4.1.3三角形的内角和与外角 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册4.1.3三角形的内角和与外角专项练习##知识点回顾###1.三角形内角和定理三角形的内角和等于$\boldsymbol{180^\circ}$。$$\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$$推论：直角三角形的两个锐角互余（两个锐角相加$=90^\circ$）。###2.三角形外角定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)叫做三角形的外角。每个三角形有6个外角\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)每个顶点处有2个外角（对顶角相等）。###3.外角性质①**三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和**；②三角形的一个外角**大于**任意一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于$\boldsymbol{\(\boldsymbol{360}\)^\circ}$。解题要点：1.求角度优先用内角和$180^\circ$；直角三角形直接用两锐角互余；2.外角公式一定要注意：**不相邻**\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)不能加上和它挨在一起的那个内角；3.等腰三角形给一个内角\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)没有说明顶角还是底角\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)要分类讨论；4.常和高\(BD、CE\)角平分线\(BD、CE\)中线综合出题。满分：100分时间：40分钟##一\(BD、CE\)选择题（每题4分\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)共20分）1.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleA=40^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=60^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)则$\angleC=$（）A.$60^\circ$B.$70^\circ$C.$80^\circ$D.$90^\circ$2.直角三角形一个锐角是$28^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)另一个锐角是（）A.$62^\circ$B.$72^\circ$C.$52^\circ$D.$28^\circ$3.三角形的一个外角是$130^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)则和它相邻的内角是（）A.$40^\circ$B.$50^\circ$C.$60^\circ$D.$70^\circ$4.$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)外角$\angleACD=105^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleA=45^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)则$\angleB=$（）A.$50^\circ$B.$60^\circ$C.$70^\circ$D.$80^\circ$5.下列说法正确的是（）A.三角形外角等于两个内角之和B.三角形内角和是$\(\boldsymbol{360}\)^\circ$C.三角形的外角一定大于和它不相邻的内角D.钝角三角形的外角都大于$90^\circ$##二\(BD、CE\)填空题（每题4分\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)共20分）1.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleA=50^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=\angleC$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)则$\angleB=$________。2.三角形外角和等于________$^\circ$。3.三角形两个内角为$35^\circ$\(BD、CE\)$55^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)则第三个内角的外角是________。4.$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleA=55^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=65^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)与$\angleC$相邻的外角为________。5.等腰三角形一个内角为$100^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)另外两个内角为________。##三\(BD、CE\)基础解答题（每题8分\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)共32分）1.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)三个内角之比$\angleA:\angleB:\angleC=2:3:4$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)求三个内角的度数。2.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=50^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)外角$\angleACD=110^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)求$\angleA$的度数。3.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleBAC=70^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$AD$是角平分线\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=48^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)求$\angleADC$。4.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleA=50^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)高$\(BD,CE\)$交于点$O$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)求$\angleBOC$。##四\(BD、CE\)拓展提升题（每题14分\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)共28分）1.在$\triangleABC$中\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$AD$是高\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$AE$是角平分线\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=40^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleC=60^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)求$\angleDAE$。2.已知$\triangleABC$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)求证：$\angleACD=\angleA+\angleB$（$\angleACD$是$\triangleABC$的外角）。---#参考答案与解析##一\(BD、CE\)选择题1.C解析：$180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$2.A解析：$90^\circ-28^\circ=62^\circ$3.B解析：外角与相邻内角互补\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$180^\circ-130^\circ=50^\circ$4.B解析：外角$\angleACD=\angleA+\angleB$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleB=105^\circ-45^\circ=60^\circ$5.C解析：A缺少“不相邻”；B内角和$180^\circ$；D钝角相邻的外角是锐角。##二\(BD、CE\)填空题1.$\boldsymbol{65^\circ}$2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{360}\)}$3.$\boldsymbol{90^\circ}$4.$\boldsymbol{120^\circ}$5.$\boldsymbol{40^\circ\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)40^\circ}$##三\(BD、CE\)基础解答题1.解：设$\angleA=2x,\angleB=3x,\angleC=4x$$2x+3x+4x=180^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$9x=180^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$x=20^\circ$$\angleA=\boldsymbol{40^\circ},\angleB=\boldsymbol{60^\circ},\angleC=\boldsymbol{80^\circ}$2.解：根据外角性质$\angleACD=\angleA+\angleB$$\angleA=110^\circ-50^\circ=\boldsymbol{60^\circ}$3.解：$AD$平分$\angleBAC$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleBAD=\dfrac12\times70^\circ=35^\circ$$\angleADC=\angleB+\angleBAD=48^\circ+35^\circ=\boldsymbol{83^\circ}$（外角性质）4.解：$BD\(BD、CE\)CE$是高\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleAEC=\angleADB=90^\circ$四边形$AEOD$内角和$\(\boldsymbol{360}\)^\circ$$\angleEOD=\(\boldsymbol{360}\)^\circ-90^\circ-90^\circ-50^\circ=130^\circ$$\angleBOC=\angleEOD=\boldsymbol{130^\circ}$（对顶角相等）##四\(BD、CE\)拓展提升题1.解：$\angleBAC=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$$AE$平分$\angleBAC$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleBAE=40^\circ$$AD\perpBC$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleADB=90^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)$\angleBAD=90^\circ-\angleB=50^\circ$$\angleDAE=\angleBAD-\angleBAE=50^\circ-40^\circ=\boldsymbol{10^\circ}$2.证明：$\because\angleA+\angleB+\angleACB=180^\circ$（三角形内角和）$\angleACD+\angleACB=180^\circ$（邻补角定义）$\therefore\angleACD=\angleA+\angleB$。##易错警示1.外角公式：**外角=两个不相邻内角之和**\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)做题不要漏掉“不相邻”；2.内角和$180^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)外角和$\(\boldsymbol{360}\)^\circ$\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)不要记混；3.等腰三角形如果给出钝角\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)这个角只能是顶角；4.高+角平分线综合题\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)优先求基础内角\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)再用外角快速计算。下一节：**4.2.1全等三角形的概念与性质**\(\boldsymbol{40^\circ，40^\circ}\)继续同模板吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.1.3三角形的内角和与外角授课教师：.

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形折叠剪拼将三角形的三个角拼到一起构成一个平角新知探究探

究任意三角形的内角和都是180°吗?为什么?在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作，知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗?

根据折叠、剪拼，你有什么启示？新知探究任画一个△ABC，将边AB所在直线沿点B到点C的方向平移线段BC的长度，得到直线A'B'，则该直线经过点C。因为直线在平移下的像是与它平行的直线，所以A'B'//AB,则∠A'CD=∠B,∠ACA'=∠A.又∠BCA+∠ACA'+∠A'CD=180°,所以∠BCA+∠A+∠B=180°.B’

你还有其他方法来证明三角形的内角和等于180°吗？证明：三角形的内角和等于180°.典例分析例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，

∠B，∠C的度数.解：设∠B为

x°，则∠A为3x°，∠C为(x+

15)°，从而有3x+

x+(x+

15)＝180.解得

x＝33.所以3x＝99，x+15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.和差倍分问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；锐角三角形有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.钝角三角形有一个角是直角的三角形叫直角三角形，直角三角形直角边直角边斜边ABC直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；等腰直角三角形新知探究说一说一个三角形的三个内角中，最多有几个直角?最多有几个钝角?三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.新知探究总结归纳★三角形按角的大小分类：三角形锐角三角形直角三角形两直角边不相等的直角三角形两直角边相等的直角三角形（等腰直角三角形）钝角三角形新知探究★三角形的外角：CBAD把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角如图，把△ABC的一边BC延长，与另一边AC得到∠ACD∠ACD是△ABC的一个外角对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.思考：在图中，外角∠ACD与三角形ABC的三个内角分别有什么位置关系和数量关系？新知探究解：因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°, 所以∠ACD=180°-∠ACB，

∠A+∠B=180°-∠ACB. 所以∠ACD=∠A+∠B(等量代换)如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角∠A，∠B之间有什么数量关系呢?探

究三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间有什么关系呢？议一议新知探究(1)三角形的外角具有哪些特征?(2)三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系?（1）三角形的外角的特征：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.（2）三角形的一个外角与邻角互补，等于与它不相邻的两个内角的和。返回1．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(

)A．85°B．80°C．75°D．70°A返回2．如图，∠A＝70°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是(

)A．125°B．115°C．110°D．120°A返回3.如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠BAC＝4∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的度数是________．64°典例分析例4如图4.1-16，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数.解

因为∠ADB=∠C+∠CAD,所以∠CAD=∠ADB-∠C=98°-70°=28°. 又∠BAD=∠CAD, 所以∠BAD=28°.因此，∠B=180°-∠ADB-∠BAD=54°.①边读题边做标记边想；②从问题着手，倒着分析；③读到的写成因为，想到的写成所以。4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少？【解】第一种情况：当BD在△ABC内部时，如图①.在△ABC中，因为BD是AC边上的高(已知)，所以∠ADB＝90°(垂直的定义)．又因为∠ABD＝30°(已知)，所以∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝180°－90°－30°＝60