人教A版高中数学必修一 1.4.2　充要条件

1.4.2充要条件学习目标通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.【引入】上节课,我们学习了充分条件与必要条件,我们知道使结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构,其实在数学中,也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧!一、充要条件探究1给出以下两个“若p,则q”形式的命题:①若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.②若m≤14,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根(1)你能判断这两个命题的真假吗?提示命题①是真命题,②是真命题.(2)你能写出它们的逆命题,并判断其真假吗?提示①逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等,是真命题.②逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0有实数根,则m≤14,是真命题探究2在上述探究1的两个命题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件?你能用数学语言概括出来吗?提示①中,p是q的充分条件,也是必要条件;②中,q是p的充分条件,也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q),p是q的充要条件.1.充要条件命题真假“若p,则q”为真命题;“若q,则p”为真命题推出关系p⇔q条件关系p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件温馨提示对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.2.条件关系判定的常用结论条件p与结论q的关系结论p⇒q,且q⇏pp是q的充分不必要条件q⇒p,且p⇏qp是q的必要不充分条件p⇒q,且q⇒p,即p⇔qp是q的充要条件p⇏q,且q⇏pp是q的既不充分也不必要条件角度1条件关系的判断例1(链接教材P21例3)判断下列各题中,p是否为q的充要条件?(1)p:|x|=|y|,q:x3=y3.(2)p:在△ABC中,AB>AC,q:在△ABC中,∠C>∠B.(3)p:A⊆B,q:A∪B=B.解(1)当|x|=|y|时,x=±y⇏x3=y3,但x3=y3⇒x=y⇒|x|=|y|,故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件).(2)在△ABC中,大边对大角,故AB>AC⇔∠C>∠B,则p是q的充要条件.(3)若A⊆B,则A∪B=B,反之若A∪B=B,则A⊆B,所以p是q的充要条件.思维升华判定条件关系:(1)分清楚条件是什么,结论是什么;(2)尝试用条件推结论,或用结论推条件(或举反例);(3)下结论.角度2条件关系的探求例2(链接教材P22练习T2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A⊆(A∩B)的充要条件为;一个充分不必要条件可为.

答案a≤96≤a≤9(答案不唯一)解析A⊆(A∩B)⇔A⊆B,B={x|3≤x≤22}.若A=⌀,则2a+1>3a-5,解得a<6;若A≠⌀,则A⊆B⇔2a+1≥3,3a-5综上可知,A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9;一个充分不必要条件可为6≤a≤9.思维升华探求充要条件的两种方法(1)等价法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的.(2)非等价法:先寻找必要条件,再找充分条件,从必要性和充分性两方面说明.训练1(1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0(2)如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么()A.丙是甲的充分不必要条件B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分又不必要条件答案(1)D(2)A解析(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.(2)如图所示,∵甲是乙的必要条件,∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙⇒乙,但乙⇏丙.综上,有丙⇒乙⇒甲,甲⇏丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.二、充要条件的证明例3(链接教材P23T5)求证:△ABC为等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.(这里a,b,c是△ABC的三边边长)证明(1)必要性由△ABC为等边三角形,得a=b=c,所以a2+b2+c2=ab+ac+bc.(2)充分性由a2+b2+c2=ab+ac+bc,得2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则a=b=c,所以△ABC为等边三角形.根据(1)(2)知,△ABC为等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.思维升华充要条件证明的两个思路(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.训练2求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实数根和一负实数根的充要条件是ac<0.证明必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实数根和一负实数根,∴Δ=b2-4ac>0,且x1x2=ca∴ac<0.充分性:由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=ca∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实数根.综上知:ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实数根的充要条件是ac<0.三、充要条件的应用例4已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10},故有1-解得m≤3.又因为m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.迁移本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解若p是q的充要条件,则-2=1-m,故不存在实数m,使得p是q的充要条件.思维升华应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.训练3已知p:1≤x≤a(a≥1),q:1≤x≤2.(1)当a为何值时,p是q的充分不必要条件?(2)当a为何值时,p是q的充要条件?解(1)因为p是q的充分不必要条件,所以{x|1≤x≤a}⫋{x|1≤x≤2},所以1≤a<2.所以当1≤a<2时,p是q的充分不必要条件.(2)因为p是q的充要条件,所以{x|1≤x≤2}={x|1≤x≤a},所以a=2.所以当a=2时,p是q的充要条件.【课堂达标】1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.2.下列说法正确的是()A.“ac=bc”是“a=b”的充分条件B.“x≥1”是“x2≥1”的充要条件C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件D.“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件答案D解析对于A,当c=0时,满足ac=bc,此时存在a≠b,故A错误.对于B,x2≥1等价于x≥1或x≤-1,故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件,故B错误.对于C,“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件,故C错误.对于D,“1<x<3”是“x≥0”的充分不必要条件,故D正确.3.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.

答案m=-2解析函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则-m2=1,即m反之,当m=-2时,则函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称.4.已知“p:x>m+3或x<m”是“q:-4<x<1”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.

答案{m|m≤-7,或m≥1}解析因为p是q成立的必要不充分条件,所以m+3≤-4或m≥1,故m≤-7或m≥1.课时精练一、基础巩固1.设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,则“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析a2+b2=c2⇔△ABC为直角三角形.2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2,又当0≤x≤2时,一定有x≤2,故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.3.使“x∈x|x≥3,或x≤A.x≥0 B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5} D.x≤-12或x≥答案C解析选项中只有x∈{-1,3,5}是使“x∈x|x≥3,或4.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是()A.ab=0 B.ab<0C.ab≥0 D.ab≤0答案C解析|a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)2=(|a|+|b|)2⇔a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2⇔ab=|ab|⇔ab≥0.5.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方,则Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.由于{a|0<a<1}⫋{a|0≤a≤1},故“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分不必要条件.6.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q且q⇏p,因为r是q的必要不充分条件,所以q⇒r且r⇏q,因为s是r的充要条件,所以s⇒r且r⇒s,如图,所以p⇒s且s⇏p,故s是p的必要不充分条件.7.(多选)下列结论正确的是()A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件C.“0<a<4”是“不等式ax2+ax+1>0恒成立”的充要条件D.“三角形存在两角相等”是“三角形为等腰三角形”的充要条件答案ABD解析对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确;对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,“三角形存在两角相等”是“三角形为等腰三角形”的充要条件,故D正确.8.p:两个三角形的两组对应角相等,q:两个三角形相似,则p是q的条件.

答案充要解析p⇒q,q⇒p,故p是q的充要条件.9.“x=3或x=4”是“x-3=x-3”的条件.答案充要解析由x-3=x-3,得x=3或x=4显然x=3或x=4时,x-3=x-3故“x=3或x=4”是“x-3=x-3”的充要条件10.若“x≤-1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件,则实数a的最大值为.

答案-1解析“x≤-1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件,则由“x<a”可以推出“x≤-1或x≥1”,但由“x≤-1或x≥1”推不出“x<a”,所以a≤-1,所以实数a的最大值为-1.11.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.证明①充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,函数图象过原点.②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0.综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.二、综合运用12.(多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是()A.“a2=b2”是“a2c2=b2c2”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案CD解析对于A,因为当a2=b2时,a2c2=b2c2成立,而当c2=0,a2c2=b2c2时,a2=b2不一定成立,所以“a2=b2”是“a2c2=b2c2”的充分不必要条件,故A错误.对于B,当a=-1,b=-2时,a>b,但a2<b2;当a=-2,b=1时,a2>b2,但a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故B错误.对于C,由a<3⇒a<5,∴“a<5”是“a<3”的必要条件,故C正确.显然“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故D正确.13.关于x的方程x2-|x|+a-1=0有四个不等实数根的充要条件是.

答案1<a<5解析令|x|=t,t>0,要使关于x的方程x2-|x|+a-1=0有四个不等实数根,则使关于t的方程t2-t+a-1=0有两个不同的正根即可,其根设为t1,t2,则Δ即Δ=1-4(a-1)>0,t1+即原方程有四个不等实数根的充要条件是1<a<5414.在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由.问题:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的?

解由题意知A={x|0≤x≤4},若选①,则A是B的真子集,所以1-a≤0且1+a≥4(两等号不能同时取得),又a>0,解得a≥3,所以存在a,a的取值集合M={a|a≥3}.若选②,则B是A的真子集,所以1-a≥0且1+a≤4(两等号不能同时取得)