人教A版高中数学必修一 3.4　函数的应用(一)

3.4函数的应用(一)学习目标1.理解、体会一次函数、二次函数、幂函数与分段函数模型的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决简单的实际问题.【引入】我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数与分段函数都与现实世界有着紧密联系,本节课我们将通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法.一、一次函数模型例1(链接教材P93例1)为了发展电信业务,方便用户,某电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解(1)由图象设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30,y2=k2x,得k1=16,k2=1∴y1=16x+30(x≥0),y2=12x(x(2)令y1=y2,即16x+30=12x,则当x=90时,y1=y2,两种卡收费一致;当0≤x<90时,y1>y2,使用便民卡便宜;当x>90时,y1<y2,使用如意卡便宜.思维升华1.在用函数刻画实际问题时,除了用函数解析式刻画外,函数图象也能够发挥很好的作用,因此,应注意提高读图的能力.2.一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线,求解时,要注意待定系数法的应用.训练1某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少?解(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由图象可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.所以60所以y与x之间的函数关系式为y=1(2)根据题意,当y=0时,0≤x≤30.所以旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.二、幂函数与二次函数模型角度1二次函数模型例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解(1)根据题意,得y=90-3(x-50),则y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.角度2幂函数模型例3(链接教材P91习题T2)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R与管道半径r的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s,求该气体通过半径为rcm的管道时,其流量R的函数解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量(精确到1cm3/s).解(1)由题意,得R=kr4(k是大于0的常数).(2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·34=400,所以k=40081所以函数解析式为R=40081·r4(3)因为R=40081·r4所以当r=5cm时,R=40081×54≈3086(cm3/所以气体通过的管道半径为5cm时,该气体的流量为3086cm3/s.思维升华1.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.2.幂函数应用的常见问题(1)给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.训练2(1)某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(单位:万元)与药品利润y(单位:万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元,已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告费用投入5万元,预计今年药品利润为万元.

(2)(链接教材P95练习T2)如图,一个长为5、宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割,其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形,则阴影部分的面积的最小值为.

答案(1)125(2)7解析(1)由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y=xα中,即3α=27,解得α=3,故函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=125.(2)由题意可知,S阴影=x2+(5-x)(3-x)=2x2-8x+15=2(x-2)2+7,所以当x=2时,S阴影有最小值,最小值为7.三、分段函数模型例4(链接教材P100T6)共建“一带一路”倡议提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台需要另投入成本C(x)(单位:万元).当年产量不足80台时,C(x)=12x2+40x,当年产量不小于80台时,C(x)=101x+8100x-2180,若每台设备售价为100万元,通过市场分析,(1)求年利润y(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数关系式;(2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?并求出这个最大利润.解(1)当0<x<80时,y=100x-12x2+40x-500=-1当x≥80时,y=100x-101x+8100x-2180于是y=-(2)由(1)可知当0<x<80时,y=-12(x-60)2+1当x=60时,y取得最大值为1300,当x≥80时,y=1680-x+8100x≤1680-2x·当且仅当x=8100x即x=90时,y取最大值为1500.综上所述,当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润为1500万元.思维升华1.分段函数模型应用的关键是合理分段,不重不漏,把各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.2.应用分段函数时注意两点:(1)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;(2)求分段函数的值域(最值):逐段求函数值的范围(最值),最后比较再下结论.训练3某市经测算2026年6月每日处理厨余垃圾的成本P(单位:元)与日处理量x(单位:吨)之间的函数解析式可近似地表示为P(x)=40x,0≤x≤20,(1)设纯收益为y元,写出函数y=f(x)的解析式;(纯收益=总收益-成本)(2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时,获得日纯收益最大?解(1)由题意可得f(x)=100x-P(x)=100=60(2)当0≤x≤20时,f(x)=60x递增,可得f(x)的最大值为f(20)=1200;当20<x≤30时,f(x)=-12x2+24x+1000=-12(x-24)2+1当x=24时,f(x)的最大值为1288.因为1288>1200,所以该公司每日处理厨余垃圾24吨时,获得日纯收益最大.【课堂达标】1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km,则这辆汽车行驶的路程y(单位:km)与时间t(单位:h)之间的函数关系式是()A.y=2t B.y=120tC.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0)答案D解析因为90min=1.5h,所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h),则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y=120t(t≥0).2.某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车,每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时,未租出的汽车就会多4辆,租出的汽车每天需要维护费20元.每辆车的日租金为多少时,租赁公司的日收益最大()A.155 B.165C.178 D.185答案D解析设每辆车的日租金为x元,租赁公司的日收益为W元,则每辆车的日收益为(x-20)元,租赁公司日出租车辆数为200-x-1005所以W=(x-20)200-x-1005×4=-45x所以当x=-296-45×2=185则每辆车的日租金为185元时,租赁公司的日收益最大.3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过年.

答案7解析由图得y=-(x-6)2+11,令y≥0,得6-11≤x≤6+11,所以有营运利润的时间为211,又6<211<7,故有营运利润的时间不超过7年.4.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费);超过3千米但不超过8千米时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8千米时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米,则需付车费元,若某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此出租车行驶了千米.

答案14.599解析设出租车行驶x千米时,付费y元,则y=9,0<当x=5.6时,y=8+2.15×2.6+1=14.59(元).由y=22.6,知x>8,由8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9.课时精练一、基础巩固1.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A.6s B.4sC.3s D.2s答案A解析令h=30t-5t2=0,得t=0或t=6.故小球从抛出至回落到地面所需要的时间为6-0=6(s).2.某种杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.若使提价后的销售总收入不低于20万元,应确定的价格x元的取值范围是()A.{x|0<x<2.5}B.{x|x>4}C.{x|2.5≤x≤4}D.{x|0<x<2.5,或x>4}答案C解析提价后的价格为x元,由题意可得,x·8-x-2.5解得2.5≤x≤4.3.某品种鲜花进货价5元/支,据市场调查,当销售价格x(单位:元/支)在x∈[5,15]时,每天售出该鲜花支数p(x)=500x-4,若想每天获得的利润最多,则销售价格应定为(A.9元 B.11元C.13元 D.15元答案D解析设每天的利润为y元,则y=(x-5)×500x-4=500×1-1x-4,5≤x≤故当x=15时,y取得最大值.4.某地供电公司规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费,夜间月用电量x(单位:kW·h)与相应电费y(单位:元)之间的函数关系如图所示,当夜间月用电量为300kW·h时,应交电费为()A.130元 B.140元C.150元 D.160元答案D解析结合函数图象可知,当x∈(100,+∞)时,y与x之间是一次函数,设y=kx+b(k≠0),x∈(100,+∞),当x=100时,y=60;当x=200时,y=110,则60=100此时y=12x+10,x∈(100,+∞所以当x=300时,y=12×5.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多因素相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0为安全距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30m时A.135 B.149C.165 D.195答案B解析由题意可知,N=1000=10000.7+0.3v+当且仅当0.3v=30v,即v=10m/s时取等号6.某工厂计划在一边长为60m的正三角形空地上建造一座长方体的厂房,则厂房占地面积的最大值为()A.4003m2 B.4503m2C.400m2 D.450m2答案B解析在正三角形ABC中,设D为BC的中点,连接AD,则AD⊥BC,AD=303m.设长方形的长为2xm,宽为ym,由于EF∥DC,所以EFDC=x30=AEAD得y=303-3x.所以厂房占地面积为2xy=-23x2+603x=-23(x-15)2+4503(0<x<30),当x=15m时,厂房占地面积取到最大值,最大值为4503m2.故选B.7.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图表示甲同学从家出发步行到乙同学家经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:min)的关系,下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲同学从家到公园的时间是30minC.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=115答案BD解析在A中,甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,故选项A错误;由题中图象知,甲同学从家到公园的时间是30min,故选项B正确;甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,故选项C错误;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=115,故选项D正确8.某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为.

答案y=-14x+50(0<x解析设解析式为y=kx+b(k≠0),其中x为每件产品的定价(单位:元),y为每天售出的件数(单位:件),由30=∴y=-14x+50(0<x9.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米.

答案0.5解析若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系,则抛物线的对称轴为直线x=1.设抛物线方程为y=ax2-2ax+2.5,当x=0.5时,y=0.25a-a+2.5=1,解得a=2.∴y=2(x-1)2+0.5,∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米.10.小李在网上开了一家水果店,销售的水果中有火龙果、白兰瓜、葡萄柚,价格分别为60元/盒、70元/盒、80元/盒.为了增加销量,小李进行了一次促销活动:若一次购买水果总价不低于100元,顾客就少付x元.每笔订单顾客在网上支付成功后,小李会得到支付款的80%.(1)当x=15元时,顾客一次购买火龙果和葡萄柚各一盒,小李会得到支付款元.

(2)在促销活动中,为保证小李每笔订单得到的支付款均不低于促销前水果总价的六折,则x的最大值为元.

答案(1)100(2)25解析(1)当x=15时,顾客一次购买火龙果和葡萄柚各1盒,价格为60+80=140(元),顾客需要支付140-15=125(元),小李会得到支付款125×80%=100(元).(2)在促销活动中,设订单总金额为m元,可得(m-x)×80%≥m×60%,即有x≤m4恒成立由题意可得m≥100,所以x≤1004则x的最大值为25元.11.计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道,两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x米,两个养殖池的总面积为y平方米,如图所示.(1)将y表示为x的函数,并写出定义域;(2)当x取何值时,y取最大值?最大值是多少?解(1)由题意可知温室的另一边长度为1500x米,养殖池的两边长度分别为(x-3)米和12所以两个养殖池的总面积y=2×121500x-5(x-3)=因为1500x-5>0,x-3>0,所以定义域为{x|3<x<300}.(2)由(1)可知y=1500x-5(=1515-5x+4500x≤=1215,当且仅当5x=4500x,即x=30时,等号成立所以当温室的边长x取30米时,总面积y取得最大值1215平方米.二、综合运用12.(多选)汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停下,我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离往往跟行驶速度有关.在一个限速30km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不妙,同时刹车后还是相撞了.事发后,交警现场测得甲车的刹车距离略超过8m,乙车的刹车距离略超过6m,若甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)的关系大致如下:s甲=1100x2+15x,s乙=1200x2+120x,A.甲车超速B.乙车超速C.刹车前甲车的行驶速度大于20km/hD.刹车前乙车的行驶速度大于30km/h答案BCD解析由1100x2+15解得x<-40或x>20;由1200x2+120x>6,解得x<-40或因为x>0,所以x甲>20km/h,x乙>30km/h.经比较知,乙车超速.13.为了抗击某病毒,医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量y(单位:mg·m-3)与时间t(单位:h)的函数关系为y=kt,0<t<12,1kt,t≥12,如图所示,实验表明,当药物释放量y<0.75mg·m-3时对人体无害,则答案240解析由图象知,当t=12时,y∴112k=1,依题意12t<0.75,t≥则为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过23×60=40min,人方可进入房间14.某家庭进行理财投资,根据长期收益率对市场预测:投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元,设投资额为x万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎么分配资金能使投