2026-2027浙教版九上数学第一章二次函数单元测试

第1页（共1页）第一章二次函数单元测试卷一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各点在抛物线y=2x2上的是（A．0,2 B．1,2 C．−1,−2 D．以上都不对2．下列函数：①y=x2；②y=x2+1；③y=x＋1x−1；④y=1xA．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．已知抛物线y=x−h2，其中h>0，该抛物线示意图是（A．B．C． D．4．将抛物线y=x2+2x−1向左平移3A．−2,1 B．2,−2 C．−4,−2 D．−4,15．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−1与xA．3 B．2 C．1 D．06．已知−1,y1,2,y2,4,y3是抛物线A．y1<y2<y3 B．7．二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于A，B两点，则线段ABA．2 B．3 C．4 D．58．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE=8m，DF=12mA．72m2 B．80m2 C．9．已知二次函数y=ax2+bx−3a，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当−5≤x≤0时，y的最大值为2，则aA．−13 C．−13或1 D．−10．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为−1,0，其部分图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③当y>0时，x的取值范围是−1≤x≤3；④b2+A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．抛物线y=x2的对称轴方程是___，顶点坐标是12．函数y=m+2xm2+2m是关于13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程a14．二次函数y=a(x−1)2+6，当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a15．已知二次函数y=x2+4x+5，当−3≤x≤0时，y16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即S=pp−ap−bp−c，其中a，b，c表示三角形的三条边长，p=a+b+c2．现有某社区计划用一段长为16三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知二次函数的图象经过点A0,0，B2,0，18．（6分）在平面直角坐标系中，设二次函数y=−2x−2a2+3−a(1)当a=3时，若点A4，b(2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y=−119．（8分）抛物线y=−x2+1与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y(1)求线段AB的长；(2)判断△ABC的形状．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=mx2−2mx+m−4与x轴交于点A(1)求该抛物线的顶点坐标．(2)若AB=4，①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线．②当n−2≤x≤n时，y的最大值与最小值的差为8，请直接写出n的值．21．（8分）如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P距地面(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式．(2)一辆货车高为4m，宽2(3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由．22．（10分）已知二次函数y=ax−1x−3+a2（a(1)当n=0时，a=；(2)当a<0时，①求证：二次函数的图像与x轴总有两个公共点；②若二次函数图像与x轴的交点都在y轴的右侧，则n的取值范围为．23．（12分）综合与实践为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且均以2cm/s的速度运动．当点E停止运动时，点F也随之停止运动．连接EF．以EF为边向下作正方形EFGH，设点E的运动时间为xs（0< x<6），正方形EFGH(1)【直观感知】EF的长为________cm（用含x的代数式表示）．(2)【初步探究】如图2，当HG落在BC上时，求x的值．(3)【深入研究】如图3．当HG在BC的下方时，求y与x之间函数关系式．(4)【问题解决】在点E，F的运动过程中，正方形EFGH和四边形BEFC重合部分图形的面积y的最大值是多少？（直接写出结果）24．（14分）定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”．(1)概念理解：①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________；②若函数y=−(2)概念应用：①一次函数y=kx+b(k≠0)是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由；②已知函数y=ax2+bx(a>0)是“纵轴点对称函数”，与直线y=mx+n（m≠0，n>0）交于点Mx1,y1，Nx第一章二次函数单元测试卷一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各点在抛物线y=2x2上的是（A．0,2 B．1,2 C．−1,−2 D．以上都不对【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．通过将每个点的坐标代入y=2x【详解】A：当x=0时，y=2×02=0≠2B：当x=1时，y=2×12=2C：当x=−1时，y=2×−12=2≠−2D：B说法正确，故D错误．故选：B．2．下列函数：①y=x2；②y=x2+1；③y=x＋1x−1；④y=1xA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如y=ax2+bx+c（a，b，c【详解】解：①符合定义，是二次函数．②符合定义，是二次函数．③y=x④不符合定义，不是二次函数．⑤不符合定义，不是二次函数．⑥y=x2+2a2⑦y=3x+1综上所述，符合条件的二次函数共5个，故选C．3．已知抛物线y=x−h2，其中h>0，该抛物线示意图是（A．B．C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式y=x−h2确定顶点坐标以及开口方向，结合【详解】解：∵抛物线的解析式为y=x−h∴该抛物线的顶点坐标为h,0，抛物线开口向上，∵h>0，∴顶点h,0在x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意．4．将抛物线y=x2+2x−1向左平移3A．−2,1 B．2,−2 C．−4,−2 D．−4,1【答案】C【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可．【详解】解：∵y=∴抛物线的顶点坐标为(−1,−2)∵抛物线向左平移3个单位，顶点横坐标减3，纵坐标不变∴新抛物线顶点横坐标为−1−3=−4，纵坐标仍为−2即新抛物线的顶点坐标为−4,−2．5．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−1与xA．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答；通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与x轴交点的个数．【详解】解：∵求抛物线与x轴的交点，令y=0，∴得到方程−x2−1=0∵a=1，b=0，c=1，∴Δ=∴该一元二次方程无实数根，∴抛物线y=−x2−1故选：D．6．已知−1,y1,2,y2,4,y3是抛物线A．y1<y2<y3 B．【答案】C【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论．【详解】解：∵抛物线解析式为y=−x∴a=−1<0，抛物线开口向下，对称轴为x=−b∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．分别计算三个点到对称轴x=2的距离：点−1,y1的距离：点2,y2的距离：点4,y3的距离：∵0<2<3，∴y17．二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于A，B两点，则线段ABA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，通过求解二次方程得到与x轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于A∴令y=0，则x2解得：x1=−1，∴线段AB的长度为3−−1故选：C．8．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE=8m，DF=12mA．72m2 B．80m2 C．【答案】B【分析】设AD=xm，则DC=18−xm【详解】解：设AD=xm，则DC=∵墙长DE=8m，DF=12∴0<x≤8，0<18−x≤12，解得6≤x≤8，花园的面积=x18−x∴当x=8时，花园面积最大，最大面积为80m9．已知二次函数y=ax2+bx−3a，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当−5≤x≤0时，y的最大值为2，则aA．−13 C．−13或1 D．−【答案】D【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到a与b的关系，再求出抛物线对称轴，最后分a>0和a<0两种情况，结合在−5≤x≤0中取得的最大值为2计算a的值．【详解】解：将二次函数y=ax2+bx−3a∵平移后图象经过原点，∴a0−36a−3b=0，解得b=2a，∴抛物线对称轴为直线x=−b①当a>0时，抛物线开口向上，在−5≤x≤0中的最大值出现在离对称轴更远的端点，∵−5−−1=4，0−−1∴x=−5时y取得最大值2，即a⋅−5∴22a−5b=2，又∵b=2a，∴22a−5×2a=2，解得a=1②当a<0时，抛物线开口向下，顶点在−5≤x≤0内，最大值在顶点处，即x=−1时y取得最大值2，∴a⋅−1∴−2a−b=2，又∵b=2a，∴−2a−2a=2，解得a=−1综上，a的值为−12或10．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为−1,0，其部分图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③当y>0时，x的取值范围是−1≤x≤3；④b2+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于0,c；运用数形结合思想得出a<0，b>0，c>0，以及对称轴为直线x=1得出b+2a=0，再结合二次函数的图象性质得出当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，把b=−2a，b=−2a【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵y=ax2∴−∴b=−2a∴2a+b=0，故②符合题意；∵对称轴在y轴的右侧，a<0∴b>0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点−1,0关于直线x=1的对称点的坐标为3,0，∴当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，故③不符合题意；∵y=ax2+bx+c(a≠0)与x∴x=−1即a−b+c=0∵b=−2a∴a+2a+c=0，即c=−3a，∴b2故④符合题意；∵y=a∴顶点坐标为−∵二次函数顶点为1,n，∴4ac−∴4ac−故⑤不符合题意；∴正确的个数是3个．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．抛物线y=x2的对称轴方程是___，顶点坐标是【答案】x=00,0【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握形如y=ax2a≠0根据二次函数y=ax【详解】解：对于抛物线y=x2，其中a=1，则对称轴方程是x=0，顶点坐标是故答案为：x=0；0,0．12．函数y=m+2xm2+2m是关于【答案】−1±【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出关系式解答即可求解．【详解】解：∵函数y=m+2xm∴m2+2m=2且解得m=−1±313．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程a【答案】x【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为x1【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于−1,0∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0故答案为：x114．二次函数y=a(x−1)2+6，当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a【答案】−1（答案不唯一，任意负数均可）【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断a的取值范围，即可写出符合条件的a的值．【详解】解：二次函数解析式为y=ax−1∴对称轴为直线x=1，∵当x<1时，y随x的增大而增大，∴二次函数图象开口向下，∴a<0，∴a=−1（答案不唯一）．15．已知二次函数y=x2+4x+5，当−3≤x≤0时，y【答案】1≤y≤5【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线x=−2，距离对称轴越远函数值越大，即可求解．【详解】解：∵y=x∴开口向上，对称轴为直线x=−2，距离对称轴越远函数值越大，∴当x=−2时，y有最小值为1，∴0−−2∴当x=0时，y有最大值为5，∴y的取值范围为1≤y≤5．16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即S=pp−ap−bp−c，其中a，b，c表示三角形的三条边长，p=a+b+c2．现有某社区计划用一段长为16【答案】12【分析】根据题意得p=8，不妨取c=6，则a+b=10，再利用海伦公式，得到S=88−a8−b【详解】解：根据题意，a+b+c=16，则p=a+b+c不妨取c=6，则a+b=10，b=10−a，∴三角形的面积S=88−a>0a−2>0，解得2<a<8设y=8−a它是a的二次函数，开口向下，当a=−10−2=5时，y此时，面积S取最大值为12m三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知二次函数的图象经过点A0,0，B2,0，【答案】y=3【分析】设二次函数的解析式为y=axx−2a≠0，将【详解】解：∵二次函数的图象经过点A0,0，B∴设二次函数的解析式为y=axx−2将C1,−3代入解析式可得：a×1×解得：a=3，∴二次函数的解析式为y=3xx−218．（6分）在平面直角坐标系中，设二次函数y=−2x−2a2+3−a(1)当a=3时，若点A4，b(2)小明说该二次函数图象的顶点在直线y=−1【答案】(1)−8(2)小明说法正确，理由见解析【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．（1）把点a=3，A4，b（2）根据题意得出顶点是2a,3−a，代入y=−1【详解】（1）解：当a=3时，y=−2x−2a把A4，b代入y=−2∴当a=3时，求b的值为−8．（2）解：小明说法正确．∵二次函数y=−2x−2a∴顶点坐标为2a,3−a，当x=2a时，y=−1∴顶点坐标为2a,3−a，在直线y=−1∴小明说法正确．19．（8分）抛物线y=−x2+1与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y(1)求线段AB的长；(2)判断△ABC的形状．【答案】(1)2(2)等腰直角三角形【分析】（1）根据题意，可以求出点A和点B的坐标，从而可以得到AB的长；（2）先求出点C的坐标，再根据勾股定理可以得到AC和BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．【详解】（1）解：∵抛物线y=−x∴当y=0时，x=±1，∵抛物线y=−x2+1与x轴交于A、B两点(A∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(−1,0)，∴AB=1−(−1)=1+1=2，即线段AB的长为2；（2）∵抛物线y=−x∴当x=0时，y=1，∵抛物线y=−x2+1与y∴点C的坐标为(0,1)，又∵点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(−1,0)，∴AB=2，AC=12+∴AC2+B∴△ABC是等腰直角三角形．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=mx2−2mx+m−4与x轴交于点A(1)求该抛物线的顶点坐标．(2)若AB=4，①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线．②当n−2≤x≤n时，y的最大值与最小值的差为8，请直接写出n的值．【答案】(1)1,−4(2)①该抛物线的解析式为：y=②n=0或n=4【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标；（2）①根据抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，求得点A−1,0②分情况讨论：n<1，n−2>1，1≤n≤2，2<n≤3，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：y=m∴该抛物线的顶点坐标为1,−4，对称轴为直线x=1，（2）解：①∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线y=mx2−2mx+m−4与x轴交于点A，B∴A−1,0，将A−1,0代入y=m0=m+2m+m−4解得：m=1∴该抛物线的解析式为：y=图略②当n<1时，最小值为n2−2n−3依题意，n−2解得：n=0；当n−2>1时，即n>3时，最大值为n2−2n−3依题意，n解得：n=4，当n−2≤1≤n时，即1≤n≤3时，最小值为−4，当1≤n≤2时，最大值为n−2依题意，n−2解得：n=3−22（舍去）或n=3+2当2<n≤3时，最大值为n依题意，n解得：n=1−22（舍去）或n=2综上所述，n=0或n=421．（8分）如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P距地面(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式．(2)一辆货车高为4m，宽2(3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由．【答案】(1)y=−(2)能通过，理由如下：解：令y=4，则有4=−1解得x1=4+22x1∴货车可以通过；(3)能通过，理由如下：由（2）可知x1−x∴货车可以通过．【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；（2）令y=4，解出x的值，然后将x1−x（3）隧道内设双行道后，将（2）求出y=4时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较．【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标4,6，设抛物线的方程为y=ax−4∵点A0,2∴2=a0−4∴a=−1∴y=−1（2）略（3）略22．（10分）已知二次函数y=ax−1x−3+a2（a(1)当n=0时，a=；(2)当a<0时，①求证：二次函数的图像与x轴总有两个公共点；②若二次函数图像与x轴的交点都在y轴的右侧，则n的取值范围为．【答案】(1)a=1(2)①证明：由（1）可得y=ax令y=0，即ax2−4ax+3a+∵a<0，∴1−a>0，4a∴Δ=4∴方程ax∴二次函数的图像与x轴总有两个公共点．②0<n<12．【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知a2−a=0，然后解关于（2）①先把函数解析式化成一般式，令y=0，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当y=0，即ax2−4ax+3a+a2=0，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得ax−22=a−【详解】（1）解：y=a=a=a=a=ax−2∴抛物线的顶点坐标为：2,a∵抛物线顶点坐标为m,n，n=0，∴a2−a=0，解得：a=1或∵a≠0，∴a=1．（2）①证明：略；②解：当y=0，即ax∴ax−22−a+∵a≠0，∴x−22∴x−2=±1−a，即x=2±∴方程的最小解为x=2−1−a∴2−1−a>0，解得：∴−3<a<0；由（1）可得：n=a∴抛物线开口方向向上，对称轴为a=1∴当a<12时，n随∴当−3<a<0，n随a的增大而减小，∵当a=−3时，n有最大值n=−32−−3=12；当a=0∴n的取值范围为0<n<12．23．（12分）综合与实践为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且均以2cm/s的速度运动．当点E停止运动时，点F也随之停止运动．连接EF．以EF为边向下作正方形EFGH，设点E的运动时间为xs（0< x<6），正方形EFGH(1)【直观感知】EF的长为________cm（用含x的代数式表示）．(2)【初步探究】如图2，当HG落在BC上时，求x的值．(3)【深入研究】如图3．当HG在BC的下方时，求y与x之间函数关系式．(4)【问题解决】在点E，F的运动过程中，正方形EFGH和四边形BEFC重合部分图形的面积y的最大值是多少？（直接写出结果）【答案】(1)2(2)2(3)y=−2(4)36【分析】（1）易得△AEF为等腰直角三角形，进行求解即可；（2）易得△BHE为等腰直角三角形，得到BE=2EH=2（3）设EH，FG分别交BC于点M,N，则△BEM为等腰直角三角形，四边形EFNM为矩形，求出EM的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形EFNM的面积，进行求解即可；（4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可.【详解】（1）解：由题意，AE=AF=2xcm∵∠BAC=90°，∴EF=2（2）解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12∴∠B=∠C=45°，∵正方形EFGH，HG落在BC上∴∠EHG=∠EHB=90°,EH=EF=22∴△BHE为等腰直角三角形，∴BE=2∴AB=AE+BE=6x=12，∴x=2；（3）解：当2<x<6时，设EH，FG分别交BC于点M,N，则△BEM为等腰直角三角形，四边形EFNM为矩形，∵AE=AF=2xcm，EF=2∴BE=12−2x∴EM=BM=22∴y=EF·EM=22（4）解：当0<x≤2时，重叠部分的面积即为正方形EFGH的面积，∴y=2∴当x=2时，y值最大为8×2当2<x