人教A版高中数学必修一 1.1　集合的概念

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念学习目标1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题.2.能判断元素与集合的关系,识记常见数集的表示符号.3.掌握集合的两种表示方法,并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.【引入】某校2026级高一新生入学军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近,不是高一(1)班的同学会自动走开,这里的“集合”是一个动词,但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象[高一(1)班各位同学]聚集在一起了”,这就是本节课研究的数学重要概念——集合.一、元素与集合的概念探究1阅读下面的例子,并回答提出的问题:①在平面直角坐标系中,第四象限的点的全体;②方程x2-2026=0的所有实数根;③某校高一(1)班所有性格开朗的女生;④不等式组x-2≥(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么?提示分别为点、实数根、女生、整数解.(2)哪个语句中的对象不确定?为什么?提示③中的对象不确定,因为“性格开朗”没有明确的划分标准,其他①②④中的对象均是确定的.(3)上述问题实例中的①②④有什么共同的特点?提示三个实例中均指“所有的”,即某种研究对象的全体.1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.3.集合中元素的特征:确定性、互异性与无序性.4.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.温馨提示集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,相同的元素在同一集合中只能出现一次.例1(1)(链接教材P5练习T1)(多选)下列每组对象能构成集合的是()A.不超过20的非负数B.方程x2-9=0在实数范围内的解C.未来世界的高科技产品D.5的近似值的全体(2)若集合A中含有两个元素1和a2,则a的取值范围为.

(3)在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4,且集合A=B”,则a=.

答案(1)AB(2)a≠±1(3)±2解析(1)对于A,对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;对于B,能构成集合,方程只有两个实数根3和-3,所以能构成集合;对于C,“高科技”无明确的标准,对于一个产品是不是高科技产品无法客观判断,因此不能构成一个集合;对于D,“5的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.(2)由元素是互不相同的,得a2≠1,即a≠±1.(3)由题意得a2=4,a=±2,符合题意.思维升华1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准.2.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.3.若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等.训练1(1)(多选)下列所给对象能构成集合的是()A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点B.高中数学必修第一册教材上的所有难题C.著名的艺术大师D.某校高一年级的16岁以下的学生(2)设集合A含有两个元素x,y,B含有两个元素0,x2,若A=B,则实数x=,y=.

答案(1)AD(2)10解析(1)A,D能构成集合,二者有确定的判断标准.A中元素是“到原点的距离等于1的点”,D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.B,C项的对象不能构成集合,因为“难题”与“著名”标准不明确.(2)由题意得x即x又当x=y=0时,不满足集合中元素的互异性,所以x=1,y=0.二、元素与集合之间的关系1.元素与集合之间的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素a∉Aa不属于集合A2.常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR温馨提示符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系,且二者必居其一.例2(1)(链接教材P5练习T2)(多选)下列所给关系正确的是()A.π∈R B.2∉QC.0∈N* D.|-5|∉N*(2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,则实数a=.

答案(1)AB(2)0或-1解析(1)对于选项A,π是实数,所以π∈R正确;对于选项B,2是无理数,所以2∉Q正确;对于选项C,0不是正整数,所以0∈N*错误;对于选项D,|-5|=5为正整数,所以|-5|∉N*错误.(2)因为-3∈A,所以a解得a=0或a=-1.思维升华判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.训练2(1)(链接教材P5习题1.1T1)(多选)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是()A.5∈M B.0∈MC.1∈M D.-π2∈(2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则实数a的取值范围为.

答案(1)BD(2)-4<a≤-2解析(1)5>1,故A错误;-2<0<1,故B正确;1∉M,故C错误;-2<-π2<1,故D正确(2)因为1∉A,2∈A,所以2×1+a≤0,2三、集合的表示角度1用列举法表示集合探究2观察下面两个集合:①中国的“五岳”组成的集合M;②设集合N是小于6的正整数构成的集合.(1)上述问题中的集合M,N中的元素能一一列举出来吗?提示能.集合M中的元素为:泰山、华山、衡山、恒山、嵩山;集合N中的元素为:1,2,3,4,5.(2)上述集合M与N除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示?提示列举法.M={泰山,华山,衡山,恒山,嵩山},N={1,2,3,4,5}.把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

温馨提示(1)列举法表示集合,集合中的相同元素只能列举一次;元素与元素之间用“,”隔开;“{}”表示“所有”的含义,不能省略.(2)对于元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.例3(链接教材P3例1)用列举法表示下列给定的集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;(2)小于8的质数组成的集合B;(3)方程x2=x的实数根组成的集合C;(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}.(3)由x2=x,得x=0或x=1,所以方程x2=x的实数根组成的集合C={0,1}.(4)由y所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}.思维升华1.列举法表示集合的三个步骤:(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来.2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集,应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.角度2用描述法表示集合探究3“大于-2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗?为什么?提示不能.集合中的元素有无数多个,元素不能完全列举.探究4设x为“大于-2且小于2的实数”构成的集合的元素,x有何特征?提示x∈R且-2<x<2.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.温馨提示描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略,如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时,可以省略x∈R,如集合{x|0<x<1}.例4(链接教材P4例2)用描述法表示下列集合:(1)不等式2x-3<1的解组成的集合A;(2)被3除余2的正整数组成的集合B;(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.解(1)设代表元素为x,则x满足2x-3<1,则A={x|2x-3<1},即A={x|x<2}.(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以集合B={x|x=3n+2,n∈N}.(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0,故第二象限内的点组成的集合为C={(x,y)|x<0,y>0}.思维升华利用描述法表示集合应注意三点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x|x=2k},k∈Z,这种表示方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号,即{x|x=2k,k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.训练3选择适当方法表示下列集合:(1)由小于8的所有自然数组成的集合A;(2)自然数的平方组成的集合B;(3)方程组x+y=3,(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D.解(1)列举法A={0,1,2,3,4,5,6,7},描述法A={x∈N|x<8}.(2)描述法B={x|x=n2,n∈N}.(3)列举法C={(2,1)},描述法C=(x(4)描述法D={(x,y)|y=x2+2x-10}.【课堂达标】1.(多选)下列各组对象能构成集合的有()A.某一天到商场买过商品的顾客B.小于0的实数C.(2026,1)与(1,2026)D.中国卓越的数学家答案ABC解析A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定,能构成集合;B中小于0是一个明确的标准,能构成集合;C中(2026,1)与(1,2026)是两个不同的点,是确定的,能构成集合;D中中国卓越的数学家对象不具备确定性,不能构成一个集合.2.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{0} B.{y|y2=0}C.{x|x=0} D.{x=0}答案D解析由集合的含义知{0}={y|y2=0}={x|x=0},集合{x=0}表示由元素“x=0”组成的集合,故选D.3.已知集合A中有两个元素a2和a-1,集合B中有两个元素0和-1,若A=B,则a=.

答案0解析由于A=B,且a2≥0,所以a解之得a=0.4.用列举法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}为.

答案{(0,8),(1,7),(2,4)}解析由已知得集合D为点集,x∈N,y∈N,当x=0时,y=8;当x=1时,y=7;当x=2时,y=4.若x≥3,则y=8-x2<0,不合题意.所以集合D={(0,8),(1,7),(2,4)}.课时精练一、基础巩固1.(多选)给出下列说法,其中正确的有()A.中国的所有直辖市可以构成一个集合B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合C.正偶数的全体可以构成一个集合D.大于2026且小于2030的所有整数不能构成集合答案AC解析A,C中的元素具备确定性,可以构成集合,A,C正确.B中高一(1)班较胖的同学不具有确定性,不能构成集合,B错误.D中的元素能构成集合,D错误.2.已知集合A={x|x(x-1)=0},那么下列结论正确的是()A.0∈A B.1∉AC.-1∈A D.0∉A答案A解析∵A={x|x(x-1)=0}={0,1},∴0∈A.3.集合{x|-3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为()A.{-3,-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}答案C解析{x|-3≤x≤3,且x∈N}={0,1,2,3}.4.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为()A.2 B.-2C.4 D.6答案AC解析若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A;若a=6,则6-6=0∉A.5.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}答案D解析A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中除给定集合中的元素外,还有-3,-7,-11,…;C中当t=0时,x=-3,不属于给定的集合;只有D是正确的.6.下列说法正确的为()A.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示B.集合{0}中没有元素C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2}D.集合{(2,2)}不满足元素的互异性答案C解析由于集合{x|4<x<5}中有无数个元素,故不宜用列举法表示,故A错误;集合{0}中只有一个元素0,故B错误;{x|x2-4x+4=0}={2}={y|y=2},故C正确;集合{(2,2)}只有一个元素(2,2),符合集合的互异性,故D错误.7.下列各组集合表示同一个集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={(1,2)},N={1,2}答案B解析选项A,两个集合中的元素是有序数对,显然元素不同;选项C,集合M表示的是直线x+y=1上的点,而集合N表示的是直线x+y=1上的点的纵坐标,不是同一个集合;选项D,集合M中的元素是有序数对,而集合N中的元素是实数,不是同一个集合;选项B,两个集合都表示由2,3这两个元素构成的集合.8.以方程x2-5x+6=0和方程x2-2x-3=0的根为元素的集合中共有个元素.

答案3解析方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2-2x-3=0的根是-1,3.根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.9.设集合A是关于x的不等式3x-m-1<0的解集,若1∈A,则实数m的取值范围是.

答案m>2解析由3x-m-1<0,得x<m+1又1∈A,∴1<m+13,解之得m10.集合A={x|kx2-8x+16=0}中有两个元素,则实数k的取值组成的集合为.

答案{k|k<1,且k≠0}解析由题意,方程kx2-8x+16=0有两个不相等实数根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,∴k<1且k≠0.11.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.(1)0是否是集合A中的元素?(2)若-5∈A,求实数a的值.解(1)将x=0代入方程,则02-0-5≠0,所以0不是集合A中的元素.(2)若-5∈A,则(-5)2+5a-5=0,所以5a=-20,则a=-4.二、综合运用12.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B解析C解析集合A中的元素为y,是数集,又y=x2+1≥1,故2∈A,集合B中的元素为点(x,y),且满足y=x2+1,经验证,(3,10)∈B.13.若由a,ba,1组成的集合A与由a2,a+b,0组成的集合B相等,则a2026+b2026的值为.答案1解析由已知可得a≠0,因为两集合相等,又1≠0,所以ba=0,所以b所以a2=1,即