2026年吉林省长春市中考数学试题（含解析）

长春市中考数学2026.06.28一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的绝对值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了有理数的绝对值的概念，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可．【详解】解：∵，∴．2.2025年我国新能源汽车年产量超过16000000辆，产品出口到多个国家和地区，成为中国制造的一张“亮丽名片”．其中16000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．【详解】解：．3.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈进行判断．【详解】解：不等式表示x的取值小于或等于1，在数轴上表示时，方向向左，且端点1处为实心圆点，观察各选项，只有B选项符合．4.如图，是的一个外角．若，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，得，代入解答即可．【详解】解：根据题意，得，，，．5.如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解．【详解】解：如图，过点作于点．光线平行且直径与光线垂直，的长度等于平行光线与之间的距离，即，在中，，，，，．6.已知一次函数，随的增大而增大．当时，下列选项中，的值可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以一次函数增减性与的符号的关系为突破口，推导时的取值范围，匹配选项．【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大，∴，将代入解析式，得∵，∴，只有D选项的数值满足．7.关于反比例函数，下列说法正确的是（）A.函数图象过点 B.函数图象位于第一、三象限C.当时，随的增大而减小 D.当时，【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可．【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误；B选项，，函数图象位于第二、四象限，B错误；C选项，当时，随的增大而增大，C错误；D选项，当时，，随的增大而增大，当时，，当时，，，D正确

．8.如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（）A.沿直线翻折 B.沿直线翻折C.向右平移2个单位 D.绕点逆时针旋转【答案】D【解析】【分析】首先证明，连接，交于点O，连接，，得到，，，，即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵，分别为边，的中点，∴，∴，∵点为正方形的中心，∴连接，交于点O，连接，，如图，∵四边形是正方形，∴，，∵点O是的中点，点E是的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形，∴，，∴绕点O逆时针旋转得到．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9.计算：________．【答案】【解析】【分析】根据有理数乘法运算法则计算，同号两数相乘符号为正，再计算绝对值的乘积.【详解】解：.10.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】提取公因式即可分解因式．【详解】解：．故答案为：．本题考查分解因式．掌握提公因式法分解因式是解题关键．11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________．【答案】【解析】【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列方程求解即可得到的值.【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得.12.如图，，直线与这三条平行线分别交于点，，．若直线与，与之间的距离分别为1和2，且，则的长是________．【答案】【解析】【分析】过点A作交直线b于点E，交直线c于点F，则可得出，，利用平行线分线段成比例定理，即可得出，代入数值计算即可．【详解】解：过点A作交直线b于点E，交直线c于点F，∵，∴，，∴，，∵，∴，即，∴．13.如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________．【答案】【解析】【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解．【详解】解：∵，∴是等边三角形，∴，∴的长是．14.如图，已知的面积为3，且．将沿方向平移长度得到，连接，，交于点，给出下面四个结论：①四边形的面积是9；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有________．【答案】①②④【解析】【分析】根据平移性质得出，，结合判定四边形为菱形；利用菱形性质、平行四边形判定及面积公式逐一判断各结论；对于结论④，利用等腰三角形性质及角直角三角形性质求解．【详解】解：由平移的性质可知，，，，，

，，且，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．对于①：设边上的高为四边形是菱形四边形的面积

，故①正确；对于②：四边形是菱形，，且，四边形是平行四边形，，，

，故②正确；对于③：四边形是菱形，为中点，，．四边形是平行四边形，，

，在中，，，，即

，故③错误；对于④：四边形是菱形，，，，即，

．过点作于点，∵在中，

，．，，，，，故④正确，综上所述，正确结论的序号有①②④．三、解答题：本题共10小题，共78分．15.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【详解】解：原式，，当时，原式．16.长春2027年第33届世界大学生冬季运动会的会徽主体形态是中国书法草书“长”字的抽象变形，吉祥物为“吉冰”“吉雪”．将三张分别印有会徽（记为A）、“吉冰”（记为B）、“吉雪”（记为C）图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中任意取出1张卡片记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用画树状图（或列表）的方法，求取出的两张卡片图案相同的概率．【答案】取出的两张卡片图案相同的概率为【解析】【分析】根据有放回的抽取规则列出所有等可能结果，进而求出取出的两张卡片图案相同的概率．【详解】解：列表为：第一次第二次共有种等可能情况，其中，取出的两张卡片图案相同的情况有种，故取出的两张卡片图案相同的概率．17.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形；（2）在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是；（3）在图③中，以格点为顶点画一个面积为12的菱形．【答案】（1）画一个三边长分别为4、、的三角形如图：（2）画出平行四边形的一条边长为3，一个角是，如图（3）以格点为顶点画一个面积为12的菱形，如图【解析】【分析】（1）根据，，结合网格的特点，画出三角形三边即可；（2）利用网格的特点，先以网格线为一边，确定一个的角，再沿着网格线取一边长为，利用平行四边形对边相互平行且相等的性质即可画出图形；（3）根据菱形的面积为对角线乘积的一半，结合的正方形网格的特点，画出菱形的对角线长分别为和即可．【小问1详解】略；【小问2详解】略；【小问3详解】略．18.甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？【答案】甲队每小时种棵树【解析】【分析】利用甲队种棵树与乙队种棵树所用时间相同的等量关系，列分式方程求解即可．【详解】解：设甲队每小时种棵树，则乙队每小时种棵树．由题意得，，解得，检验：当时，，是原分式方程的解．答：甲队每小时种30棵树．19.如图，在中，是边的中点，且．求证：四边形是矩形．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵M是边的中点，∴，∵，∴，∴∴，∴平行四边形是矩形．【解析】【分析】证明，得到，进一步得到，即可证明结论．【详解】略20.为落实教育部《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，多地中小学进一步将“健康第一”的教育理念贯穿学习生活日常．某校对七年级学生开展了体能测试，为了解学生的测试情况，现从七年级随机抽取了两组学生的测试成绩（满分100分，每组10人），并将这两组记为A组、B组．整理数据：分析数据：

平均数中位数众数A组成绩8580B组成绩8380根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：，；（2）根据以上数据，体能测试成绩更好的是组（填“A”或“B”）；（3）已知该校七年级共有300名学生，成绩为满分的学生可以获得“体能达人”的称号，估计该校七年级获得“体能达人”称号的学生人数．【答案】（1）86，80（2）A（3）45人【解析】【分析】（1）根据中位数和加权平均数的定义即可解答；（2）根据平均数和中位数，作出判断即可；（3）根据样本估计总体即可解答．【小问1详解】解：根据A组成绩统计图，可得，根据B组成绩统计图，可得B组数据从低到高为：70，70，80，80，80，80，90，90，90，100，共10个数据，其中第5，6个数据均为80，故中位数；【小问2详解】解：由（1）中数据可得，A组平均数、中位数均大于B组，故体能测试成绩更好的是A组；【小问3详解】解：（人）答：估计该校七年级获得“体能达人”称号的学生人数为45人．21.某水库一天的水位监测记录显示：前4个小时的水位没有变化，随后的20个小时，水位每小时上升的高度相同．水库内的水位高度与时间之间的函数关系如图所示．（1）随后的20个小时，水位每小时上升；（2）求所在直线对应的函数关系式；（3）当水位达到警戒水位时，求的值．【答案】（1）0.75（2）（3）【解析】【分析】本题考查了函数图象的信息获取，待定系数法求一次函数解析式．（1）先算出随后的20个小时的水位高度变化量，结合总增加水量和时间，可求出水位每小时上升量．（2）因为当时，设所在直线对应的函数关系式为，利用待定系数法求解函数关系式．（3）将代入（2）中求得的函数关系式中，求解即可．【小问1详解】解：前4个小时的水位没有变化，总水位高度为，到共，水量高度从增加到，总增加水量，水位每小时上升．故答案为：．【小问2详解】解：当时，设所在直线对应的函数关系式为，由图可知，函数过点和，代入得：

，解得，因此函数关系式为：．【小问3详解】解：将代入解析式：

，解得：．22.【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：．【问题解决】证明：如图②，连接．四边形是平行四边形，∴，．是的中点，是的中点，，．．四边形是平行四边形．．点在上，．．．【结论应用】（1）在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为；（2）如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用题干中已知结论可得，由圆周角定理得，由勾股定理计算出，最后利用平行四边形面积公式求解；（2）由题干中已知结论可得，推出，进而可得点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，根据圆外一点到圆上一点的距离，可得当点C在线段的延长线上时，长度取最大值．【小问1详解】解：如图，连接，中，，由题干中已知结论可得，，点也在上，，，的面积；【小问2详解】解：正方形中，，，由题干中已知结论可得，，点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，当点C在线段的延长线上时，长度取最大值，如图：此时．23.如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧．（1）；（2）连接，求证：；（3）当点在边上时，求的长；（4）是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长．【答案】（1）（2）证明：点、关于点对称，是的中点，是等腰直角三角形，即，；（3）（4）或【解析】【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可求解；（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出；（3）设，则，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长；（4）分两种情况讨论，点在上方和下方时，根据已知条件得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解．【小问1详解】解：在中，，，，∴；【小问2详解】略【小问3详解】解：当点落在上时，连接，如图：∵，且为的中点，即垂直平分，∴，，∴设，则，在中，，∴，解得，即，在中，，∵在中，是斜边上的中线，∴；【小问4详解】解：如图，当在的下方时，设，交于点，由（3）可得，，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴；如图，当在的上方时，延长交于点，同理可得，∴，∴，∴，解得，∴，∴，综上所述，或．24.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点在轴上，横坐标为，点在直线上，横坐标为．