人教版八年级数学 秋季培优讲义 第09讲-等腰三角形-答案与解析

第二讲第二讲等腰三角形等腰三角形

例1.（1）若等腰三角形的两条边长分别是7和5，则第三条边的长是（）

A．5 B．7 C．7或5 D．无法确定

（2）若等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（）

A．13cm B．17cm C．22cm D．17cm或22cm

（3）在△ABC中，，，若△ABC的周长为24，则x的取值范围是（）

A． B．

C． D．

（4）在等腰△ABC中，，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

A．7 B．11 C． 7或11 D．7或10

（★）答案：（1）C；（2）C；（3）C；（4）C．

例2.（1）若等腰三角形一个底角为70°，则它的顶角的度数为___________．

（2）若等腰三角形一个角为70°，则它的另外两个角为______________．

（3）若等腰三角形一个角为110°，则它的另外两个角为_____________．

（4）等腰三角形两个内角之比为，则三个角的度数为_____________．

（★）答案：（1）；（2）、或、；（3）、；

（4）、、或、、．

例3.（1）已知△ABC是等腰三角形，且，则的外角的度数是（）A．110° B．140° C．110°或140° D．以上都不对（★）答案：C．

（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角的一半 B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半（★）答案：A．

（3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则该等腰三角形的顶角为（）

A．45° B．135° C．45°或135° D．120° （★★）答案：C．

ABCD例4.（1）如图，在△ABC中，，AD是∠BAC的角平分线，点E、F是AD上的两点，若cm，cm，则图中阴影部分的面积为________．ABCD（★）答案：．

（2）若等腰直角三角形的底边长为10，则它的面积为_________．（★）答案：25．ABCDE（3）如图，中，，D、E在BC边上，且．求证：．

（★）答案：可证△ABD≌△ACE．ABCDEAEFDBC

（4）如图，在等腰△ABC中，，D为BC的中点，则点D到AB、AC的距离相等．请说明理由．

（★）答案：可证△BDE≌△CDFAEFDBC例5.（1）不满足△ABC是等腰三角形的条件是（）

A． B．

C． D．

（2）如图，在△ABC中，，，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平ADECB分线，则图中的等腰三角形有_______个．ADECB（3）判断：①有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形.（）

②平行于等腰三角形一边的直线将原三角形一分为二，得到的新三角形一定仍是等腰三角形.（）

（★）答案：（1）B；（2）5；（3）①√；②√．

例ABCDE图1ABCD图26.（1）如图，，若，则是______三角形，______．

（2）如图，，当时，是等腰三角形．

（★）答案：（1）等腰；．（2ABCDE图1ABCD图2ABCDE例7.（1）如图，BE、CD是中两条高，且．求证：．

（请用至少两种方法证明）．

（★）答案：方法①，证明△ABE≌△ACD（AAS），则；ABCDE方法②，证明Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）；则，故．

（2）如图，中，，，请用尽可能多的方法将分割为三ABCABCABCAABCABCABCABCABCABCABDE图1C例8.（1）如图1，在△ABC中，，BD是的角平分线，且，，则∠DEC的度数为__________．

（★）答案：

ABDE图1C（2）如图2，是等腰直角三角形，BD平分，于点E，，CDEAB图2则的周长为________cm．

（★）答案：10CDEAB图2ADFEBC例9.如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当时，求∠DEF的度数．

（★）答案：（1）可证△BDE≌△CEF（SAS），则；

（2）．

ADFEBCABCD例10.如图，在△ABC中，，点D在AC上，且，求△ABC各个内角的度数．

（★）答案：，．

例11.如图，，，，求∠A的度数．

ABCDEF

（★）答案：．

例12.如图，△ABC中，，点D在BC上，，在AC上取点E，使，求∠EDC的度数．

ABDCE

（★★）答案：．

ABCDABCDEFABDCE例13.如图，在△ABC中，，，点D在BC上，且，点E在BC延长线上，且．

（1）试求∠DAE的度数；

（2）如果把题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？

（3）若，其它条件与（2）相同，则∠DAE的度数是多少？ABDCE

（★★）答案：（1）；

（2）不变；

（3）．

ABDCEADBC例14.（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC交边BC于点D，且．

求证：且AD平分∠BAC．

（2）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BC．

求证：且．

（3）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且．

求证：且AD⊥BC．

（★）答案：（1）可证△ABD≌△ACD（SAS）；

（2）可证△ABD≌△ACD（ASA）；

（3）倍长AD至E，连CE，证△ABD≌△ECD（SAS），则，，∴．

ADBCABCPADBCEADBC图1图2图3例15.（1）如图1，已知，CD⊥AB，E是BC延长线上一点，，

则___________．

（2）如图2，△ABC的面积为，AP垂直∠B的平分线BP于P，

则△PBC的面积为___________．

（3）如图3，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是____________（写出所有的正确答案序号）．

①；②；③；④．

（★★）答案：（1）ABCPADBCEADBC图1图2图3附加题附加题在△ABC中，，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．

（★★★）答案：①、、；②、、；③、、；

④、、．

BEFAC已知：在△ABC中，，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．

（1）求的度数．

（2）若△AEF的周长为20，求BC的长．

（★★）答案：（1）；（2）20．

BEFACABCDE如图，△ABC中，，于D．求证：．

（★★★）提示：在DC上取一点E，使得

先证△ABD≌△AED（SAS）

∴得到，

∴，故，则ABCDE∴．

ABCDEF如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连接AF．求证：．

（★★★）提示：易知，

ABCDEF∴．

ABCEDF如图，在△ABC中，，，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D．ABCEDF（★★★）答案：延长CD交BA延长线于F，先证△FBD≌△CBD（ASA），得到；再证△ABE≌△ACF，得到．

基础作业1．C 2．B 3．B 4．C D．C

进阶作业证明：∵

∴

∵AD∥BC

∴

∴

∴BD平分AECDBFF答案：45°．

提示：设，

由，，得：

由，得：，

在△BCD中，

又

从而求得：

∴

AECDBFF提示：延长CE交AB于点F

∵AD平分∠BAC，CE⊥AD

∴易证：△ACE≌