人教A版高中数学必修一 教考衔接-高考考法研析(二)

教考衔接——高考考法研析(二)考法1不等式的解法该考法考查一元二次不等式以及分式不等式的解法,涉及的主要方法有数形结合法、分类讨论法、十字相乘法等,常以选择、填空题的形式出现,难度较低.例1(1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式x-4x-1≥2的解集是A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}(3)(2024·上海卷)不等式x2-2x-3<0的解集为.

答案(1)C(2)C(3){x|-1<x<3}解析(1)因为x-4x-1≥2,所以即x+2x-1≤解得-2≤x<1,故选C.(2)因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3,或x≤-2},所以M∩N={-2},故选C.(3)由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1<x<3.考法2基本不等式该考法考查利用基本不等式求最值,涉及的主要方法有直接法、换元法、“1”的代换、配凑法、分离常数法等,常以选择、填空题的形式出现,难度中档.例2(1)(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则()A.a2+b2>2ab B.1a+1bC.a+b>ab D.1a+1b(2)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1(3)(2025·上海卷)设a,b>0,a+1b=1,则b+1a的最小值为答案(1)C(2)BC(3)4解析(1)对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;对于BD,取a=12,b=14,此时1a+1b=2+4=6<112×14=8=1ab,1a+1对于C,由基本不等式可得a+b≥2ab>ab,故C正确.(2)由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3x+当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;因为-x2+y22所以-x2+y22≤x2+y所以23≤x2+y2≤2,故C正确,D错误(3)b+1a=b+1aa+1b=ab+1ab+2≥2ab·1ab+2=4,当且仅当ab=1ab且a【高考真题精选精练】1.(2025·上海卷)不等式x-3x-1<0的解集为答案(1,3)解析原不等式等价于(解得1<x<3.2.(2021·上海卷)不等式2x+5x-2<1答案{x|-7<x<2}解析2x+5x-2<1⇔2x+5x-2-1<0⇔解得-7<x<2.3.(2020·天津卷)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8答案4解析12a+12b+8a+b=a+b2当且仅当a+b2即a+b=4时取等号.又∵ab=1,∴a=2+3∴12a+12b+4.(2020·江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.

答案4解析由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=1-y∴x2+y2=1-y45y2+y2=1+4y45y2当且仅当15y2=4y25,即y2=12,x2故x2+y2的最小值为455.(2021·天津卷)若a>0,b>0,则1a+ab2+b的最小值为答案22解析因为a>0,b>0,所以1a+ab2+b≥21a·ab2+b=2当且仅当1即a=b=2时,等号成立,故1a+ab2+b的最小值为6.(2025·天津卷)若a,b∈R,∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为.

答案-4解析设t=2a+b,则b=t-2a,代入不等式,得tx2+(t-2a)x-a-1≤0需满足∀x∈[-2,2]恒成立.不妨取x=-12得t4-t-2a2-a-1=-解得t≥-4.当t=-4时,原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0,即-2x+12a+1观察可