人教版数学八年级下册 19.2 二次根式的性质 同步练习 含答案

专题19.2二次根式的性质教学目标掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。2.掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。教学重难点重点（1）二次根式的性质。2.难点（1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围；（2）利用二次根式为整数求值（易错点）。知识点01二次根式的性质二次根式的性质：二次根式具有双重非负性，二次根式本身0，被开方数0。即0，0。考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0初中的三大非负数类型：、、【即学即练1】1．已知a+2+b−1=0，那么（a+bA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【即学即练2】2．若|a+1|+b2−4b+4+c+3=0，则a+bA．4 B．16 C．±4 D．﹣4知识点02的性质的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于。即。【即学即练1】3．若a=(5)2A．5 B．±5 C．±5 【即学即练2】4．(−2025)2=知识点03的性质的性质：一个数的平方的算术平方根等于。即。再根据a的正负去绝对值符号。【即学即练1】5．化简：(3−π)2=【即学即练2】6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简a2+(a−5)2【即学即练3】7．若(2a−3)2=3−2a，则a的取值范围是【即学即练4】8．若(2a−3)2=2a−3成立，则a的取值范围是【即学即练5】9．已知18n是正整数，则正整数n的最小值是．题型01二次根式的性质【典例1】下列各式中运算正确的是（）A．(−2)2=−2 C．(−4)2=±4【变式1】下列各式中，正确的是（）A．(−5)2=−5 B．C．(±5)2=±5 【变式2】若a+|a|＝0，则(a+1)2A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a题型02二次根式的非负性【典例1】已知a−3+b−8=0，则（a﹣b）2的平方根是【变式1】若(x−2)2+y+5A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3【变式2】若a+2+4b2−4b+1=0，则a2023•b2024题型03利用二次根式的性质化简【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简a2A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a【变式1】若﹣1≤x≤7，化简：x2−14x+49−x【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3−n)A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则(a+b−c)2题型04利用二次根式的性质求取值范围【典例1】若(a−5)2=5−aA．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5【变式1】若(a−5)2=a﹣5，则A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5【变式2】如果(3a−1)2=1﹣3A．a＜13 B．a≤13 C．a＞题型05根据二次根式是整数求值【典例1】若10−a是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是．【变式1】已知二次根式12n的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为．【变式2】已知n是一个正整数，75n是整数，那么n的最小值为．1．下列计算正确的是（）A．a2=a B．C．a4=a2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=a2+b2（aA．A点 B．B点 C．C点 D．D点3．已知(x−1)2+y−2=0，则（x﹣A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣20234．若2＜a＜3，则(2−a)2A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣55．若(a+1)2=−a−1A．4 B．2 C．0 D．﹣26．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：a2A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则(a−4)A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a8．当0＜a＜1时，化简(a−1A．a B．﹣a C．a−2a D．9．已知y=(x−2)2−x+4，当xA．2027 B．2025 C．4048 D．405210．化简23−610+4A．3+2 B．3−22 C．3+2211．计算：(−2)2+(512．若(5−a)2+5=a，则a的取值范围是13．二次根式24a是一个整数，那么正整数a的最小值是．14．若1＜x＜2，化简x2−2x+1−x15．已知|x2+y−1|+y2−4|y|+4=0，且xy＜0，则16．通过计算下列各式的值探究问题：（1）①42=；②(−2)2=探究：对于任意负有理数a，a2=综上，对于任意有理数a，a2=（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：a217．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答：化简：(1−3x解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤1∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是x+1，(5−x)2，4−(4−x)2．记△ABC（1）若x＝2，求C△ABC的值；（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并写出x的取值范围．18．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③（2）写出根分式x−1x−2中x的取值范围（3）已知两个根分式M=x2−6x+7x−2，N=2x−1x−2，若M19．（1）当2≤a≤5时，化简；(a−2)2+(a−5（2）若(a+1)2+（3）已知实数a，b满足(1−a)2+|b+3|=9−(a+4)2−|b−1|20．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=(3)2；5=(5)2，下面我们观察：（1）5+26（2）4−12（3）若a±2b=m±n，则m、n

专题19.2二次根式的性质教学目标掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。2.掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。教学重难点重点（1）二次根式的性质。2.难点（1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围；（2）利用二次根式为整数求值（易错点）。知识点01二次根式的性质二次根式的性质：二次根式具有双重非负性，二次根式本身大于等于0，被开方数大于等于0。即≥0，≥0。考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0初中的三大非负数类型：、、【即学即练1】1．已知a+2+b−1=0，那么（a+bA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵a+2+∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得：a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1，故选：A．【即学即练2】2．若|a+1|+b2−4b+4+c+3=0，则a+bA．4 B．16 C．±4 D．﹣4【答案】A【解答】解：∵b2﹣4b+4＝（b﹣2）2，∴原式可化为|a+1|+(b−2)∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，∴a+b3+c2＝﹣1+23+（﹣3）2＝16，∵16=4∴a+b3+c2的算术平方根为4，故选：A．知识点02的性质的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。即a。【即学即练1】3．若a=(5)2A．5 B．±5 C．±5 【答案】D【解答】解：原式＝5．故选：D．【即学即练2】4．(−2025)2【答案】2025．【解答】解：(−2025故答案为：2025．知识点03的性质的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即|a|。再根据a的正负去绝对值符号。【即学即练1】5．化简：(3−π)2=【答案】π﹣3【解答】解：∵3﹣π＜0，∴原式＝|3﹣π|＝π﹣3．故答案为：π﹣3．【即学即练2】6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简a2+(a−5【答案】5．【解答】解：由数轴知0＜a＜5，则a﹣5＜0，∴原式＝a﹣（a﹣5）＝a﹣a+5＝5，故答案为：5．【即学即练3】7．若(2a−3)2=3−2a，则a的取值范围是a≤【答案】a≤3【解答】解：根据二次根式的性质可知：3﹣2a≥0，解得a≤3故答案为：a≤3【即学即练4】8．若(2a−3)2=2a−3成立，则a的取值范围是a≥【答案】a≥3【解答】解：根据二次根式有意义条件可知2a﹣3|＝2a﹣3，根据绝对值的意义，当且仅当2a﹣3≥0时，该等式成立，解得2a≥3，即a≥3故答案为：a≥3【即学即练5】9．已知18n是正整数，则正整数n的最小值是2．【答案】2【解答】解：18n=9×2n=∵n是正整数，18n也是一个正整数，∴n的最小值为2．故答案为：2．题型01二次根式的性质【典例1】下列各式中运算正确的是（）A．(−2)2=−2 C．(−4)2=±4【答案】D【解答】解：A、(−2)B、49=7≠±7C、(−4)D、−(−3故选：D．【变式1】下列各式中，正确的是（）A．(−5)2=−5 B．C．(±5)2=±5 【答案】B【解答】解：A、(−5)B、−5C、(±5)D、52故选：B．【变式2】若a+|a|＝0，则(a+1)2A．2 B．﹣2a C．2或﹣2a D．2a【答案】C【解答】解：∵a+|a|＝0，∴|a|＝﹣a，∵|a|≥0，∴a≤0，则(a+1)＝|a+1|+|a﹣1|＝|a+1|+1﹣a，当a＜﹣1时，则|a+1|+1﹣a＝﹣a﹣1+1﹣a＝﹣2a；当﹣1≤a≤0时，则|a+1|+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2；故选：C．题型02二次根式的非负性【典例1】已知a−3+b−8=0，则（a﹣b）2【答案】±5．【解答】解：根据算术平方根的非负性求出a，b的值可得：a﹣3＝0，b﹣8＝0，∴a＝3，b＝8，∴（a﹣b）2＝（3﹣8）2＝25，∴（a﹣b）2的平方根是±25故答案为：±5．【变式1】若(x−2)2+y+5A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：∵(x−2)2∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0，∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1，∴xyz＝10，故选：A．【变式2】若a+2+4b2−4b+1=0，则a2023•b2024＝【答案】−1【解答】解：∵a+2+4b2−4b+1=0，即a+2+（2b∴a+2＝0，2b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b=1∴a2023•b2024＝（﹣2）2023•（12）＝（﹣2）2023•（12）2023＝（﹣2×12）＝﹣1×=−1故答案为：−1题型03利用二次根式的性质化简【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简a2A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a【答案】B【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，故选：B．【变式1】若﹣1≤x≤7，化简：x2−14x+49−x【答案】6﹣2x．【解答】解：∵﹣1≤x≤7，∴x﹣7≤0、x+1≥0，∴原式=＝7﹣x﹣（x+1）＝7﹣x﹣x﹣1＝6﹣2x．【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3−n)A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5【答案】A【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则(a+b−c)2+(b−c−a)2【答案】a+b+c【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴(a+b−c)2+(b−c−a)2+(b+c−a)2=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|＝a+b﹣c+a+c﹣b+b故答案为：a+b+c．题型04利用二次根式的性质求取值范围【典例1】若(a−5)2=5−aA．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5【答案】D【解答】解：若(a−5)则a﹣5≤0，解得a≤5，故选：D．【变式1】若(a−5)2=a﹣5，则A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5【答案】C【解答】解：∵(a−5)2且(a−5)2=∴a﹣5≥0，解得a≥5．故选：C．【变式2】如果(3a−1)2=1﹣3A．a＜13 B．a≤13 C．a＞【答案】B【解答】解：∵(3a−1)2=1﹣3∴1﹣3a≥0，∴﹣3a≥﹣1，∴a≤1故选：B．题型05根据二次根式是整数求值【典例1】若10−a是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是10．【答案】10．【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0，解得：a≤10，由条件可知正整数a＝10或9或6或1，则满足条件的最大正整数a的值是10，故答案为：10．【变式1】已知二次根式12n的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为3．【答案】3．【解答】解：12n=∵二次根式12n的值是正整数，其中n为整数，∴n的最小值为3，故答案为：3．【变式2】已知n是一个正整数，75n是整数，那么n的最小值为3．【答案】3．【解答】解：∵75n=5∴n的最小值为3．故答案为：3．1．下列计算正确的是（）A．a2=a B．C．a4=a【答案】C【解答】解：A、a2=|a|≠B、(−a)2=|a|≠C、a4D、a2+b2故选：C．2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=a2+b2（aA．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】C【解答】解：若“勾”为2，“股”为3，则22∵9＜13＜16，∴3＜13则“弦”在如图所示数轴上可表示在C点，故选：C．3．已知(x−1)2+y−2=0，则（x﹣A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023【答案】B【解答】解：已知(x−1)2（x﹣1）2＝0，y−2=0∴x＝1，y＝2，∴x﹣y＝﹣1，∴（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，故选：B．4．若2＜a＜3，则(2−a)2A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【答案】D【解答】解：因为2＜a＜3，所以(2−a)2−(3−a)2=a﹣2﹣（3﹣a）＝a故选：D．5．若(a+1)2=−a−1A．4 B．2 C．0 D．﹣2【答案】D【解答】解：∵(a+1)∴a+1＜0，∴a＜﹣1，∴a的值可以是﹣2．故选：D．6．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：a2A．2a B．0 C．2a﹣2b D．2b【答案】C【解答】解：由数轴得，b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，∴原式＝|a|+|a﹣b|+|b|＝a+a﹣b﹣b＝2a﹣2b．故选：C．7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则(a−4)A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a【答案】C【解答】解：一个三角形的三边长分别为3、a、7，∴4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴(a−4)故选：C．8．当0＜a＜1时，化简(a−1A．a B．﹣a C．a−2a D．【答案】B【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜1∴(a−1a)2−1a故选：B．9．已知y=(x−2)2−x+4，当xA．2027 B．2025 C．4048 D．4052【答案】D【解答】解：由条件可知(x−2)2a．当x≤2时，|x﹣2|＝2﹣x，∴y＝（2﹣x）﹣x+4＝6﹣2x，x取1和2：x＝1时，y＝6﹣2×1＝4，x＝2时，y＝6﹣2×2＝2，∴总和为4+2＝6；b．当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，∴y＝（x﹣2）﹣x+4＝2；x从3到2025，共2023个值，每个y＝2，∴和为2023×2＝4046，综上，6+4046＝4052．故选：D．10．化简23−610+4A．3+2 B．3−22 C．3+22【答案】D【解答】解：23−6=23−6=23−6=23−6=23−6==23−6(2+=23−12−6=11−6=(3−=3−2故选：D．11．计算：(−2)2【答案】7．【解答】解：(−2)故答案为：7．12．若(5−a)2+5=a，则a的取值范围是【答案】a≥5【解答】解：∵(5−a)∴(5−a)∴a﹣5≥0，∴a≥5，故答案为：a≥5．13．二次根式24a是一个整数，那么正整数a的最小值是6．【答案】6．【解答】解：∵24a是一个整数，24＝4×6，∴正整数a的最小值为6．故答案为：6．14．若1＜x＜2，化简x2−2x+1−x【答案】2x﹣3．【解答】解：原式=(x−1∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴原式＝x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3．故答案为：2x﹣3．15．已知|x2+y−1|+y2−4|y|+4=0，且xy＜0，则x【答案】19【解答】解：∵|x∴|x∴|x2+y−1|=0，（|y∴x2+y−1=0，|∴y＝±2，当y＝2时，x2+2−1=0，当y＝﹣2时，x2−2−1=0，x2∵xy＜0，y＝﹣2，∴x＞0，∴x＝3，∴xy=3故答案为：1916．通过计算下列各式的值探究问题：（1）①42=4；②(−2)2=探究：对于任意负有理数a，a2=综上，对于任意有理数a，a2=|（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：a2【答案】（1）4，2，﹣a，|a|；（2）﹣a﹣3b．【解答】解：（1）①42=4；②由(−2)2=2归纳出：对于任意负有理数a，由42=4；0=0，(−2)2=2故答案为：4，2，﹣a，|a|；（2）观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，a﹣b＜0，a+b＜0a2＝﹣a﹣b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+b）]＝﹣a﹣b+a﹣b﹣a﹣b＝﹣a﹣3b．17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答：化简：(1−3x解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤1∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是x+1，(5−x)2，4−(4−x)2．记△ABC（1）若x＝2，求C△ABC的值；（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并写出x的取值范围．【答案】（1）5+3（2）x+1+【解答】解：（1）当x＝2时，C△ABC=2+1+=3＝5+3（2）由二次根式有意义的条件可得x+1＞0，4﹣x≥0，且5﹣x≠0，解得：﹣1＜x≤4，则C△ABC=x+1+=x+1+（5﹣x）+4﹣（4﹣=x+1+5﹣x=x+118．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a（2）