有限单元法基础第2版 课件 第2、3章 加权残值法与变分原理、有限单元法的基本原理

第2章加权残值法和变分原理2.1引言1强式和弱式形式降低对近似函数的连续性要求，使数值近似计算更容易。基于弱式的公式通常是一组稳定性良好的离散系统方程，可以获得高精度的解。1）描述问题的微分方程——系统方程的强式形式理想：直接求得强式系统方程的精确解。困难：a）复杂工程问题难以获得精确解。b）数值求解时，近似函数要具有足够的连续性，且与微分方程具有同阶的可导性。有限差分法——一种典型的基于强式的数值近似方法。2）与微分方程等效的积分形式——弱式形式1微分方程的等效积分形式1）工程中的场问题A、B：微分算子。域和边界（1）（2）m个未知函数：2.2微分方程的等效积分形式2）微分方程的等效积分形式对任意函数列向量等效等效＋=原场问题微分方程的等效积分形式例：二维热传导问题热传导场方程边界条件等效积分形式热传导场方程不可约形式边界条件构造近似函数时预先满足-强制边界条件通过等效积分形式引入-自然边界条件等效积分形式例：线弹性力学问题场方程边界条件等效积分形式弹性力学场方程不可约形式边界条件构造近似函数时预先满足-强制边界条件通过等效积分形式引入-自然边界条件不可约方程等效积分形式混合型等效积分形式选择近似函数容易直接满足的边界条件为强制边界条件3）等效积分形式可积的条件i）v

和单值且在V

内和S上可积分；ii）若A的最高阶导数为n，则u的n-1阶导数必须连续，即函数u具有Cn-1连续性。具有C0连续性的函数例如：u在x0点连续，其一阶导数不连续，但是有限的。若方程中的最高阶导数为二阶，这时若函数u在x0点连续，其一阶导数不连续，则其二阶导数为无穷大，因此这时就要求近似函数u的一阶导数在x0点连续，才能保证其二阶导数有限。2等效积分的“弱”形式（weakform）分部积分C、D、E、F：微分算子。降低了对u的连续性要求，提高了对——等效积分的“弱”形式。可得：例：的连续性要求。例子：二维稳态热传导问题选择T在边界上自动满足，即为强制满足的边界条件。等效积分形式：利用Green公式代入等效积分形式：不失一般性，在上选择上式可写成：讨论：（1）T不出现在的积分项中，给定热流边界条件自动满足，此即自然边界条件。（2）在上强制满足，上为零以简化“弱”形式方程：——等效积分弱形式强制边界条件。可选择v为温度的变分，其在（3）1基本原理近似求解方程的基本思路：假设有待定参数的近似函数，采用某种方法通过等效积分形式确定待定参数，得到问题的近似解。设：ai：待定参数，Ni：试探函数、基函数。代入微分方程和边界条件r,：残值（余量）

用n组规定的函数来代替任意函数v和2.3加权残值法ai为mⅹ1列向量；Ni

为mⅹm子矩阵近似的等效积分形式或即：通过选择待定参数，强迫残值在某种平均的意义上等于零。wj,：权函数。等效积分“弱”形式的近似形式

采用使残值（余量）的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法——加权残值（余量）法。权函数的不同选择，对应于不同的加权残值法。取权函数与试探函数于同一函数空间，且：对应于等效积分的弱形式为：采用Galerkin方法得到的求解方程的系数矩阵是对称的。在有限元格式时几乎毫无例外地采用Galerkin法。2伽辽金（Galerkin）法Galerkin法、配点法、子域法、加权最小二乘法和力矩法等例子：用Galerkin法求解二阶常微分方程边界条件：令其为强制边界条件解：设解的近似形式：满足强制边界条件（1）取一次近似（2）取二次近似精确解：近似解的误差小于0.5%。2.4变分原理和里兹法1变分概念变分和微分的几何意义假设y(x)描述的曲线附近有另一条函数曲线是一任意的无穷小量，称为自变函数y(x)的变分。函数y(x)的微分dy是指该函数的自变量x增加一个无穷小量dx，函数y(x)的微小增量变分的运算法则2

变分原理的定义针对一组微分方程组和边界条件，建立一标量：微分算子未知函数微分算子未知函数的泛函

若问题的解u使得泛函Π对于微小变化δu

取驻值，即泛函的变分为零：通过这一驻值条件可以求得微分方程的解，这种求解问题解答的方法称为变分原理或变分法。3微分方程变分原理的建立1）线性自伴随微分算子设微分方程若：线性微分方程组定义内积：伴随算子若自伴随微分算子在积分域V的边界上由及其导数组成的积分项

和例子：证明是自伴随微分算子证：自伴随微分算子2）泛函的构造问题：L：线性自伴随微分算子等效积分的Galerkin提法：自伴随性质线性微分代入原问题的等效积分的Galerkin提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。原问题的泛函当函数u及其变分满足一定条件时和能够形成一个全变分由的任意性n个方程可以求解n个未知向量。4Ritz法已知泛函：假设近似解：驻值（极值）条件：若Π为二次式（二次泛函），则对称对称对称并非所有的微分方程表达的连续介质问题都存在这种变分原理。二次泛函可写成形式c为常数，常数的变分为零，可令c=0例子：用Ritz法求解二阶常微分方程边界条件：解：b=x代入边界条件（1）取：（试函数，满足边界条件）（2）设：边条：取：（精确解）与利用Galerkin加权残值法得到的近似解相同2.5弹性力学变分原理1场方程的等效积分弱形式虚位移原理平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式1）虚位移原理等效积分形式：等效积分“弱”形式内力虚功外力虚功（平衡方程）（力的边条）真实位移的变分，在位移边界上为零。0代入推导：Green公式（几何方程）（位移边条）等效积分形式：等效积分“弱”形式真实面力的变分，在力的边界上为零。2）虚应力原理虚应力原理几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式虚位移原理：由虚位移原理弹性体的应变能密度2最小势能原理真实的位移使系统的总势能取驻值。——

最小势能原理总势能证明：真实的位移使系统的势能取最小值。设近似值：令：近似位移场对应的应变能密度为对于稳定的平衡状态，应变能密度为正定函数，故上式右端积分项恒大于零。真实的位移使系统总的势能取最小值，此即最小势能原理。弹性体的最小势能原理是一种变分原理。余能真实的应力使系统的总余能最小。——

最小余能原理令：3最小余势能原理4近似解的上下界势能和余能之和应变能的2倍外力功的2倍假设位移边界上给定的位移外力功的2倍类似地由最小势能原理得到的近似解的弹性变形能小于真实解的变形能，近似位移场总体上偏小，结构偏刚硬。由最小余能原理得到的近似解的弹性余能大于真实解的余能，近似的应力解总体上偏大。2.6弹性动力学变分原理*

1达朗贝尔-拉格朗日原理弹性动力平衡方程（运动方程）运动方程和力边界条件的等效积分形式的Galerkin提法（静力学虚功原理）d'Alembert-Lagrange原理达朗贝尔原理没有涉及本构方程，所以其不仅适用于线弹性动力学问题，也适用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。无阻尼系统惯性力虚功粘性力虚功内力虚功外力虚功2哈密尔顿变分原理在时间间隔t1到t2之间对时间积分达朗贝尔原理对于真实运动，系统的动能变分和内力、外力和粘滞力的虚功之和在任意时间间隔内对时间的积分等于零。此即具有普遍意义的Hamilton原理。考虑弹性本构方程可得弹性系统的内力和外力功等于系统的势能的负值对于完整系统，上式中的积分运算和变分运算可以交换顺序令Hamilton作用量完整有势系统在任意时间间隔内满足几何关系和给定位移边界条件的所有可能运动中，真实运动使Hamilton作用量取驻值。-Hamilton原理。Hamilton原理仅适用于线弹性问题，而d'Alembert-Lagrange原理不仅适用于线弹性问题，也适用于非线弹性问题。2.7约束变分原理*约束变分原理：在泛函中引入附加条件，无附加条件的变分原理。1Lagrange法引入附加条件构造新的泛函独立坐标的函数，Lagrange乘子驻值条件：用约束变分原理可以推导得到无附加条件的求近似解的方程原问题的Euler方程附加条件构造近似函数系数矩阵主对角元存在零元素，方程不能用通常的直接法求解。由任意性可得例子：已知函数附加条件为求该函数z取驻值时的x和y值。解：（1）代入函数得驻值条件由附加条件可得代入函数可得该驻值为极小值（2）采用拉格朗日引入附加条件，将问题转化成求如下函数的无附加条件的驻值问题驻值条件（3）采用拉格朗日引入附加条件，将问题转化成求如下函数的无附加条件的驻值问题驻值条件驻值条件2罚函数法附加条件使取最小值。构造泛函：α

:罚函数，其取值越大，C(u)越接近于零。但太大可能使方程出现病态。梁弯曲问题：要求w为C1连续。为降低对w的连续性要求引入附加条件：构造泛函将w和θ

独立插值，利用罚函数法引入约束条件，使C1连续问题转化为C0问题。这一方法在梁、板、壳中得到应用和推广。变分的结果当方程退化为欲获得非零解，除非K2奇异。若K2非奇异，得到近似零解，称为自锁（locking）。例子：已知如下函数附加条件为用罚方法求该函数z取驻值时的x和y值。解：用罚函数法构造如下修正函数驻值条件2.8弹性力学广义变分原理*

1Hellinger-Reissner广义变分原理

该方程的等效积分形式作为权函数引入代入（1）（2）（1）和（2）等效于如下泛函的极值条件该泛函的极值条件为此时位移边界条件为强制边界条件若将位移边界条件也作为自然边界条件，可将泛函写成如下形式Hellinger-Reissner广义变分原理该原理将位移和应力视为独立变量，基于该变分原理可以构造以位移和应力为独立变量的混合型有限元方程。2胡－鹫广义变分原理本构方程几何方程虚功原理将位移边界条件视为强制边界条件，上式与如下泛函的极值条件等效将位移边界条件也作为自然边界条件胡－鹫广义变分原理该变分原理将位移、应变和应力视为独立变量。2.9热传导问题变分原理1自然变分原理稳态热传导场方程热传导方程和自然边界条件Galerkin提法强制边界条件自然边界条件利用Green公式0代入本构方程可以描述为如下泛函的驻值问题在满足温度边界条件的可能的温度场中，真实的温度场使泛函取极小值

热传导问题的变分原理2广义变分原理*利用Lagrange乘子法将温度边界条件引入泛函温度边界条件不再是强制边界条件，原泛函应包括由后两个边界积分可得边界热流的负值修正变分原理2.10小结弱式方法：求与原微分方程等效的积分方程的近似解加权残值法和变分原理加权残值法伽辽金（Galerkin）加权残值法求解假设近似解取权函数n组方程求待定参数a变分原理Ritz法针对一组微分方程组和边界条件，建立一标量：假设近似解n组方程求待定参数a解使泛函取驻值弹性力学问题变分原理最小势能原理最小余能原理近似解的上下界弹性动力学变分原理达朗贝尔-拉格朗日原理哈密尔顿变分原理适用于线性和非线性系统仅适用于线弹性系统无阻尼系统约束变分原理拉格朗日乘子法罚函数法无附加条件的驻值问题α为罚函数，其取值越大，C(u)越接近于零弹性力学广义变分原理Hellinger-Reissner广义变分原理胡-鹫广义变分原理热传导问题变分原理自然变分原理修正变分原理第3章有限单元法的基本原理1弹性力学问题3.1引言平面梁弯曲问题可以求解析解车门拉手弯曲问题难以获得解析解控制方程相同：平衡方程、几何方程、本构方程求解目标相同：确定边界条件下的解：位移、应变、应力解决途径：求数值近似解。2弹性力学问题分片近似求解方法假设位移近似解最小势能原理或Galerkin加权残值法建立以近似解待定参数为未知量的方程组求解方程组确定近似解的待定参数即得到近似解困难：难以在全域上构造合适的位移近似函数解决途径：——离散化解方程获得全域近似解将全域划分为小区域的集合小区域上假设近似函数最小势能原理或加权残值法建立小区域平衡方程所有小区域叠加得全域平衡方程3结构离散化将连续体用有限个单元的组合体近似，建立以有限个结点的位移为基本变量的系统方程，即离散化系统方程。单元(element)结点(node)网格(mesh)带圆孔单向拉伸板带圆孔单向拉伸板及其离散化有限单元法离散化单元插值系统方程求解方程变形图应力分布节点位移应变和应力网格模型力学模型4有限单元法的基本过程单元平衡方程引言—离散化概念静力学问题有限元求解过程平面问题有限元格式—三角形3结点单元有限元的一般格式—二维平面、轴对称、三维问题有限元解的收敛性—收敛准则、速度、误差、解的下限性线性代数方程数值解法—高斯消元、三角分解、迭代算法5本章主要内容参考高教出版社App:

Abook数字资源3.2平面问题的有限元格式1三角形3结点单元位移插值结构离散1,2,3:

单元结点局部编号顺序约定：逆时针方向。单元6：局部结点：1，2，3

整体结点：4，9，8

或：9，8，4

或：8，4，9单元单元定义（与局部结点1、2、3的对应关系）11,2,622,7,6......2415,20,19单元位移模式（位移插值函数，位移近似函数）假设位移在单元内线性变化：待定参数3个结点的位移满足：线性方程组的系数行列式三角形单元的面积类似：同理：代入位移u的插值式同理：插值函数，形状函数A是三角形单元的面积，bi，ci和di由单元结点坐标确定。I：单位矩阵单元中任意点的位移通过插值函数用结点位移表达。用矩阵表达位移插值式是单元中位移近似函数，结点位移是近似函数的待定参数。结点位移向量单元结点位移列向量2插值函数的性质（1）

（j=1,2,3）三角形3结点单元插值函数在单元中的线性变化保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。（2）

若x方向有刚体位移u0，任意点的位移：12431-2边上：（3）①②单元①：单元②：单位分解原理单元

①

或②

计算1-2边上一点的位移，N1和N2在0~1之间线性变化，结果相同。3单元中的应变和应力（1）应变:应变矩阵微分算子三角形3结点单元为常应变单元B为常数矩阵（2）应力:平面应力：平面应变：应力矩阵弹性系数矩阵相邻单元的应变连续吗？不连续！三角形3结点单元为常应力单元S为常数矩阵相邻单元的应变不连续！4单元平衡方程（1）弹性体的总势能:内能U外力势V相邻单元作用于当前单元的等效结点力，所有单元叠加后抵消为零。（2）最小势能原理：单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足平衡条件的位移使物体势能取驻值。（3）Galerkin加权残值法：弹性问题场方程和边界条件Galerkin加权积分形式经分部积分可得到该等效积分的弱形式（虚位移原理）代入本构方程和几何方程（强制边界条件）（自然边界条件）（已满足）（位移为独立变量）代入本构方程和几何方程对于原弹性力学场问题，将本构方程和几何方程代入平衡方程可知，该方程中位移的最高阶导数为二阶，若假设近似函数，要求其一阶导数连续，即C1连续。而前述对应的等效积分弱形式中位移的最高阶导数降为一阶，仅要求近似函数连续，即C0连续。与最小势能原理得到的方程一致5单元刚度矩阵及其性质（1）三角形3结点单元刚度矩阵B为常数矩阵（2）单元刚度矩阵的物理意义展开：

当单元的第j个结点自由度位移为单位位移，而其它结点自由度的位移为零时，需在单元第i个结点自由度方向上施加的力的大小。

单元刚度越大，使结点产生单位位移所需施加的结点力也越大，反之所需施加的结点力越小。单元刚度矩阵中的元素称为刚度系数。单元的平衡条件令aj=1，其他a=0的物理意义：单元刚度阵中每一列（行）元素之和为零（3）单元刚度矩阵的性质(a)对称性：（D对称）单元刚度矩阵对称(b)奇异性：奇异，方程有无穷组解。力学意义：结构非静定，可以有任意的刚体位移，解不唯一。(c)主元恒正：力学意义：使结点位移a1＝1，施加在a1方向的结点力与位移a1同向。6单元等效结点载荷（1）均质等厚单元的自重等效结点载荷自重产生的载荷平均分配到3个结点上。（2）均布侧压q的等效结点载荷1-2边上局部坐标s，则沿1-2边等效结点载荷同理：边界上作用的载荷可能还存在其它形式，采用类似方法推导。承受集中力作用时，离散时在集中力作用点设置一个结点，这样就无需对集中力进行等效处理，直接施加到对应的结点上。7结构有限元平衡方程（1）弹性体结构的总势能:结构的总势能等于各单元势能之和：n个结点总共有2n个自由度，所有结点的位移列向量若某单元3个结点1,2,3对应的总体结点编号为i,m,j，且总体结点编号i<j<m（2）有限元平衡方程

结构有限元平衡方程K：结构刚度矩阵f：结构等效结点载荷类似于单元平衡方程，也可用Galerkin加权残值法推导系统方程假设某单元的3个局部结点1、2、3对应的总体结点编号为i,j,m（3）结构刚度矩阵和结点载荷矩阵的组集：刚度矩阵组集的软件实现过程，可首先定义一个利用每一个单元局部结点编号和整体结点编号之间对应关系，将所有单元的刚度矩阵元素在整体刚度矩阵中“对号入座”进行叠加即可。

的总体刚度矩阵，将所有单元等效结点载荷变换后进行叠加即得到总体结点载荷列向量。将Ke扩大到与K同阶，将ae和Pe扩到到与a和P同阶将所有扩大后的矩阵相叠加。2n×2n2n×12n×1若某单元3个结点的整体编号为i,j,m，请刚度矩阵扩大后成为：假设单元局部结点编号1，2，3对应的整体结点编号为3，8，2，其单元刚度矩阵为：该单元刚度矩阵中的子矩阵按如下方式叠加到整体刚度矩阵中：“对号入座”进行叠加ijm（4）结构刚度矩阵的特点：D结点编号方案1D结点编号方案2非零元素集中在对角元附近，具有带状性，D称为半带宽。带宽取决于单元中最大结点编号与最小结点编号之差，差值越小带宽越小，带宽以外的非零元素越少；差值越大，带宽越大，带宽以外的非零元素越多。刚度矩阵具有稀疏性。1）对称性：单元刚度矩阵对称，组集后得到的结构刚度矩阵也对称。2）奇异性：结构平衡方程未施加位移边界条件，结构不静定。

3）主元恒正：单元刚度矩阵主元恒正，结构刚度矩阵主元仍恒正。5）稀疏性：对角元附近非零元素以外的大多数元素为零。4）带状性：非零元素集中在对角元附近。结构刚度矩阵的性质：8引入位移边界条件（1）直接法（位移边界条件ab已知）ab和fa已知，

aa和fb未知，方程写成如下形式：位移反力或写成：换行换列运算量大，不实用。（2）对角元素改1法（位移边界条件aj＝0）其它方程未变化。适用于给定位移为零的情况，不能处理非零位移边界条件。aj＝0（3）对角元素乘大数法（零和非零位移边界条件）α为一大数。第

j个方程：其它方程未变化。引入位移边界条件后，消除刚度矩阵的奇异性，方程有唯一解。适用于任意给定位移的情况，编程方便。（4）罚函数法引入强制位移边界条件利用罚函数法构造一个新的泛函α为一大数其余元素与原来的K和P中的相同第j个方程α为一大数由罚函数法引入强制位移边界条件和前述对角元乘大数是一致的。引入位移边界条件后，消除刚度矩阵的奇异性，方程有唯一解。9位移、应变和应力计算高斯消元法或迭代解法求解系统方程获得结点位移在单元水平上计算单元内任意点的应变和应力注意：单元之间的位移是连续的，由于应变和应力与位移存在一阶导数关系，故两者的计算精度比位移低一个量级，单元之间的应变和应力是不连续的。10广义坐标有限元法（1）常用单元3结点4结点6结点8结点4结点6结点8结点20结点（2）选择单元位移函数的一般原则多项式：广义坐标1）由结点位移确定，其个数应等于单元结点数。2）一次项和常数项必须完备。刚体位移常应变最简单的位移函数。3）多项式选取应从低阶到高阶，尽量取完全多项式以提高精度。（3）广义坐标有限元的一般步骤3.3有限单元法的一般格式1二维平面问题具有n个结点的二维单元结点位移列向量位移插值模式应变列向量应力列向量单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷2轴对称问题具有n个结点的二维单元结点位移列向量环状单元位移插值模式应变列向量应力列向量单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷结点集中载荷3三维实体问题具有n个结点的三维单元结点位移列向量位移插值模式应变列向量应力列向量单元平衡方程单元刚度矩阵单元等效结点载荷3.4有限元解的性质和收敛性2收敛准则1收敛的概念当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋于真解。（1）选取的位移函数应满足单元的刚体位移不产生应变含常数项（2）如果单元的结点位移与常应变条件匹配，则位移插值函数必须能够得到该常应变含一次项（3）相邻单元边界上的应变是有限的单元间位移连续完备性协调性满足上述三个条件的单元为协调元①完备性：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。一般情况：这种单元称为Cm-1连续单元。位移元为C0连续单元。②协调性：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性。3收敛速度和精度在单元内某点：单元尺寸：h，选择插值函数p阶（量级）误差：其它量：误差：例：三角形三结点单元网格细化一倍后近似解：u2位移的误差：应变的误差：位移的误差：若精确解：u误差：第一次网格划分的近似解：u1网格（单元）细化1倍，精度提高4倍。计算机数字（有效位数）也会引起计算误差。4位移元的下限性位移元得到的位移解总体上不大于真正解，即解具有下限性质。N系统总势能有限元的解是近似解，其对应的总势能总会大于真实解的总势能对于精确解和近似解有3.5线性代数方程的求解方法目的：求解方程：方程组的求解通常采用数值方法，其精度和效率与求解方法有关。方程组的求解方法：直接解法：高斯消元法（最有效的方法），三角分解法等。迭代解法：高斯－赛德尔迭代法，共轭梯度法等。1引言2高斯消元法（1）高斯循环消元法基本过程例：求解方程组①②③④第1次消元：②①①③①④第2次消元：②③④②第3次消元：③④回代：自最后一个方程起向前①②③④（2）一般公式n元线性代数方程组需进行n-1次消元。第k次消元以k-1次消元后第k行元素作为主元行，为主元，对第i行元素（i>k）的消元公式为：回代：该过程便于计算机编程实现。3三角分解法第1次消元：②①①③①④（1）高斯消元过程的另一表达形式第2次消元：②③④②第3次消元：③④n元方程组高斯消元过程可视为如下变换：高斯因子（2）矩阵A的三角分解下三角阵矩阵A可以分解为一下三角矩阵和一上三角矩阵的乘积。乔列斯基（Cholesky）分解，也称为三角分解。（3）矩阵A对称时的分解令：D为对角阵:（A对称）（4）三角分解求解方程组算法令：三角分解算法特别有利于多重右边项的求解。（5）三角分解的递推公式（1）迭代法的基本思想4迭代解法求解代数方程：假设：构造迭代格式：选择迭代初始列向量：迭代误差的判断：迭代误差满足上式时，认为结果收敛。（2）共轭梯度法a）取初值b）计算c）k=0,1,2,…循环判断误差：若满足，结束计算，否则进入后面的计算：返回（3）进入下一循环。5有限元刚度矩阵在计算机中的存储方法两种存储方法:（1）二维等带宽存储；（2）一维变带宽存储1）二维等带宽存储当系数矩阵的带宽变化不大时，采用二维等带宽存储合适，求解方便。不能去除带宽以内的零元素2）一维变带宽存储（a）按