有限单元法基础第2版 课件 第4-6章 单元插值函数的构造、映射单元和数值积分、弹性实体有限元分析

第4章单元插值函数的构造4.1引言1单元类型实体单元平面应力、平面应变问题三维实体问题二维实体单元轴对称单元三维实体单元轴对称问题结构单元一维结构单元杆单元梁单元索单元二维结构单元膜单元板单元壳单元2单元形状二维实体单元：三角形矩形四边形平面应力（应变）单元平面应力单元轴对称实体单元：三角形单元离散平面二维结构轴对称实体对称面有限元离散三角形矩形四边形轴对称环状单元三维实体单元：四面体六面体四面体单元六面体单元三棱柱单元一维结构单元：空间直线空间曲线直线单元（杆、梁单元）曲线单元（索单元）杆单元、梁单元、索单元空间梁单元空间杆单元二维结构单元空间三角形空间矩形平板单元壳单元壳单元平板单元3单元阶次一次单元：线性单元，只有角结点。二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。三次单元：边界上配置二个内结点，有时含内部结点。4特殊单元弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、集中质量单元等。模拟裂纹的奇异单元无限元4.2一维单元插值函数1拉格朗日（Lagrange）一维单元用一较简单的函数称

为插值函数。若为多项式，称为多项式插值函数。1)插值函数已知函数f(x)在[a,b]上一系列点上的值可由

确定[a,b]上其它点的函数值。代替f(x)，使例子：2点插值线性组合2)Lagrange插值公式设函数f(x)在[a,b]上一系列互不相同的点上的值构造一个（n-1）次的多项式具有形状函数Ni(x)的性质，可以作为有限单元的插值函数。讨论：3)Lagrange单元作变换：可得：自然坐标一维n结点单元插值作变换：可得：x1xnx2-11ξ001ξ例子：一次单元插值1(-1)2(+1)ξ1N1121N212等参变换例子：1(-1)2(1)ξ3(0)二次单元插值一维3结点Lagrange插值函数2埃尔米特（Hermite）一维单元若场方程的最高阶导数为m，要求场函数及其m-1阶导数在结点上均连续。如梁、板、壳结点的挠度和转角均要连续，转角即为挠度的一阶导数关系。2结点单元：-11ξ假设Hi为三次多项式（i=1~4）类似地，可写出其它三组方程，解方程得到所有待定参数（i=1~4）

H1在结点1处为1.0，在结点2处为0.0；H3在结点1处为0.0，在结点2处为1.0；H2的导数在结点1处为1.0，在结点2处为0.0；H4的导数在结点1处为0.0，在结点2处为1.0。Hermite插值函数1三角形单元123PA1A3A2(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)L1=0L2=0L3=01）面积坐标特点：①在本点为1，其它点为0②③与三角形的具体形状及其在总体坐标系中的位置无关。自然坐标2）与直角坐标间的转换关系4.3二维单元插值函数结论：三角形域内点的坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点的坐标和位移得到。等参变换3）面积坐标的微分运算4）面积坐标表示的插值函数一次单元插值函数的构造式通过除结点i以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点i的取值3(0,0,1)1(1,0,0)2(0,1,0)L3=0L1=0L2=0划线法3(0,0,1)1(1,0,0)2(0,1,0)L3=0L1=0L2=04(1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6(1/2,0,1/2)L1-1/2=0L3-1/2=0L2-1/2=0二次单元2拉格朗日（Lagrange）矩形单元缺点：随着插值函数方次的增高而增加内结点，从而增加自由度。一次单元二次单元三次单元插值函数变化规律3Serendipity矩形单元1）4结点单元同理：统一形式：双一次单元划线法与Lagrange一次单元相同2）变结点单元可以构造变结点的过渡单元。可以构造5-8结点单元。3）8结点单元1四面体单元利用体积坐标：1234一次单元：4结点二次单元：10结点56789104.4三维单元角结点：棱内结点：2拉格朗日（Lagrange）六面体单元典型的三维Lagrange单元沿三个方向分别有r、p、q个结点，可以分别构造（r-1）阶、（p-1）阶、（q-1）阶的Lagrange插值基函数：3Serendipity六面体单元一次单元：8结点二次单元：20结点ηξζ1234567891312111410151617181920角结点：典型的棱内结点4三棱柱单元一次单元二次单元三棱柱Serendipity单元Serendipity类单元Lagrange插值单元插值函数由三角形单元插值函数与Serendipity单元插值函数相乘得到插值函数由三角形单元插值函数与Lagrange插值函数相乘得到Serendipity类一次单元Li为面积坐标4.5阶谱单元*

自适应分析：p方案：网格不变，提高单元的阶次后重分析。h方案：单元阶次不变，细化网格后重分析。对于p方案，希望提高单元阶次后仍可使用已计算的低阶单元的单元结果。阶谱单元可以解决这一问题。12lξ一维阶谱单元Lagrange单元在单元内增加结点33代入插值表达式原线性单元的插值函数原线性单元的插值函数原线性单元的结点参数不再是结点3的函数值讨论：H1和H2在结点3不再等于0H1,H2,H3不再具有标准C0

型单元插值函数所具有的性质，称为阶谱函数。线性单元的刚度矩阵三次阶谱单元的刚度矩阵形成高阶单元的刚度矩阵时，低阶单元的刚度矩阵可以保持不变地被利用。4.6小结单元分类实体单元：二维、轴对称、三维结构单元：杆、梁、索、板、壳、膜一维单元拉格朗日单元一次单元二次单元厄米特单元二维单元三角形单元拉格朗日单元Serendipity单元面积坐标一次单元二次单元等参变换四边形4结点单元四边形8结点单元三维单元四面体单元拉格朗日单元Serendipity单元三棱柱单元阶谱单元用于自适应分析第5章映射单元和数值积分5.1引言问题1：形状规则单元离散化复杂结构面临困难问题2：整体坐标系下单元积分计算困难单元刚度积分计算等效结点载荷计算单元位移插值应变列向量解决途径：形状规则单元曲边或曲面单元映射变换局部坐标系整体坐标系母单元子单元（映射单元）完成计算容易适应复杂结构外形5.2单元映射和等参变换1单元映射坐标变换一次变换二次变换1）一维单元变换母单元子单元子单元子单元一维二维三维2）二维单元变换一次变换二次变换母单元子单元3）三维单元变换一次变换二次变换母单元子单元坐标变换形式：位移插值式：2等参变换等参变换次参变换超参变换〇：用于位移插值的结点；□：用于坐标变换的结点等参单元次参单元超参单元3单元积分计算变换1）单元计算形状函数用局部坐标描述应变矩阵中的导数相对于整体坐标求导积分针对整体坐标所有子单元的母单元相同，通过变换所有计算在母单元上进行。矩阵求导变换积分变换1四边形等参单元1）单元计算5.3二维等参单元矩阵求导变换积分变换2）导数之间的变换雅可比矩阵可计算Bi等参变换例：四边形4结点等参单元3）面积微元和边界微元的变换面积微元积分母单元上载荷作用边子单元上载荷作用边或：在计算边界力的等效结点载荷时，线积分计算表达式取决于子单元整体结点编号与母单元结点编号之间的对应关系。边界微元积分4）母单元中的积分计算ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)将所有子单元刚度矩阵和等效结点载荷的积分计算变换到同一个母单上完成。如何进行积分计算？数值积分2三角形等参单元n结点三角形单元令：面积坐标不独立微分变换积分变换面积坐标计算三角形面积的积分面积坐标系下面积微元的面积：

整体坐标微元边向量：整体坐标下微元面积：体积力产生的等效结点载荷单元刚度矩阵假设已知面载荷作用于2-3边（L1=0）例：三角形3结点单元1轴对称四边形等参单元5.4轴对称等参单元集中载荷2轴对称三角形等参单元集中载荷1六面体等参单元1）单元计算5.5三维等参单元矩阵求导变换积分变换2）导数之间的变换雅可比矩阵可计算Bi3）体积微元和面积微元的变换体积微元母单元上载荷作用面子单元上载荷作用面面积微元若子单元上的载荷作用面对应于母单元的边界面母单元上的积分表达式子单元上载荷作用面也可以定义为母单元上的其它面，其它微元面积可以通过轮换ξ,η,

ζ

得到：2四面体等参单元体积坐标不独立令：5.5等参变换的条件和收敛性1等参变换的条件二维问题当等参变换不能实现几何分析（平面4结点单元为例）ξηξηξη123,4122,31234总存在一点：这些单元不能实现等参变换2等参单元的收敛性解的收敛条件：单元必须协调和完备。1）协调性

相邻边上有完全相同的结点，相邻单元公共边坐标和未知函数采用相同的插值函数。2）完备性设满足完备性要求等参单元满足收敛性要求5.7等参单元的退化*单元的退化形式将Lagrange单元或Serendipity单元中某些结点合并，但网格中仍然保留和原来单元相同的结点数，将这种把部分结点合并后的单元称为退化形式。四边形4结点单元退化为三角形单元结点3和4合并在一起坐标变换退化单元的插值函数由三角形单元插值函数推导可知，形状函数对整体坐标的导数与用面积坐标L1、L2、L3得到的结果一致故进而可得应变矩阵与三角形单元结果一致退化单元的Jacobi矩阵在η=1的结点（合并的3和4结点）处，Jacobi的行列式为零，即Jacobi矩阵是奇异的。但是，由前面的讨论可知，该单元为常应变单元，即计算应变时这一奇异性消失了。只要不考虑η=1的结点，就可以利用退化单元计算该三角形3结点单元的形状函数的导数和积分。其它退化单元5.8两种特殊的映射单元*1模拟裂尖奇异性的奇异单元根据线弹性断裂力学理论，裂尖附近保留级数的第一项，裂尖附件的位移表达为应力场裂纹尖端的应力具有奇异性KI、KII和KIII为应力强度因子在裂纹尖端的应力为无穷大。子单元1-2边上任一点的坐标变换式边1-2上各结点x方向的坐标x1=0，x5=h/4，x2=h在边1-2上任一点的位移插值表达式1/4结点奇异等参元奇异性四边形8结点单元三角形6结点单元实际应用中无需修改程序，只需在离散结构时，将裂尖附近单元的中间结点置于1/4处即可。2模拟无限区域的无限单元模拟基础开挖后变形的半无限域问题用无限元模拟边界用传统有限元近似边界无限元母单元与子单元的映射假设映射关系可用Q和P点的坐标表达坐标映射关系假设r是从C点开始度量未知函数u用多项式近似扩展到二维ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)如何进行积分计算？数值积分5.9单元数值积分yx子单元母单元1一维数值积分求积分构造使ξ

i:积分点。积分点的数目和位置决定近似函数与原函数的近似程度，决定积分精度。1）Newton-Cotes积分Lagrange多项式是积分区间上的等分点坐标。积分精度余项作变换n-1阶Newton－Cotes积分常数若F(ξ)是n-1阶多项式，因Newton－Cotes积分精度为n-1阶的，则积分结果是精确的。积分加权系数，与被积函数无关，只与积分点个数和位置有关。由确定n个积分点。用2n-1次多项式近似原函数2）Gauss积分目的：用n个积分点获得更高的积分精度。构造n次多项式=0积分权系数（1）φ(ξ)是2n-1次多项式（2）ξi

不是等间距（3）n个

Gauss积分点可达2n-1阶精度余项一维等参单元在自然坐标下的积分限一般为（-1,1）与积分函数无关例：计算两点Gauss积分点的位置及积分权系数。构造二次多项式求积分点的位置计算积分权系数积分点数积分点坐标积分权系数10.0000000000000002.00000000000000020.5773502691896261.000000000000000-0.5773502691896261.00000000000000030.7745966692414830.555555555555556-0.7745966692414830.5555555555555560.0000000000000000.88888888888888940.8611363115940530.347854845137454-0.8611363115940530.3478548451374540.3399810435848560.652145154862546-0.3399810435848560.65214515486254650.9061798459386640.236926885056189-0.9061798459386640.2369268850561890.5384693101056830.478628670499366-0.5384693101056830.4786286704993660.0000000000000000.56888888888888960.9324695142031520.171324492379170-0.9324695142031520.1713244923791700.6612093864662650.360761573048139-0.6612093864662650.3607615730481390.2386191860831970.467913934572691-0.2386191860831970.467913934572691高斯积分点的坐标及权系数2四边形和六面体单元积分1）四边形单元一维Gauss积分权系数沿每个坐标方向的积分点数平面问题四边形单元轴对称问题四边形单元2）六面体单元3三角形和四面体积分1）三角形单元Hammer积分平面问题三角形单元载荷作用于L1=0的边上，用一维Gauss积分轴对称问题三角形单元载荷作用于L1=0上，用一维Gauss积分三角形单元数值积分点坐标和权系数2）四面体单元Hammer积分载荷作用于L1=0的面上，用三角形面积分四面体单元数值积分点坐标和权系数5.10单元积分阶次的选择1选择积分阶次的原则一维等参单元刚度阵积分：如果插值函数N为p次多项式，B矩阵中微分算子L中的导数为m阶则被积函数为2(p-m)次多项式。选择Gauss积分点数n=p-m+1，则积分精度为2n-1=2(p-m+1)-1=2(p-m)+1>2(p-m)刚度矩阵精确积分（完全积分）例：二维4结点单元n=p-m+1=2-1+1=22X2点可得精确积分实际应用中p可取决定有限元精度的完全多项式的最高阶次。减缩积分（Reducedintegration）：Gauss积分阶次低于被积函数所有项次精确积分所需阶次的积分方案。往往获得更高的积分精度。1,ξ,η,ξη1,ξ,η,ξ2,η2,ξη积分分别沿ξ和η两个方向积分每个方向的最高阶次均为2p=2，m=1二维问题刚度阵积分：分别考查沿两个积分方向的阶次常用单元积分阶次选择：ηξηξ完全积分减缩积分完全积分减缩积分ηξζηξζ完全积分减缩积分完全积分减缩积分2数值积分导致的矩阵奇异性引入位移边界条件后，或

K满秩。矩阵秩的性质（1）（2）D:dXd,rank(D)=dBi:dXnf,rank(Bi)=d,通常d<nf若有M个单元(1)

若精确积分，K

非奇异(2)

若减缩积分，可能出现零能模式（非刚体位移，应变能为零）K

非奇异的必要条件K的独立自由度数结构刚度矩阵在引入位移边界条件后消除了奇异性。这是基于刚度矩阵的积分是精确的。采用数值积分可能因为数值积分的阶次不够导致结构刚度矩阵出现奇异。采用减缩积分的时候需要检查结构刚度是否满足非奇异性例子线性单元二次单元自由度数

独立关系数自由度数

独立关系数（a）4x2-3=5>1x1x3=3奇异2x8-3=13>1x4x3=12奇异（b）6x2-3=9>2x1x3=6奇异13x2-3=23<2x4x3=12

（c）25x2-18=32<16x1x3=4865x2-34=96<16x4x3=192（a）（b）（c）3剪切自锁和沙漏模式悬臂梁问题单元网格方案（高度方向个数x长度方向个数）1x62x124x128x24四边形4结点0.1880.4780.4820.788四边形8结点0.9810.9970.9981.001六面体8结点0.2150.5030.1920.790六面体20结点0.9670.9890.9760.9961）剪切自锁单元完全积分梁挠度与理论解的比值弯矩作用下材料的变形弯矩作用下完全积分线性单元的变形积分点上的应力结果不正确产生这种伪剪切的原因是因为线性单元的边不能弯曲，它的出现意味着应变能正在产生剪切变形，而不是产生所希望的弯曲变形，因此总的挠度变小，即单元过于刚硬。这一现象称为剪切自锁。弯矩作用下完全积分二次单元的变形二次单元的边可弯曲，没有剪切自锁现象。2）沙漏模式单元网格方案（高度方向个数x长度方向个数）1x62x124x128x24四边形4结点57.2331.3281.0641.017四边形8结点0.9850.9991.0011.001六面体8结点91.9331.3281.0661.016六面体20结点1.4850.9970.9991.000单元减缩积分梁挠度与理论解的比值悬臂梁问题尺寸：55mm×25mm×1mm；材料参数：杨氏模量2×105MPa，泊松比0.3；位移约束：左边x方向位移约束，左下角点y向约束；载荷：右边上、中、下三点受集中力10N。四边形4结点单元减缩积分四边形4结点单元完全积分弯矩作用下减缩积分线性单元的变形单元变形后虚线长度未变，它们之间的夹角也未变。这种变形的弯曲模式是一个零能量模式沙漏模式(Hourglass)典型沙漏模式积分点上的所有应力分量为零。避免沙漏模式的方法细化网格设置沙漏控制选项选择其它的单元类型避免载荷或边界条件只定义在一个节点上5.11非协调单元*1问题的提出非完全多项式的高次项对精度无贡献。如：4结点四边形单元仅需3个结点即可以确定完全一次项的系数，第4结点自由度对提高精度无作用。xy梁纯弯曲问题：精确解：真实变形模式4结点四边形单元由此确定的应力：4结点四边形单元解（一个单元）不能真实反映纯弯曲梁的变形模式。原因：缺少完全的二次项。2Wilson非协调单元在4结点四边形单元形函数中增加二次项：在4个结点上为零，对结点位移无影响，只对单元内部位移起调整作用。内部结点自由度（原4结点单元刚度矩阵）由第2个方程可得：代入第1个方程得：此方法即内部自由度凝聚方法。可得单元平衡方程：协调元和非协调元计算悬臂梁结果比较协调元和非协调元计算悬臂梁算例协调性：单元边界上位移不协调——非协调单元可以，对于C0型问题，如果在单元尺寸不断缩小的情况下，即应变趋于常应变的情况下，位移的连续性能得到恢复，则非协调元的解答仍然趋于正确解。收敛性：能否描述常应变状态。检验方法：分片试验。5.12拼片试验*1有限元解的收敛性协调单元单元满足完备性要求和连续性要求。计算结果单调收敛。非协调单元单元不满足连续性要求。单元水平和单元组合后整体上满足完备性要求。计算结果不单调收敛，但也可能得到收敛解。采用减缩积分时，不精确积分导致单元之间的不协调。拼片试验用几个单元组成一个拼片，检查常应变条件是否得到满足。2拼片试验试验A试验B试验C试验A：对如图所示单元拼片所有结点给以已知的精确位移，然后在结点i检验是否满足下列平衡方程：试验B：对如图所示单元拼片边界各个结点给以已知的精确位移，由下式计算结点i的位移：把计算值与i结点的精确位移进行比较验证。试验C：对如图所示单元拼片在边界上仅固定为了消除刚体位移而不可缺少的结点自由度，在其它结点上施加按精确解计算的结点载荷，然后求解平衡方程：把求解得到的结点位移与精确位移进行比较验证。如果上述三个试验都通过了验证，则计算结果一定收敛。5.13小结单元映射坐标变换和位移插值采用相同的形式——等参变换超参单元次参单元位移插值坐标变换二维等参单元四边形单元三角形单元轴对称等参单元四边形单元三角形单元三维单元等参元六面体单元四面体单元等参元变换的条件和收敛性单元的退化两种特殊的映射单元模拟裂尖奇异性的1/4结点奇异单元模拟无限区域的无限单元单元数值积分Gauss积分四边形和六面体单元积分Gauss积分三角形和四面体积分Hammer积分单元矩阵积分阶次的选择选择积分阶次的原则完全积分减缩积分剪切自锁沙漏模式积分精度：2n-1第6章弹性实体有限元分析6.1引言实体有限元分析方法有限元建模有限元精度改进及误差估计自适应分析方法特殊单元和特殊边界处理计算结果分析（强度）6.2实体有限元分析方法1平面问题Gauss积分点，结点例子：四边形4结点单元为例

（i=1,2,3,4）

2轴对称问题Gauss积分点，结点3三维问题Gauss积分点，结点6.3有限元解的改进及误差估计1范数及误差定义一个n维向量v的范数记为（标量）当且仅当v=0时非负性齐次性三角不等式常用向量范数L1范数L2范数无穷范数有限元分析中，位移近似解的误差可用以下范数度量应变误差应力误差局部误差定义不能对全局误差给出合理的估计L1范数L2范数无穷范数L1范数L2范数无穷范数弹性力学问题定义位移误差积分表达的L2范数应力误差的L2范数区域V误差的均方根（RMS）在任意区域中定义相对能量范数误差k表示单元编号，这些单元之和为V解的能量范数2位移有限元解的性质（1）单元内部不精确满足平衡方程（4）单元交界面上应力不连续（2）力的边界上一般不精确满足边界条件（3）应力和应变解的精度比位移低一阶有限元平衡方程由加权残值法或变分原理建立计算结果具有近似性应力解的误差最小二乘的概念测量数据寻找函数使得最小，得到离散数据得最佳逼近。注意最小二乘逼近与函数插值的区别。最小二乘曲线拟合使得要要求最小中待定参数的导数为零

对近似函数有限元近似解近似解对应的势能求的极值归结为求的极小值。对线弹性体，上式还可以表示为求的极值与的差值满足加权的最小二乘结论：有限元的应变近似和应力近似解必然在真解的上下震荡单元内存在（等于真解的）最佳应力点。等参元的最佳应力点为p次多项式，L为m

阶微分为n=p-m次多项式上述积分表达式的积分阶次：2n取n+1阶Gauss积分，精度：2(n+1)-1=2n+1次如果且各分量独立，应力（应变）在Gauss积分点上是精确的。结论：在等参元中，单元中（n+1）阶（n=p-m）Gauss积分点上的应力（应变）近似解比其它部位具有较高的精度，称为最佳应力点。3应力精度的改进1）单元平均①②常用于3结点三角形单元相邻两单元构成的四边形形心处：（平均）或（面积加权平均）2）结点平均m是围绕单元i的全部单元数。计算单元①、②、③、④结点5处的应力例子：3）总体应力磨平构造一改进的应力解此改进解在全域上连续建立泛函：插值函数待求改进后的结点应力代入应力磨平的所有单元结点总数如果结点的应力分量数为k个则上式为N×k阶线性代数方程组求解此方程组即可得到所有结点的应力改进值单元中任意点的应力改进值改进应力在单元之间是连续的，精度得到提高。缺点：计算量太大的4）单元应力磨平令C＝I，未加权的最小二乘对于等参单元，可利用精度较高的Gauss积分点的应力值来改变结点应力的近似性质。例子：四边形4结点单元在Gauss积分点处可以推广到三维问题。4误差估计利用经修复后的应力代替精确解进行误差分析，进行后验误差估计修复后的计算值弹性问题的能量范数的误差估计用修复解替代精确解的误差估计方法称为基于修复解的误差估计误差估计的精度或质量可用有效指数来度量式中的范数可以是任意的范数可以证明有效指数都在以下范围实际计算结果的误差修复解的误差6.4自适应分析方法*1自适应有限单元细化对已得到的有限元结果进行误差估计，通过网格细化来获得足够的精度。1）h型自适应分析方法始终采用同一种单元，不断改变网格尺寸，式其在某些地方变得更粗，而在另外一些地方变得更细，以提供达到所要求结果的最经济方案。（a）单元细分：会出现悬空结点，实施繁琐，增加计算量，效率降低。（b）网格重分：对所有区域的单元尺寸进行新的预测，再进行一次全新的网格划分。适用于分析过程中产生严重畸变的问题。（c）r-细化：保持结点总数不变，调整结点位置以获得最佳的近似结果。网格h-细化方法：（a）初始网格；（b）单元细分（增加密度）；

（c）网格重分；（d）通过结点重置的r-细化。2）p型自适应分析方法保持网格划分固定不变，增加单元阶次。通常按升阶次序增加。（a）多项式阶次在所有区域同步增加；（b）多项式阶次在局部区域逐次生阶增加。（a）（b）（c）（d）2h型自适应方法1）网格的再划分2）预测所需的单元尺寸这种方法同时容许单元的合并（放大单元）和细分（缩小单元）。对所有单元计算误差指标当时，单元需细化。能量范数的容许值m：单元数采用四边形4结点单元网格加密求解短悬臂梁采用四边形4结点单元网格重构求解短悬臂梁基于不同自适应网格细化求解受压圆通问题：（a）所有单眼总能量均匀分布（b）能量密度均匀分布（c）每个结点最大应力误差均匀分布（d）每个结点最大应力误差百分比均匀分布所有最终网格的能量范数误差均小于5%。6.5特殊边界的处理1罚函数法引入多点约束条件多点约束（MPC）边界条件β1、β2和β0是常数，ai和aj分别为自由度i和j对应的位移。采用罚函数法将约束条件引入原泛函（势能）得到新的泛函α是一个大数刚度矩阵和载荷列向量的它元素保持不变2倾斜滚动支座边界条件滚动支座约束条件结点i的位移分量为a2i-1和a2i该两个位移分量满足如下约束条件刚度矩阵的它元素保持不变，载荷列向量没有变化。β0=0多点约束方程：3过盈配合弹性轴与弹性轴套的压装配合盈配合接触点径向位移分别为ai和aj满足约束条件刚度矩阵和载荷