldsymbol{30\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}}$\(AB=8cm，BC=6cm\)或$\boldsymbol{15\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}}$和$\boldsymbol{10\ma\(\boldsymbol{t}\)hrm{m}}$。##📌考试易错点1.四角剪正方形折盒子：**长和宽都减去2x\(AB=8cm，BC=6cm\)不是减x！**2.道路平移模型：一横一竖两条小路\(AB=8cm，BC=6cm\)重叠部分$x^2$\(AB=8cm，BC=6cm\)平移法直接$(a-x)(b-x)$最简便；3.动点问题：求出$\(\boldsymbol{t}\)$一定要看动点有没有跑出线段\(AB=8cm，BC=6cm\)超范围根直接舍去；4.靠墙围栏：篱笆只围三条边\(AB=8cm，BC=6cm\)平行墙那边只用一次\(AB=8cm，BC=6cm\)垂直墙两条；5.单位统一\(AB=8cm，BC=6cm\)解完方程必须检验实际意义。>答题模板：设未知数\(AB=8cm，BC=6cm\)用未知数表示线段长\(AB=8cm，BC=6cm\)利用面积公式列一元二次方程\(AB=8cm，BC=6cm\)解方程\(AB=8cm，BC=6cm\)检验根是否符合图形实际\(AB=8cm，BC=6cm\)写答。下一章：**第4章相似三角形\(AB=8cm，BC=6cm\)4.1比例线段**\(AB=8cm，BC=6cm\)继续吗？或者给无答案版练习？湘教版（新教材）数学九年级上册3.5.2图形面积和动态问题授课教师：.

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9年级（

）班.

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间：.

2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热