湖南长沙市芙蓉区铁路一中学2027届数学九年级第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

湖南长沙市芙蓉区铁路一中学2027届数学九年级第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．有三个质地、大小一样的纸条上面分别写着三个数，其中两个正数，一个负数，任意抽取一张，记下数的符号后，放回摇匀，再重复同样的操作一次，试问两次抽到的数字之积是正数的概率为（）A． B． C． D．2．如图，在中，点在边上，且，，过点作，交边于点，将沿着折叠，得，与边分别交于点．若的面积为，则四边形的面积是（）A． B． C． D．3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S1．则S1﹣S2+S3+S1等于（）A．1 B．6 C．8 D．124．已知二次函数y=，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是()A．y1>y2>y3 B．y1<y2<y3 C．y2>y3>y1 D．y2<y3<y15．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：

1

1.1

1.2

1.3

1.4

-1

-0.49

0.04

0.59

1.16

那么方程的一个近似根是()A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.36．如图，一根电线杆垂直于地面，并用两根拉线，固定，量得，，则拉线，的长度之比（）A． B． C． D．7．函数与，在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．二次函数化为的形式，结果正确的是（）A． B．C． D．9．抛物线y＝﹣（x﹣）2﹣2的顶点坐标是（）A．（，2） B．（﹣，2） C．（﹣，﹣2） D．（，﹣2）10．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（）A． B． C． D．11．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米12．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，点P在函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是_____．15．若方程的解为，则的值为_____________．16．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：完成引体向上的个数78910人数1234这10人完成引体向上个数的中位数是___________17．如图所示，在中，，将绕点旋转，当点与点重合时，点落在点处，如果，，那么的中点和的中点的距离是______.18．已知，若是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________．三、解答题（共78分）19．（8分）某公司经销一种成本为10元的产品，经市场调查发现，在一段时间内，销售量（件）与销售单价（元/件）的关系如下表：15202530550500450400设这种产品在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：（1）如是的一次函数，求与的函数关系式；（2）求销售利润与销售单价之间的函数关系式；（3）求当为何值时，的值最大？最大是多少？20．（8分）如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是菱形．21．（8分）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知.（1）求证：是的切线；（2）若，，求劣弧与弦所围阴影图形的面积；（3）若，，求的长.22．（10分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是1的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．23．（10分）如图①，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点在抛物线上，（点与点不重合），我们把这样的两条抛物线和，互称为“友好”抛物线．（1）一条抛物线的“友好”抛物线有条；（2）如图②，已知抛物线与轴相交于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点，求以点为顶点的的“友好”抛物线的表达式；（3）若抛物线的“友好”抛物线的解析式为，请直接写出与的关系式．24．（10分）同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．25．（12分）计算：2|1﹣sin60°|+tan45°26．如图①是图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与两次抽到的数字之积是正数的情况数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：两个正数分别用a，b表示，一个负数用c表示，画树状图如下：共有9种等情况数，其中两次抽到的数字之积是正数的有5种，则两次抽到的数字之积是正数的概率是；故选：C．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、B【分析】由平行线的性质可得,，可设AH=5a，HP=3a，求出S△ADE=，由平行线的性质可得，可得S△FGM=2,再利用S四边形DEGF=S△DEM-S△FGM,即可得到答案．【详解】解：如图，连接AM，交DE于点H，交BC于点P，

∵DE∥BC，

∴，∴∵的面积为∴S△ADE=×32=设AH=5a，HP=3a

∵沿着折叠

∴AH=HM=5a，S△ADE=S△DEM=

∴PM=2a，

∵DE∥BC

∴

∴S△FGM=2∴S四边形DEGF=S△DEM-S△FGM=-2=

故选：B．本题考查了折叠变换，平行线的性质，相似三角形的性质，熟练运用平行线的性质是本题的关键．3、B【解析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件,再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S、S、、与△ABC的关系,即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【详解】解：如图所示,过点F作FG⊥AM交于点G,连接PF.根据正方形的性质可得:AB=BE,BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和△EBD中,AB=EB，∠ABC=∠EBD,BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可证,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90,所以四边形AQFG是矩形,则QF//AG,又因为QP//AC,所以点Q、P,F三点共线,故S+S=,S=.因为∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA,在△AQF和△ACB中,因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA),同理可证△AQF≌△BCA,故S1﹣S2+S3+S1==31=6,故本题正确答案为B.本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.4、A【分析】对于开口向下的二次函数，在对称轴的右侧为减函数.【详解】解：∵二次函数y=∴对称轴是x=−,函数开口向下，

而对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，

∵-1＜x1＜x2＜x1，

∴y1，y2，y1的大小关系是y1＞y2＞y1．

故选：A．考点：二次函数的性质5、C【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．6、D【分析】根据锐角三角函数可得：和，从而求出.【详解】解：在Rt△AOP中，，在Rt△BOP中，，∴故选D.此题考查的是锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键.7、D【解析】由二次函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，然后分当a＞0时和a＜0时两种情况，讨论函数y=ax2+a的图象与函数y=（a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【详解】解：由函数y=ax2+a中一次项系数为0，

我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称，可排除A；

当a＞0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0，a）点在x轴上方，可排除C；

当a＜0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝下，顶点（0，a）点在x轴下方，

函数y=（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B；

故选：D．本题考查的知识点是函数的表示方法-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键.8、A【分析】将选项展开后与原式对比即可；【详解】A：，故正确；B：，故错误；C：，故错误；D：，故错误；故选A.本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.9、D【分析】根据二次函数的顶点式的特征写出顶点坐标即可.【详解】因为y＝﹣（x﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．故选：D．此题考查的是求二次函数的顶点坐标,掌握二次函数的顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键.10、D【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.【详解】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，∴△ADE：△ABC=1:2，∴.故选D.本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方.11、D【解析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题.【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.12、A【解析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选A.二、填空题（每题4分，共24分）13、-1【解析】由反比例函数系数k的几何意义结合△APB的面积为4即可得出k＝±1，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k＝﹣1，此题得解．【详解】∵点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，∴S△APB＝|k|＝4，∴k＝±1．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k＝﹣1．故答案为﹣1．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题的关键．14、2．【分析】在中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在中，再求出AB即可．【详解】解：在Rt△BDC中，∵BC＝4，sin∠DBC＝，∴，∴，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABD中，∴，故答案为：2．考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．15、【分析】根据根与系数的关系可得出、，将其代入式中即可求出结果．【详解】解：∵方程的两根是，

∴、，

∴．

故答案为：．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记如果一元二次方程有两根，那么两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．16、1【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。【详解】解：将10个数据由小到大排序：7、8、8、1、1、1、10、10、10、10，处于这组数据中间位置的数是1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（1+1）÷2=1．

所以这组同学引体向上个数的中位数是1．

故答案为：1．本题为统计题，考查中位数的意义，解题的关键是准确认识表格．17、4【分析】设，在中，，得.由勾股定理，再求AM,AB,证，.得，，可得.【详解】如图所示，，是的中点，，，.设，在中，，.，.，.，，，可得，同理可证.，，.故答案为：4考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形，利用三角形相关知识分析问题是关键.18、6【解析】根据得到a-b=1，由是一元二次方程的两个实数根结合完全平方公式得到，根据根与系数关系得到关于k的方程即可求解.【详解】∵，故a-b=1∵是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=-5，ab=k，∴=1即25-4k=1,解得k=6，故填：6.此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知因式分解、根与系数的关系运用.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）；（3）当时，的值最大，最大值为9000元【分析】（1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意列出二次函数即可求解；（3）根据二次函数的性质即可得到最大值.【详解】(1)设与的函数关系式为y=kx+b把（15，550）、（20，500）代入得解得∴（2）∵成本为10元，故每件利润为（x-10）∴销售利润（3）=∵-10＜0，∴当时，的值最大，最大值为9000元.本题主要考查二次函数的应用，理解题意抓住相等关系函数解析式是解题的关键．20、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知条件证明BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，

（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE＝AB，DF＝CD．

∴BE＝DF，BE∥DF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∴DE∥BF；

（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，

∴四边形AGBD是矩形，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ADB中

∵E为AB的中点，

∴AE＝BE＝DE，

∵四边形DFBE是平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形．本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．21、（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接，利用圆的半径相等及已知条件证明，再根据直角三角形两锐角互余得到，再根据平角定义即可得到结论；（2）连接，作于，根据及直角三角形的性质求出BD=2，根据垂径定理及三角函数求出，OF，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出OB，即可利用扇形面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积；（3）先证明求出AB，再根据勾股定理求出半径，即可求得AE的长.【详解】（1）证明：连接，如图1所示：∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，则为的切线；（2）连接，作于，如图2所示：∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴劣弧与弦所围阴影部分的面积扇形的面积的面积；（3）∵，，∴，∴，∴，即，解得：，或（舍去），∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴在中，,∴设的半径为，则，∴,∴,∴.此题是圆的综合题，考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定及性质定理，弓形面积，综合运用知识点，总结解题的方法.22、（1）；（2）见解析，【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是1的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为．故答案为：；（2）列表如下：1211(1，1)(2，1)(1，1)2(1，2)(2，2)(1，2)1(1，1)(2，1)(1，1)由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是1的倍数的有1种，所以这两个数字之和是1的倍数的概率为．本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23、（1）无数；（2）；（3）【分析】(1)根据题目给的定义即可判断一条抛物线有无数条”友好”抛物线.(2)先设出L4的解析式,求出L3的坐标轴和顶点坐标,再将顶点坐标代入L4的解析式中即可求解.(3)根据两个抛物线的顶点都在对方抛物线上,列式求解即可.【详解】（1）根据“友好”抛物线的定义,只需要确定原函数顶点和抛物线任意一点做“友好”抛物线的顶点即可作出“友好”抛物线,因此有无数条.∴答案为:无数.（2）把化为顶点式，得顶点坐标为，对称轴为点坐标为，点关于对称轴的对称点的坐标为