高中数学强基题 微专题10　空间几何体的外接球与内切球

微专题10空间几何体的外接球与内切球(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2026·开封二模)已知正方体的内切球的体积为43π，则该正方体的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．93π D．123π2．已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为()A．πB．2πC．3πD．4π3．在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝2，PC＝23，PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为()A．18π B．20πC．24π D．28π4．(2026·包头模拟)已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则该圆台的体积为()A．73π3 C．73π D．53π5．(2026·柳州模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为32的球O的球面上，且AA1＝2AB＝2AC，AB⊥AC，则AB＝()A．3 B．6C．23 D．266．(2026·安阳模拟)在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为1cm的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为()A．463cm B．2C．2+263cm D7．(2026·大同月考)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝AB，△ABC是等腰直角三角形，斜边BC长为22，E，F分别是PA，PC的中点，∠BEF＝90°，则球O的体积为()A．2821π27 C．26π D．42π8．设球O的体积为V1，球O的内接圆柱(圆柱的上、下底面圆周均在球面上)的体积的最大值为V2，则V1V2＝A．2 B．3C．22 D．23二、多项选择题(每小题6分，共18分)9．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有()A．圆柱内切球的半径与圆柱底面半径相等B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为2C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为1D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为210．设棱长为a的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h，r，R，则下列结论正确的是()A．h＝R＋r B．R＝3rC．r＝64a D．R＝611．已知球O(O为球心)为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，且球O的表面积为4π，则()A．线段BD1的长为3B．直线BC1与球O相切C．△OB1C的面积为2D．直线OB与底面ABCD所成角的正弦值为3三、填空题(每小题5分，共15分)12．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为________．13．(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.14．(2026·长春模拟)如图，在三棱锥D-ABC中，∠DAC＝∠BCA＝∠BCD＝90°，DC＝19，AB＝3，且直线AB与DC所成角的余弦值为1919，则该三棱锥的外接球的体积为________微专题10空间几何体的外接球与内切球1．解析：设正方体的边长为a，则正方体内切球的半径为a2，内切球的体积等于43π×a23＝43π，解得a＝23，所以正方体的体对角线等于3a＝6，所以正方体外接球的半径等于12×3a＝3，则外接球的表面积等于4π答案：B2．解析：由题意得，该圆柱底面圆的半径为1，圆柱的高为2，所以该圆柱的体积为π×12×2＝2π.故选B.答案：B3．解析：将三棱锥P-ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则4R2＝(2R)2＝PA2＋PB2＋PC2＝4＋4＋12＝20，所以R2＝5，所以球的表面积为S＝4πR2＝20π.故选B.答案：B4．解析：因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心，如图为圆台外接球的轴截面，设球心为O，圆台上底面圆心为O1，上底面半径为r1＝1，圆台下底面半径和球的半径为r2＝R＝2，圆台的高OO1＝h.则由球的截面性质可知h＝R2-r12＝22-12＝3，所以圆台的体积为V＝13πh(r12+答案：A5．解析：设AB＝2a，则AA1＝4a，BC＝22a，所以△ABC外接圆的半径r＝2a.因为三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为32的球O的球面上，所以2a2＋(2a)2＝322，即6a2＝18，解得a＝3，所以AB＝2a＝23.答案：C6．解析：小球两两相切，其中3个小球与同一块木板相切，则四个球心的连线构成棱长为2的正四面体，如图，A，B，C，D为球心，OD是三棱锥的高，则OD＝AD2-AO2＝AD2-23答案：C7．解析：如图所示，因为△ABC是等腰直角三角形，且斜边为BC，所以AB⊥AC，又因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，因为∠BEF＝90°，所以BE⊥AC，又因为AB∩BE＝B，且AB，BE⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，因为PA⊂平面PAB，所以AC⊥PA，所以△APC为直角三角形，由△ABC是等腰直角三角形，且斜边BC长为22，可得AB＝AC＝2，因为PA＝PB＝AB，所以△PAB是边长为2的正三角形，其外接圆半径为r＝233.设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则R2＝r2＋AC22＝2332+1＝73，所以R＝213，所以球O的体积为答案：A8．解析：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为h2，根据勾股定理得r2+h22＝R2.所以r2＝R2－h22，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝πR2-h24h＝πR2h-h34.求导得V′＝πR2-3h24，当R2>3h24，即0<h<23R时，V′>0；当R2<3h24，即h>23R时，V′<0；所以V在0<h<23答案：B9．解析：设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，所以内切球的半径为R，A正确；圆柱的表面积为S1＝2πR2＋2πR×2R＝6πR2，内切球的表面积为4πR2，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为23，B正确；圆柱内接圆锥的表面积为S＝πR2＋12×2πR×5R＝5+1πR2，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为5+16，C错误；圆柱内切球的体积V1＝43πR3，圆柱的体积V2＝πR2×2R＝2πR3，所以V1∶V2＝43πR3∶2πR答案：ABD10．解析：对于正四面体ABCD，设其棱长为a，过A作AH⊥平面BCD，显然H为平面BCD的中心，连接HD，如图所示，在△AHD中，HD＝23×32a＝33a，故可得h＝AH＝AD2-HD2＝a2-13a2＝63a；不妨设内切球球心为O，连接OA，OB，OC，OD，又四边形ABCD的表面积S＝4×34a故R＝32×22a＝64a；对于A，R＋r＝612a+64a＝63a＝h，故A答案：AB11．解析：对于A，因为球O的表面积为4π，所以4πr2＝4π(r为球O的半径)，解得r＝1，因为球O的半径为12AB＝1，得AB＝2，则正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，则BD1＝3AB＝23，故A错误；对于B，设线段BC1的中点为E，则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球O与平面BB1C1C切于点E，所以直线BC1与球O相切，故B正确；对于C，因为OB1＝OC＝12BD1＝3，B1C＝22，所以△OB1C的面积为12×22×32-答案：BCD12．解析：如图，点H为等边△ABC的中心，点D为AB的中点，设HD＝a，则HC＝2a，AB＝23a，则△ABC的内切圆的半径为a，因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设点O为正三棱柱内切球的球心，则点O也是外接球的球心，由内切球的半径为a，可得OH＝a，则正三棱柱的高AA1＝2a，正三棱柱的外接球的半径R＝OC＝HC2+OH2＝2a2+a2＝5a，因为外接球的表面积为20π，则4πR2＝20πa2＝20π，解得a答案：6313．解析：圆柱的底面半径为4cm，设铁球的半径为r，且r<4，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，∵r<4，∴r＝2.5.答案：2.514．解析：由题意知AC⊥BC，DC⊥BC，AC∩DC＝C，DC，AC⊂平面ADC，则BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，所以BC⊥AD，又AD⊥AC，AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，所以AD