贵州贵阳市华师一学校2027届高三年级第二次周考数学试题

2027届贵阳市华师一学校高三年级第二次周考

数学

命题教师：何勇审核教师:冯德祥考试时间:120分钟

注意事项：

1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干

净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

2i

1．复数z的模是()

13i

2121

A．B．C．D．

2233

2x1

2．设集合Ax|x26x50,B{xZ|0},则AB()

4x

A．2,3B．2,3,4C．{x|1x4}D．{x|1x4}

3．已知命题p:x0,,exx,则()

A．p是假命题,p:x0,,exxB．p是假命题,p:x0,,exx

C．p是真命题,p:x0,,exxD．p是真命题,p:x0,,exx

3ππ

4．已知cosα,α(,π),则sin(α)的值为()

524

227272

A．B．C．D．

10101010

0.20.9

5．已知alog1.80.8,b0.8,c0.8,则a、b、c的大小关系为()

A．abcB．bcaC．cabD．cba

1

6．二项式(3x)8的展开式的常数项是()

x

A．28B．56C．36D．40

14

7．设正实数a,b满足ab1,则的最小值为()

ab

A．7B．8C．9D．10

8．激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换,使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系,从而解决

exex

线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为Tanhx,如果Tanhx1Tanhx21,则

exex

与x1x2最小值最接近的数为()(参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61)

A．0.42B．0.55C．0.69D．1.10

二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的

得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．

9．下列函数是偶函数的是()

A．f(x)2|x|B．f(x)|ln(x1)|C．f(x)exexD．f(x)ln(1x)ln(1x)

10．已知函数fxsinx3cosx,则()

A．fx的最小正周期为2πB．若f2,则tan3

ππ

C．fx在区间[0,]上单调递增D．fx的图象关于点(,0)中心对称

63

22

11．已知函数fx的定义域为R,且fxyfxyfxfy,f12,f22,则()

A．fx为奇函数

B．f32

C．f1f5

2027

D．fk222

k1

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

15

log(x),x0

12．已知函数f(x)24,则ff2.

x

2,x0

13．已知an是等比数列,a32,a1118,则a7.

14．(原创试题)一个长方体的长、宽、高分别为6,8,9,在该长方体的内部放置两个半径相同的球,该球半径的最

大值为.

四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．(13分)某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾

环境的风洞中开展积冰试验,共记录200次试验数据,统计涂层无积冰(合格)、有积冰(不合格)的情况,整理得到

如下列联表：

无积冰有积冰合计

电热防冰涂层7030100

疏水防冰涂层8515100

合计15545200

(1)分别求两种防冰涂层的合格率;

(2)根据上述数据,判断是否有95%的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关联．

2

nadbc

附：2,其中nabcd．当23.841时,有95%的把握认为变量A与B有关．

abcdacbd

16．(15分)设等差数列an的前n项和为Sn,S52S35,a22a11．

(1)求数列an的通项公式;

1

(2)设bn,求数列bn的前n项和Tn．

anan1

17．(15分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD平面ABCD,PD4,E,F,G分别为

PC,PD,BC的中点．

(1)求证：FG//平面PAB;

(2)求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．

22

22xy

18．(17分)已知双曲线C1:bxay1,椭圆C:1(ab0),椭圆C2的焦距为211,长轴长为12.

2a2b2

(1)求双曲线C1的离心率;

(2)设直线l1:ykx2与C2存在两个交点A、B,求ABO面积的最大值;

(3)设直线l2:y2xm与C1、C2的总交点数恰有2个,求m的取值范围.

19．(17分)已知函数f(x)aex2xxlnxx2.

(1)讨论h(x)f(x)xlnxx2的单调性;

(2)a0时,求f(x)零点的个数;

(3)若x0,1时,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围．

《2026年8月25日高中数学作业》参考答案

题号12345678910

答案AACABACDADAC

题号11

答案ACD

1．A

2i13i26ii3i255i1122

【详解】zi112

2,z.

13i13i19i1022222

2．A

【分析】先分别求解一元二次不等式得集合A,求解分式不等式结合整数条件得集合B,再计

算两集合的交集即可.

【详解】由x26x50,得x1x50,解得1x5,

所以Ax|1x5,

2x11

由0,得x4,因为xZ,所以x1或x2或x3,

4x2

所以B1,2,3,所以AB2,3.

3．C

【分析】构造函数,结合导数与单调性及最值的关系判断命题p的真假,根据全称命题的否定

形式判断即可.

【详解】令fxexx,定义域为x0,,求导得fxex1.

当x0,时,exe01,故fx0,因此fx在0,上单调递增.

0

所以fxf0e010,即对任意x0,,exx0,也即exx恒成立,

故命题p是真命题,A,B错误.

命题p:x(0,),exx的否定p为：x(0,),exx,C正确,D错误.

4．A

【分析】应用同角三角函数关系及两角和正弦公式计算求解.

π94

【详解】α,π,sinα0,sinα1,

2255

πππ243212

sinαsinαcoscosαsin.

4442552510

5．B

【分析】分别判断出a、b、c的范围,比较大小即可.

【详解】由alog1.80.8log1.810,即a0；

由10.800.80.20.80.90.810,即1bc0,

所以bca.

6．A

8

31

【详解】二项式x的展开式通项为：

x

r84r

8r

r31r3

Tr1C8xC8xrN,0r8,

x

84r

令0,解得r2,

3

87

所以常数项为C228.

821

7．C

【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算求解.

14144ab4ab

【详解】ab5529，

ababbaba

12

当且仅当a，b时取等．

33

8．D

【分析】先根据已知条件判断Tanh(x)的单调性,转化条件,再结合Tanh(x2)Tanh(x1)1建

立等式,通过变形和对数运算求出x2x1的表达式,最后根据函数单调性求出其最小值.

exexe2x12

【详解】已知Tanh(x),将其变形为：Tanh(x)1,

exexe2x1e2x1

2

由于ye2x在R上单调递增,故y在R上单调递减,

e2x1

2

则Tanh(x)1在R上单调递增,

e2x1

不妨设x2x1,则tanhx1Tanhx2,

则tanhx1Tanhx21,即Tanh(x2)Tanh(x1)1,x1x2x2x1,

22

因为Tanh(x2)Tanh(x1)1,所以(1)(1)1,

e2x21e2x11

2(e2x2e2x1)

化简得1,进一步变形为2(e2x2e2x1)(e2x21)(e2x11),

(e2x21)(e2x11)

整理得：e2x23e2x1e2x2e2x110,

3s1

令te2x2,se2x1(t0,s0),则t3sts10,变形为t,

1s

因为t0,s0,所以1s0,即0s1,

11t13s1

x2x1(lntlns)lnln,

22s2(1s)s

2

3s13s13ss3s12s12

3s2s1

令fs2,对其求导：fs22,

1sssss2ss2s

1

令fs0,即3s22s10,解得s或s1(舍去),

3

11

当0s时,fs0,fs单调递减；当s1时,fs0,fs单调递增,

33

1

31

13

所以当s时,fs取得最小值,fs9,

3min11

1

33

1

则xxln9ln31.10,

21min2

因此,与x2x1的最小值最接近的是1.10.

9．AD

【分析】根据偶函数定义依次判断即可.

xx

【详解】对于A,函数f(x)2|x|的定义域为R且fx22fx,

所以函数f(x)2|x|是偶函数,故A符合题意；

对于B,函数f(x)|ln(x1)|的定义域为x|x1,

因为定义域不关于原点对称,所以函数f(x)|ln(x1)|不具有奇偶性,故B不符合题意；

xxxx

对于C,函数f(x)exex的定义域为R且fxeeeefx,

所以函数f(x)exex是奇函数,故C不符合题意；

对于D,函数f(x)ln(1x)ln(1x)的定义域为x|1x1且

fxln1xln1xfx,

所以函数f(x)ln(1x)ln(1x)是偶函数,故D符合题意.

10．AC

【分析】利用辅助角公式化简可得f(x)2sinx,结合正弦型函数周期性可以判断A；

3

利用f2求出的取值,再计算tan的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以

判断C；结合正弦型函数对称中心的性质,代入验证即可判断D.

13

【详解】利用辅助角公式化简：f(x)sinx3cosx2sinxcosx2sinx.

223

2π2π

选项A,最小正周期T2π,A正确；

||1

ππ

选项B,若f()2,则2sin2,即sin1,

33

πππ

得：2kπkZ,即2kπkZ,

326

π3

因此tantan3,B错误；

63

ππππ

选项C,当x0,时,令ux,,

6332

ππ

则ysinu在u,上单调递增,

32

ππ

因此f(x)2sinx在0,上单调递增,C正确；

36

ππ

选项D,若函数关于点,0中心对称,则满足f0,

33

πππ2π

则f2sin2sin30,D错误.

3333

11．ACD

【分析】对于A，先令xy0，求得f(0)0，再令x0，可得fyf(y)0，即可

判断；对于B，令x2,y1代入求解后，即可判断；对于C，令x3,y2，代入求解后

即可判断；对于D，通过计算可得函数yf(x)是周期函数，最小正周期为8，由此求解即

可.

【详解】对于A，令xy0，得f2(0)0，解得f(0)0，

令x0，得fyfyf2y，即fy[fyf(y)]0，

所以fy0或fyf(y)0，

当fy0时，令y1，得f10与f12矛盾，故舍去；

所以fyf(y)0，即fxf(x)0，所以fx为奇函数，故A正确；

对于B，因为f12，f22，

所以令x2,y1，得f21f21f22f21，

2

即f3f1422，解得f32，故B错误；

2

对于C，令x3,y2，得f5f1f23f22242

2

所以f(5)2f(1)f(1)，故C正确；

2

对于D，令x3,y1，得f4f2f23f21220，

因f220，则得f(4)0，

令y4，则fx4fx4f2x，

4

令x2，得f6f2f224，解得f62，

2

2

再令x3，得f7f1f232，解得f72；

2

令x5,y3，得f8f2f25f23220，解得f80；

2

f9f1f252，解得f92f(1)；

2

所以函数yf(x)是周期函数，最小正周期为8，

又f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)

222022200，

2027

所以fk253[f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)]f(1)f(2)f(3)

k1

2530222222，故D正确.

12．2

13．6(此题答案没有错)

23167

14．

4

717

15．(1)电热防冰涂层的合格率为,疏水防冰涂层的合格率为

1020

(2)有95%的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关

707

【详解】(1)电热防冰涂层的合格率为,

10010

8517

疏水防冰涂层的合格率为．

10020

(2)提出统计假设H0：防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰无关．

2

20070158530200

根据列联表中的数据,计算得到26.4523.841,

1554510010031

所以有95%的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关．

16．(1)an2n1

n

(2)T

n6n9

【分析】

(1)根据等差数列通项公式及前n项和公式求解；

(2)写出bn的通项公式后用裂项相消法求bn的前n项和.

【详解】(1)设等差数列an的公差为d,

由S52S35,可得5a110d23a13d5,即a14d5；

又因为a22a11,即a1d2a11,即a1d1；

解得a13,d2,

故an的通项公式为ana1n1d2n1．

11111

(2)因为bn,

anan12n12n322n12n3

111111111

所以Tn

23525722n12n3

1111111

235572n12n3

111

232n3

n

．

6n9

17．(1)

因为E,F,G分别为PC,PD,BC的中点,所以EF//CD//AB,

又因为AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF//平面PAB,

同理EG//平面PAB,EFEGE,EF平面EFG,EG平面EFG,

所以平面EFG//平面PAB,

又因为FG平面EFG,所以FG//平面PAB．

25

(2)．

15

【分析】(1)根据三角形中位线定理,结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平

行的性质定理进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】(1)略

(2)因为PD平面ABCD,底面ABCD为正方形,

所以以D为坐标原点,DA,DC,DP为基底建立空间直角坐标系,

所以P0,0,4,C0,2,0,B2,2,0,F0,0,2,G1,2,0,

PB2,2,4,PC0,2,4,FG1,2,2,

nPB0,2x2y4z0,

设平面PBC的法向量为nx,y,z,由所以

nPC0,2y4z0,

令y2,所以n0,2,1,

设直线FG与平面PBC所成的角为,

FGn225

所以sincosFG,n,

FGn3515

25

所以直线FG与平面PBC所成角的正弦值为．

15

66

18．(1)

6

1221

(2)

5

570570

(3),13,13,

3030

【分析】(1)根据椭圆的基本性质,求出参数a,b的值,进而写出双曲线的方程,求出离心率即可；

(2)联立椭圆和直线方程,根据弦长公式求出弦长,根据点到直线距离公式,求出高,写出三角形

面积公式,构造函数,根据函数导数求出单调性,判断面积最大值；

(3)分别联立椭圆和直线方程,双曲线和直线方程,根据韦达定理,判断各自交点个数对应的参

数范围,分析有两个交点时的不同情况,判断参数范围即可.

【详解】(1)由椭圆条件可知2a12,解得a6,2c211,解得c11,

所以b2a2c2361125,解得b5,

x2y2

1

则双曲线为5x26y21,化简得11,

56

1111

可得双曲线参数为a2，b2,c2a2b2,

151611130

c1166

则离心率e15.

a1306

x2y2

(2)直线l1:ykx2,椭圆1,

3625

x2y2

122

联立方程组得3625,消去y得2536kx144kx7560,

ykx2

22

设Ax1,y1,Bx2,y2,可知Δ144k42536k7560,

144k756

根据韦达定理可得xx,xx,

122536k2122536k2

所以弦长公式22

AB1k(x1x2)4x1x2,

2

原点到直线距离为d,

1k2

则面积

11222

SABd1k(x1x2)4x1x2

221k2

2

2144k756

x1x24x1x24,

2536k22536k2

23600t14400

令2536ktt25,则S,

t2

3600t14400288003600t

令ft,则ft,

t2t3

可知当t25时,ft0,ft在定义域内单调递减,

360025144003024

所以ftf25,

max25225

1221

即当k0时,可得S.

max5

y2xm

22

(3)联立直线l2与双曲线：22,消去y得19x24mx6m10,

5x6y1

222

则Δ1576m4196m1120m76,

2219570

当10时,即120m760,解得m>,即m>,

3030

2219570

当10时,即120m760,解得m=,即m=,

3030

2219570

当10时,即120m760,解得m<,即0m,

3030

y2xm

联立直线和椭圆x2y2,消去y得169x2144mx36m29000,

1

3625

222

所以Δ2144m416936m9003600m608400,

22

当20时,即3600m6084000,解得m<169,即0m13,

22=

当20时,即3600m6084000,解得m=169,即m13,

22>

当20时,即3600m6084000,解得m>169,即m13,

情形1：椭圆0个,双曲线2个,

570

Δ10m

,即30,解得m，1313，,

Δ20

m13

情形2：椭圆1个,双曲线1个,

570

Δ10m

,即30,此时无解,

Δ20

m13

情形3：椭圆2个,双曲线0个,

570

Δ100m570570

,即30,解得m,,

Δ203030

0m13

570570

综上所述m,13,13,.

3030

19．(1)当a0时,hx在定义域0,上单调递增；

22

当2a0时,hx在0,ln上单调递增,在ln,上单调递减；

aa

当a2时,hx在定义域0,上单调递减.

(2)2

1

(3)3,

e

【分析】(1)求导后,分别在a0和a0两种情况下判断导函数的正负,从而得到原函数的单

调性；

(2)求导并找到函数单调区间后,根据零点的存在性定理可判断；

x22xxlnxx22xxlnx

(3)分离参数将问题转变为a在x0,1上恒成立,令Fx,

exex

通过导数可得函数的单调性,进而判断出其最大值,从而得到所求范围.

【详解】(1)由题意可知：hxfxxlnxx2aex2x的定义域为0,,且

hxaex2,

当a0时,