人教A版高中数学必修一 第二课时　简单的三角恒等变换(二)

第二课时简单的三角恒等变换(二)学习目标1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简.2.能够利用三角恒等变换解决三角函数中的问题以及生活中的实际问题.【引入】我们从开始学习两角差的余弦,就尝试对展开式进行合并,尤其是一些特殊的形式,比如sinx+cosx等,其实从那个时候起,就开始有了辅助角公式的影子,大家知道吗?辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的,辅助角公式的提出,对整个三角函数产生了巨大的影响.一、辅助角公式探究(1)利用和差角的正弦公式,如何化简三角函数式12sinα+32cos提示12sinα+32cosα=sin(2)asinx+bcosx的化简结果是什么?主要步骤是什么?提示asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tan第一步:提常数,提出a2得到a2第二步:定角度,确定一个角φ满足cosφ=aa2+b2,sin得到a2+b2(cosφsinx+sinφ第三步:化简、逆用公式得asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tan1.asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba,φ所在象限由2.asinx+bcosx的最大值为a2+b2,温馨提示asinx+bcosx=a2+b2cos(x-θ例1(1)sinπ12-3cosπ12=(2)函数f(x)=24sinπ4-x+64cosπ4-答案(1)-2(2)2π2解析(1)sinπ12-3cos=21=2sinπ12=-2sinπ4=-2(2)f(x)=2=2=22sinπ4-x+所以函数f(x)的最小正周期为2π,最大值为22思维升华1.辅助角公式其实质是两角和差公式的逆用,关键是把常数aa2+b2.利用辅助角公式将三角函数统一为复角的一种三角函数,不仅利用其化简求值,亦可进一步研究函数的基本性质.训练1(1)(链接教材P227例9)函数f(x)=5cosx+12sinx的最小值为.

(2)3sin10°sin40°+4cos220°=答案(1)-13(2)4解析(1)f(x)=135=13sin(x+φ)其中tan∴f(x)min=-13.(2)3sin10°sin40°+4cos=3sin10°sin40°+2(1+cos=3sin10°sin40°+2cos=3sin10°+2sin40°cos40°=3sin10°+sin80°=3sin10°+cos10°=2sin(10°+30°)sin40°二、三角恒等变换的实际应用例2(链接教材P227例10)如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C,D为半圆上的点.(1)请你确定点C的位置,使△ABC的周长最大,并说明理由;(2)已知AD=DC,设∠ABD=θ,当θ为何值时,四边形ABCD的周长最大?并求出最大值.解(1)如图,当C在半圆中点位置时,△ABC的周长最大.理由如下:因为点C在半圆上,且AB是圆的直径,所以∠ACB=π2即△ABC是直角三角形.设BC=a,AC=b,∠ABC=α0<α又AB=2,则a=2cosα,b=2sinα,△ABC的周长=a+b+2=2cosα+2sinα+2=2(cosα+sinα)+2=22sinα+因为0<α<π2,所以π4<α+π4所以当α+π4=π2,即α=π△ABC的周长取得最大值22+2,此时C是半圆的中点.(2)因为AD=DC,所以∠ABD=∠DBC=θ,所以AD=DC=ABsinθ=2sinθ,CB=ABcos2θ=2cos2θ.设四边形ABCD的周长为p,则p=AD+DC+CB+AB=4sinθ+2cos2θ+2=4sinθ+2(1-2sin2θ)+2=5-4sinθ显然θ∈0,π4,所以当θ=π6时,思维升华1.解题的关键是合理地引入自变量,本题引入辅助角α,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题.2.求解过程中注意三点:(1)充分借助平面几何性质,寻找数量关系;(2)注意实际问题中变量(角α)的范围;(3)重视三角函数有界性的影响.训练2有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大面积是多少?解如图所示,设∠AOB=θθ∈则AB=asinθ,OA=acosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,所以S=2acosθ·asinθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ.因为θ∈0,π2,所以2θ因此,当2θ=π2,即θ=π4时,Smax=a这时点A,D到点O的距离为22a,矩形ABCD面积的最大值为a2三、三角恒等变换与三角函数的性质例3已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)-sin2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间及最小正周期;(2)若当x∈0,π2时,关于f(x)≥m的不等式,求实数m的取值范围,请选择①和②中的一个条件,补全问题(2),并求解,其中,①有解;②恒成立解(1)f(x)=cosx23sinx=3sin2x+cos2x-sin2x=3sin2x+cos2x=2sin2x令2x+π6∈2kπ-π2得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈所以f(x)的单调递增区间为kπ-k∈Z.f(x)的最小正周期T=2π2(2)由x∈0,π2,得π6≤2x+π因此-12≤sin2x+π6≤1,f选择条件①,即关于f(x)≥m的不等式有解,则m≤f(x)max=2,所以实数m的取值范围为(-∞,2].选择条件②,即关于f(x)≥m的不等式恒成立,则m≤f(x)min=-1.所以实数m的取值范围为(-∞,-1].思维升华1.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异.最终化为形如y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k的形式),这是解决问题的前提.2.将ωx+φ看作整体,借助三角函数的性质,利用整体代换思想求解问题.训练3(链接教材P230T17)已知函数f(x)=3sin2x-π6+2sin2x-(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解(1)∵f(x)=3sin2x2sin2x-π12=3sin=232=2sin2x=2sin2x∴f(x)的最小正周期为T=2π2(2)当f(x)取得最大值时,sin2x故2x-π3=2kπ+π2(k∈即x=kπ+5π12(k∈Z∴所求x的集合为x|x=【课堂达标】1.已知3sinx+cosx=22,则cosx-π3A.12 B.C.23 D.答案B解析∵3sinx+cosx=2sinx+π6∴sinx+π6则cosx-π3=sinx2.(多选)若函数f(x)=sin2x+cos2x,则()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为2C.函数f(x)的一个对称中心为πD.函数f(x)在π,9π答案BD解析f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x∴函数f(x)的最小正周期为π,函数f(x)的最大值为2,故A错误,B正确.由fπ8=2sin2×π8故C错误.由π<x<9π8,得9π4<2x+π4∴函数f(x)在π,98π上单调递增3.若3sinx-3cosx=23sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ=.

答案-π解析3sinx-3cosx=2332sinx-因为φ∈(-π,π),所以φ=-π64.函数f(x)=3sinx+5sinx+π3的最大值是答案7解析f(x)=3sinx+51=112sinx+532cosx=7sin(x所以f(x)max=7.课时精练一、基础巩固1.已知θ是钝角,那么下列各值中sinθ-cosθ能取到的值是()A.43 B.C.53 D.答案A解析因为sinθ-cosθ=2sinθ-θ是钝角,即π2<θ<π,π4<θ-π4所以1<2sinθ-π4故sinθ-cosθ能取到的值是432.函数f(x)=sinx+cosx的一个对称中心是()A.π2,0C.-π2答案D解析f(x)=sinx+cosx=2sinx+四个选项中只有当x=-π4时,f-π43.若π2<α<π,则|cosα|+221-cos2A.0 B.2cosαC.2sinα-π4 D.答案C解析因为π2<α所以|cosα|+2=-cosα+2=-cosα+2=sinα-cosα=2sinα-4.sin8°+3cos8°2cos22°A.2 B.1C.22 D.答案A解析sin8°+3cos8°=2sin(8°+60°)2cos22°=2sin68°25.已知cosx-π6=-33,则的值是()A.-233C.-1 D.±1答案C解析cosx+cosx=cosx+12cosx+32sin=32cosx+32sin=3=3cosx-6.已知函数f(x)=sinx+3cosx+1在区间[0,2π]上有两个零点α,β(α<β),则sin(α-β)等于()A.-12 B.-C.12 D.答案B解析因为f(x)=sinx+3cosx+1=2sinx+π3+1在区间所以sinx+π3=-12,x+所以x+π3=7π6或11π6,又α<β,故α=5π6,β=3π故α-β=-2π3,故sin(α-β)=-37.(多选)设函数f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x,则下列结论正确的是()A.f(x)的最大值为2+1B.f(x)的一个零点为x=πC.f(x)的最小正周期为πD.y=f(x)的图象关于直线x=3π8答案ACD解析f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x=1+sin2x-cos2x=1+2sin2x所以f(x)的最小正周期为π,f(x)的最大值为2+1,A,C正确;当x=3π8时,sin2所以y=f(x)的图象关于直线x=3π8对称,D正确因为fπ8=1≠0,所以x=π8不是零点,B8.y=315sinx+35cosx的最小正周期是,最大值是.

答案2π65解析y=315sinx+35cosx=6532sinx+所以函数的最小正周期T=2π,最大值为65.9.若3sinx+cosx=4-m,则实数m的取值范围是.

答案[2,6]解析3sinx+cosx=23=2sinπ3=4-m.∵-1≤cosx-π3≤1,∴-2≤4-∴2≤m≤6.10.喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=v2gsin2α,能够达到的最高高度为H=v24g(1-cos2α)(如图,其中g为重力加速度).若tanα=52,则H答案5解析HD=v2=2sin2α8sinαcosα=sinα11.如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最长?解设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OB=Rcosα,所以l=OA+AB+OB=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=2Rsinα+π4因为0<α<π2所以π4<α+π4<所以当α+π4=π即α=π4时,l的最大值为2R+R=(2+1)R故当α=π4时,△OAB的周长最长二、综合运用12.(多选)已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x,则下列说法正确的是()A.f(x)的最大值为2B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)关于直线x=-π8D.f(x)在0,π答案BCD解析∵f(x)=12sin2x+=12(sin2x-cos2x)+12=22sin2∴f(x)max=22+12=最小正周期T=2π2当x=-π8时,sin2∴直线x=-π8为对称轴当x∈0,π4时,2x-π4∴f(x)在0,π4综上有B,C,D正确,A不正确.13.如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为π2,若P为AB上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于38时,∠POQ的取值范围为答案π解析设∠POQ=θ0<θ则PQ=sinθ,OQ=cosθ,∴S△POQ=12sinθcosθ=14sin2由14sin2θ>38,得sin2θ>又2θ∈(0,π),∴π3<2θ<2π则π6<θ<π∴∠POQ的取值范围为π614.已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x.(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离;(2)求函数f(x)在区间-π6,π3上的最大值与最小值解f(x