人教A版高中数学必修一 培优课　三角函数中的参数问题

培优课三角函数中的参数问题题型分析含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.常有以下几类求参数问题.一、定义域与最值中的参数例1若函数y=a-bcosx(b<0)的最大值为32,最小值为-12,求函数y=-4acosbx解∵y=a-bcosx(b<0),∴ymax=a-b=32,ymin=a+b=-1由a∴y=-4acosbx=-2cosx,∴函数y=-4acosbx的最大值为2,最小值为-2,最小正周期为2π.训练1若y=asinx+b的最大值为3,最小值为1,则ab=.

答案±2解析由题意知a解得|a|=1,b=2,则a=±1,b=2.所以ab=±2.二、奇偶性与对称性中的参数例2(1)如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么|φ|取最小值时,φ的值为()A.±π3 B.C.-π2 D.±(2)如果函数f(x)=cosωx+π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6,则ω答案(1)D(2)6解析(1)由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,得2π+φ=π2+kπ,则φ=-3π2+kπ,k∈当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-π2或k即φ=π2故|φ|取最小值时,φ的值为±π2(2)因为函数f(x)=cosωx+π4(ω>0)所以T=2×π6=π由2πω=π3,解得训练2(1)已知函数y=2sinx+π4+φ是奇函数,则A.0 B.-πC.π2(2)已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象的一个对称中心为π3,0且|φ|<π2,则φ=答案(1)B(2)-π3或解析(1)y=2sinx+π则只需π4+φ=kπ,从而φ=kπ-π4,k∈显然当k=0时,φ=-π4满足题意(2)由题意得π3+φ=kπ2(k则φ=kπ2-π3(k又|φ|<π2,所以φ=π6或φ=-三、单调性中的参数例3已知函数y=sinωx+π3(ω>0)在区间-π6,π3答案0,解析当-π6<x<π3-πω6+π3<ωx+π3<∵当x=0时,ωx+π3=π由于函数y=sinωx+π3(ω>0)在区间∴-πω6+π∵ω>0,∴0<ω≤12因此,ω的取值范围是0,1训练3已知函数y=tanωx在区间-π2,π2内单调递减A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0C.ω≥1 D.ω≤-1答案B解析∵y=tanωx在-π2∴ω<0且T=πω≥∴-1≤ω<0.四、涉及三角函数图象的参数例4已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的图象与x(1)求f(x)的解析式;(2)求满足f(x)≥3的x的取值范围.解(1)由题意可得f(x)的周期为T=5π6-π6=2π3=πω,所以得f(x)=Atan32x+φ所以tan32×π6+所以π4+φ=kπ(k∈Z得φ=kπ-π4,k∈Z又|φ|<π2,所以φ=-π于是f(x)=Atan32它的图象过点(0,-3),所以Atan-π4=-3,得所以f(x)=3tan32(2)因为3tan32x-所以tan32x-则kπ+π6≤32x-π4<kπ+π2,解得2kπ3+5π18≤x<2kπ3所以满足f(x)≥3的x的取值范围是2kπ3+5π训练4若函数f(x)=2cos2x-π3-1在[0,m]上的最小值小于零,则m答案π解析因为x∈[0,m],所以2x-π3∈-设t=2x-π3则t∈-π作出函数y=2cost-1的图象如图所示,由y=2cost-1=0,得cost=12则t=π3+2kπ或t=-π3+2kπ,k∈则当t>0时,第一个零点为t=π3当-π3≤t≤π3时,y=2cost-1要使y=2cost-1在t∈-π3,2m-π3上的最小值小于0,则只需要解得2m>2π3,得m>π课时精练一、基础巩固1.函数f(x)=cosωx+π6(ω>0)的最小正周期为π5,则ωA.5 B.10C.15 D.20答案B解析由题意知T=2πω=π5,所以2.使cosx=1-m有意义的m的取值范围为()A.m≥0 B.0≤m≤2C.-1<m<1 D.m<-1或m>1答案B解析因为-1≤cosx≤1,所以-1≤1-m≤1,所以0≤m≤2.3.若函数f(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φA.π2 B.C.3π2 D.答案C解析∵f(x)=sinx3+∴φ3=kπ+π2,则φ=3kπ+3π2,k又φ∈[0,2π],∴φ=3π24.若函数y=tan(x-φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点,则φ的最小值为()A.0 B.πC.π2答案C解析若函数y=tan(x-φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点,则π-φ=kπ+π2(k∈Z整理得φ=-kπ+π2(k∈Z又φ≥0,所以φ的最小值为π2.故选5.已知函数y=4cosx的定义域为π3,π,值域为[a,b],则b-a的值是(A.4 B.4-23C.6 D.4+23答案C解析∵函数y=4cosx的定义域为π3∴y=4cosx在π3,π当x=π3时,y=4cosπ3=4×12=2,当x=π时,y=4cosπ=-4,函数的最小值a=-4.则b-a=2-(-4)=6.6.(多选)设函数f(x)=sinmx-π6,若点7π3,0是函数f(x)图象的对称中心,则实数A.1314 B.C.17 D.答案AD解析依题意,f73π=sin∴7π3m-π6=kπ,则m=114(6k+1),k取k=0,得m=114;取k=2,得m=137.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,φ<π2的最小正周期为π,且当x=π3时,函数f(x)取最小值,若函数f(x)在[a,0]上单调递减,A.-π6 B.-C.-2π3 D.-答案A解析因为ω>0,所以ω=2πT=2π故cos2×所以2π3+φ=π+2kπ,k∈Z解得φ=π3+2kπ,k∈Z因为|φ|<π2所以只有当k=0时,φ=π3满足要求故f(x)=cos2x因为x∈[a,0],所以2x+π3∈2故2a+π3∈0,π3,解得a故a的最小值为-π6.故选8.函数y=3cos(2x+φ)是奇函数,则|φ|的最小值是.

答案π解析因为y=3cos(2x+φ)是奇函数,所以φ=kπ+π2,k∈Z故当k=0或k=-1时,|φ|取得最小值π29.f(x)=sinωx(ω>0)在区间0,π3上单调递增,在π3,π2上单调递减,答案3解析由y=sinωx(ω>0)的图象(图略)知T4≥π3,则T≥∵2πω≥4π3,且ω>0,∴ω≤又∵sinωπ则ωπ3=π2+2kπ,k∈Z,得ω10.已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是.答案π解析因为函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,所以cosπ所以π3+θ=π+2kπ,k∈Z又因为0<θ<π,所以θ=2π3,即f(x)=cosx令-π+2kπ≤x+2π3≤2kπ,k∈Z解得-5π3+2kπ≤x≤-2π3+2kπ,k∈结合x∈[0,π],所以f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是π311.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω均为正的常数,且0<φ<π)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值(1)求函数f(x)的对称轴方程;(2)试比较f(0)与f(2)的大小.解由于f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ).因为当x=2π3时,函数f(x)取得最小值所以A=2,且sin2×所以4π3+φ=2kπ-π2,k∈因此φ=2kπ-116π,k∈Z又0<φ<π,取k=1,得φ=π6所以f(x)=2sin2x(1)令2x+π6=kπ+π2,k∈所以x=kπ2+π6,k故函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+π6,k(2)由(1)知f(x)=2sin2x则f(2)=2sin4+π6,f(0)=2sin又π<4+π6<2π,知f故f(2)<f(0).二、综合运用12.(多选)已知函数f(x)=sinωx在0,3π4上恰有4个零点,则正整数ω的值可以为(A.3 B.4C.5 D.6答案BC解析因为函数f(x)=sinωx在0,3π4上恰有4个零点,且f(x)所以32T≤3π4<2又f(x)的最小正周期T=2πω所以32·2πω≤3π4<2·2πω,解得4≤结合选项可选BC.13.已知关于x的不等式cos2x-4cosx+a≥1在0,π2内恒成立,则实数a的取值范围是答案[4,+∞)解析由cos2x-4cosx+a≥1得a≥-cos2x+4cosx+1,设t=cosx,因为x∈0,π2,所以t=cosx则a≥-t2+4t+1在t∈[0,1]上恒成立.设f(t)=-t2+4t+1,则二次函数f(t)的对称轴为直线t=2,函数图象开口向下,所以函数f(t)在[0,1]上单调递增,所以f(t)的最大值为f(1)=4,故a≥4,即实数a的取值范围为[4,+∞).14.已知函数f(x)=2cos2x+π4,(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈-3π8,π4时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根解(1)由余弦函数的单调性,得2kπ+π<2x+π4<2kπ+2π,k∈Z,则3π8+kπ<x<7π8+kπ,k∈Z,所以函数f(3π8+kπ,7π(2)函数f(x)=2cos2x+π4的单调递增区间为单调递减区间为7π8+kπ,11π所以函数f(x)在-3π8,-π8上单调递增且f-3π8=0,f-π8=2,f所以当0≤k<2时,函数y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点,即当0≤k<2时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.三、拓展提高15.已知函数f(x)=a-3tan2x,x∈-π6,b的最大值为7,最小值为3,则ab答案π解析∵x∈-π6,b,∴∴2x∈-π∵函数f(x)的最大值为7,最小值为3,∴2b<π2,即-π6<b<根据正切函数g(x)=tanx在-π2则f(x)=a-3tan2x在-π6∴f-π6=a+3=7,