《张量分析及其在力学中的应用》教案全套 -程国强

电子教案课程名称：张量分析课程类别：专业必修课授课对象：硕士一年级2025年授课学时：4学时章节名称引言、第1章矢量分析与场论备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解张量分析的课程性质，了解力学硕士研究生学习张量分析的意义及张量分析的发展史等内容。理解并掌握1.力学相关的矢量分析；2.场论的基础知识4/32重点难点重点矢量及其运算和应用。难点力学中的矢量公式。教学方法教学手段课前发相关资料，预习本章内容，复习理论力学和流体力学中有关矢量的知识点等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生明白为什么学以及怎么样学张量分析，在讲授过程中重温中学以及理论力学和流体力学中有关矢量的知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤介绍本课程的主要学习内容本课程主要学习：矢量分析与场论、笛卡儿张量、曲线坐标系中的一般张量等三部分内容，并将力学中的相关知识融入相关章节中。介绍考核及方式结课考核主要为张量分析知识点的考核，采用开卷考试的形式，根据学生知识点的掌握情况进行打分。建立包括模块考核、课堂讨论和课堂汇报在内的过程考核体系，根据学生情况分为90-100、75-89、60-74、<60四个等级进行打分，以体现平常考核成绩。结课考核占比约为70%；过程考核占30%。引言为了证明定理和推导公式紧凑简洁起见，在连续介质力学的文献和教科书中广泛使用张量分析这一数学工具；是力学专业研究生必须掌握的基础课程。如果力学专业研究生不能很好地掌握张量知识，则：研读力学经典教材都会遇到很多困难；阅读最新的力学文献则会不知其所以然；至于推导精妙的公式，进行前瞻性基础研究就更谈不上了。如我们专业某延毕研究生毕业论文中：根据其公式介绍可以知道张量和力学知识掌握得太差了，一般情况下，看到这里就会知道他还得继续延毕，应该不会有好成果了。简单介绍标量、矢量和张量课程思政元素的融入张量使证明定理和推导公式紧凑简洁。古诗词是简洁、明快、质朴的中国传统文化的瑰宝之一。古诗词是中国传统文化的瑰宝之一，它是通过语言艺术的形式表达情感抒发思想的艺术形式。古诗词以简洁、明快、质朴的语言，创造出一种美的意境，道出深远的思考。通过欣赏古诗词，可以了解中国的风土人情、文化传承、历史变迁。类比描述古诗词的说法，大家讨论张量在力学中的地位、学习张量的意义，以及怎样学习张量等。4第1章矢量分析与场论矢量及其运算1.1.1标量与矢量标量是在空间中没有取向的量，如质量、温度等，其基本特征是仅需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个量取值不变。矢量是个有方向有大小的量，如力、速度等，三维空间中的一个矢量需要一组三个数（分量）来描述，基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数的取值按照一定的规律发生变化。矢量运算法则矢量的加法这就是矢量加法的平行四边形法则。矢量加法满足交换律和结合律矢量的标量积矢量a与标量m的乘积是矢量ma，这个矢量的模是矢量a的模的m倍，指向由m的正负号而定；若m=0，则ma为零矢量。矢量a与b的标量积若，且a，b都不是零向量，则a，b互相垂直。标量积满足交换律和分配律。3）矢量的矢量积两矢量和的矢量积（简称矢积，又称叉积）是一矢量，其模为，的模与两矢量夹角的正弦的乘积，方向垂直于，所构成的平面，且，和构成右手系：若a平行于b，或a=b，由sinθ=0，可知。矢量的矢积满足分配律。矢量场的混合积矢量a、b、c的混合积是一个标量。这个标量的绝对值等于由矢量a、b、c为邻边所构成的平行六面体的体积。例1-1证明余弦定理证明：讨论：正弦定理是什么？怎么利用矢量及其运算证明？例1-2若，，求（1）；（2）a在b上的投影；（3）a与b之间的夹角；（4）解：略例1-3如图1.6所示，试求长方体棱边CD上的力F对AB的力矩MAB。解：略讨论：混合积，AB上的力F对CD的矩1.1.3矢量的微积分由于矢量a在笛卡儿直角坐标系下可写为矢量在t处的导数记为，定义为：其导数可表示为：例1-4证明证明：略例1-5证明质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。证明：设质点P受到作用力F，具有动量mv，质点对定点的动量矩为MO(mv)。将动量矩对时间取一次导数，得由于，且根据质点动量定理，于是可得：若矢量连续可积，其不定积分定义为例1-7已知点P的加速度，t为时间，、为常数，且当t=0时，速度v=0，矢径r=0。求点P的速度和运动方程。解：略1.2微分算子在数学中，将微分考虑为一个抽象的运算并用符号表示，称为微分算子，如求导数本身用等符号表示。力学中常用的微分算子如笛卡儿直角坐标系下的哈密顿算子▽又称为一阶微分算子，读作“del”或“nabla”。▽不是一个矢量，仅是一个运算符号，运算时可以当作矢量来看待。设是一个标量函数，为矢量函数，则这些函数利用一阶和二阶微分算子有以下常用的表达式：例1-8理想流体运动微分方程的矢量形式可表示为，式中单位质量力f沿三个坐标轴的分量分别为fx、fy、fz，密度，压强，速度。根据矢量知识，将理想流体运动微分方程改写为分量形式。解：略例1-8已知某一流体流动速度场为，其中a是不为零的常数，流线是平行于x轴的直线，试利用流体微团的旋转角速度是否等于零来差别试流动是有旋流动还是无旋流动。解：略课程思政元素的融入“旋度”定义的由来作为矢量分析的基础概念，旋度来自四元数的微积分研究。哈密尔顿在介绍四元数的运算时，将一个四元数中的A称为“标量部分”，将称为“向量部分”。他引入了四元数的偏微分算子（即算子）后，计算一个四元数之向量部分的效果麦克斯韦在1873年的论文中将其中的“标量部分”称为“聚集度”（convergence），而将“向量部分”称为“旋度”（Curl）或“变度”（Version），他在写给泰特的信中解释了他起名“旋度”前的想法。他最初想将这一部分称为“扭曲度”（Twist），但可能会被理解为“旋扭”（screw）或“螺旋”（helix）；而他想表达的概念是类似“转”（turn）或“变动”（version）。他曾想用“拧动”（Twirl）一词，但又认为它太过“活泼”（racy），对于数学家来说动感过于强烈，所以最后使用了“旋度”。海维赛德在1883年发表的论文：《电学与磁学中的若干关系》（SomeElectrostaticandMagneticRelations）中讨论了算子对一个四元数q的作用效果。他认为有必要将的三个部分分开，将的向量部分他成散度部分和旋度部分。小结：通过这两次课的学习，希望大学理解为什么力学专业硕士生要学习张量分析，以及怎样学习张量分析。此外通过矢量及其场论的学习，希望大家掌握矢量及其相关运算，。这些内容定义虽然很简单，但要完全掌握并灵活应用并不容易，大家下去以后要多想多练。作业：复习本章内容，并结合理论力学和流体力学相关知识点理解并掌握；复习弹性力学基本假定及应力分析相关内容；完成课后作业第1、2、3、8、10题学生反馈想学好力学课，必须有很好的数学功底。通过力学相关的知识点举例，使我们对矢量有了形象地理解。教学反思课程知识概念较简单，实际应用并不容易，为了学生更容易掌握，大量知识点是通过例题来强调，学生经过讨论和爬黑板、回答问题，有利于提高学生学习注意力和学习效率，也发现了学生的一些弱点。通过下节课的实际练习，对学生编程中出现的问题进行梳理总结，期望能让学生更全面地理解矢量的知识。授课学时：2学时章节名称第二章笛卡儿张量2.1符号与约定备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握笛卡儿坐标系下1.字母标号法；2.Einstein求和约定；3.Kronecker-符号；4.排列符号5.偏导数记号6/32重点难点重点字母标号法和Kronecker-符号。难点符号与约定的综合应用。教学方法教学手段课前发复习前期矢量知识，预习本章内容，复习弹性力学关于应力定义等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并逐渐掌握笛卡儿张量中各符号与约定的定义及其在弹性力学中的应用。在讲授过程中重温弹性力学力学中一点的应力状态、平衡微分方程等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标（如下图）。教学策略与方法通过课程微信群推送相关资料，通过“课前预习-翻转课堂-课后实践”的模式开展学习活动。1、任务驱动：要求学生课前对矢量内容基本知识点进行复习，并完成章习题和思考题，提前了解课堂教学形式，完成部分任务，为课上深入学习做准备。课堂中围绕三个设计任务进行知识回顾和应用实践，难度螺旋上升。2、案例引入：以硕士毕业论文中不正确的弹性力学运动方程为例引入，让学生更直观地明确任务要求，使学生了解“知识从哪里来，到哪里去”。3、公式推演：通过板书进行相关公式的推演，加深对知识的理解。课上设计学生动手推演公式环节，实时地对学生的学习情况进行反馈指导，提高了学生学习专注力，也锻炼了学生的动手能力，避免无效教学。4、分组教学：以小组为学习单位，协同合作，取长补短，相互促进，相互启发。5、课上互动：通过课堂提问、分组讨论、学生分享等互动形式，带动学生积极参与到教学活动中来，实时了解学生的学习效果；同时创设宽松的课堂气氛，积极激活学生思维，提高课堂教学效果。教学步骤1前期内容总结前面介绍部分与力学相关的矢量分析和场论的基础知识，比较系统地阐述相关的理论、方法及应用，为现在的张量分析提供基础。2导入组织学生回答、讨论弹性力学中一点处的应力状态，需要几个分量描述？是不是矢量？有没更复杂的量，怎样表示、运算？课程思政元素的融入通过实例、对比的方式演示通信中要遵循约定的协议弹性力学中一点处的应力状态描述问题的讨论，引申到生活中不以规矩、不成方圆，大到法律法规、小到规则纪律都要遵守，按规矩办事，营造良好的社会氛围，引导学生树立规矩意识。进一步引申到国际局势，国家之间也要遵守协约，否则就会出局。培养学生法制意识和社会责任感。3本次内容2.1符号与约定2.1.1字母标号法张量一般是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号与约定，才能使表达式简洁紧凑，保证分析工作有秩序地进行。从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。在张量分析中对一个量的标记采用字母标号法，在文献中常使用粗体字母表示一个张量，而其分量元素采用相应的非粗体字母加以不同的指标来表示，在笛卡儿张量中只需要采用下标记号，即指标放在字母的右下脚。我们用x1，x2，x3代替普通直角坐标系中的x，y，z，用i1，i2，i3代替通常的正交单位基矢量i，j，k，于是在直角坐标系中的位置矢量（矢径）p可表示为(2.1.1)如弹性力学中一点处的应力状态描述问题。我们知道一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态，而过一点任一截面上的应力都可以分解为一个正应力、两个剪应力三个应力分量，显然过该点可以做无穷多个截面，不同面上的应力分量也是不同的。为了描述任一的应力状态，在笛卡儿直角坐标系中，在p点处沿坐标轴x，y，z方向取一个微小的平行六面体，如图2.1所示，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正、负方向重合，图2.1一点的应力状态则六面体微元体的3对截面共有九个应力分量，即：应力分量的第一个下标字母表示应力所在面的外法法方向，第二个字母表示应力分量的指向，其中σx、σy、σz可视为σxx、σyy、σzz的简写。如果已知这九个应力分量，则可求出通过该点的任意斜截面上的应力分量。则这九个应力分量整体，称为应力张量，就可以表征一点的应力状态。用1，2，3分别代替应力分量的下标x，y，z，则应力张量通常可表示为σij：(2.1.2)对于像应力张量比矢量更复杂的量，需要采用更多的指标，更多的指标形式来表示。思政元素思政元素通过实例、对比的方式演示要遵循约定的协议，弹性力学中一点处的应力状态描述问题的讨论，引申到生活中不以规矩、不成方圆，大到法律法规、小到规则纪律都要遵守，按规矩办事，营造良好的社会氛围，引导学生树立规矩意识。进一步引申到国际局势，国家之间也要遵守协约，否则就会出局。培养学生法制意识和社会责任感。2.1.2Einstein求和约定为了简化记号，以下如无特殊声明均采用Einstein求和约定：当在表达式的一项中某个指标重复出现两次，则表示对该指标从1到3求和。重复指标称为求和指标或称哑标，哑标在同一项中可以任意更换，但不得出现三次或三次以上。不重复的指标称为自由（指）标，在同一方程或同一表达式中各项的自由指标必须相同。根据这一约定，式(1.2.1)中的求和号可以略去，可以记为(2.1.3)应力张量的平均正应力σm可表示为：(2.1.4)此外，根据以上求和约定我们容易写出以下关系式a，b矢量的内积线元长度的平方多元函数的全微分课程思政元素的融入爱因斯坦对张量分析发展的贡献1901年，里奇和列维-奇维塔（Levi-Civita）正式建立了张量分析的理论框架。他们系统地发展了张量的微分和积分运算，为张量分析的应用奠定了基础。此时，张量分析主要应用于数学领域，缺乏广泛的物理应用背景。爱因斯坦在研究广义相对论时，意识到传统的数学工具无法满足描述时空弯曲的需求。他通过与数学家格罗斯曼（MarcelGrossmann）的合作，引入了张量分析作为描述引力场的数学语言。这种选择不仅为广义相对论提供了坚实的数学基础，也使得张量分析从数学领域的边缘走向了物理学的核心，使得张量分析从纯粹的数学工具转变为描述物理现象的强大工具。爱因斯坦对张量分析的应用不仅推动了广义相对论的发展，也促进了张量分析自身的发展。例如，爱因斯坦提出了“爱因斯坦求和约定”（EinsteinSummationConvention），这是一种简化张量表达和计算的约定。根据这一约定，当公式中出现一对相同指标（一个上标和一个下标）时，表示对该指标进行求和。这种约定不仅简化了张量方程的书写，还减少了计算中的冗余，使得复杂的张量运算更加简洁明了；爱因斯坦在研究中引入了黎曼几何中的度规张量、克里斯托费尔符号等概念，并将其应用于描述时空的几何结构，进一步丰富了张量分析的理论体系；由于广义相对论的巨大成功，张量分析逐渐被应用于其他物理领域，如量子场论、连续介质力学等。爱因斯坦的工作激发了数学家和物理学家对张量分析的兴趣，推动了这一数学工具在更广泛的科学领域中的应用。应力张量的平均正应力σm可表示为：(2.1.4)此外，根据以上求和约定我们容易写出以下关系式a，b矢量的内积线元长度的平方多元函数的全微分2.1.3Kronecker-符号Kronecker-符号在许多张量关系式会用到，其定义(i,j=1,2,3)(2.1.5)根据上式定义，显然有,三维空间里，在直角坐标系中基矢量i1，i2，i3的点积结果为：则可知：(2.1.6)利用求和约定后，有根据符号的定义，不难看出有置换指标的作用，如，，，课堂练习：，利用指标和符号，可以使得物理表达式更加简洁，如线弹性力学中直角坐标系下常用的广义虎克定律：(2.1.7)式中、、、、、为形变分量，E、μ为弹性常数。根据求和约定及Kronecker-符号的定义，并将应变张量与形变分量一一对应，式(2.1.7)可表示为：(2.1.8)2.1.4Ricci符号（又称置换符号）置换符号eijk定义为(2.1.9)其中，置换符号eijk的指标i，j，k排列说明如下：当i=1，j=2，k=3时，称i，j，k为1，2，3的零次置换，如果将1，2，3中的任意一对互换位置，称为一次置换，再互换一次称为二次置换，以此类推可得各偶数次置换和奇数次置换。根据上式定义，显然有，，三维空间里，在直角坐标系中基矢量i1，i2，i3的混合积结果为：则可知：(2.1.10)引入置换符号，可简化许多表达式，如b矢量的叉乘例2-1利用，及运算证明关系式，，解：略2.1.5偏导数记号我们记(2.1.11)即跟在逗号后面的指标k，表示对xk求偏导。利用式(2.1.11)和求和约定，我们容易写出：矢量场u的散度引导学生写出直角坐标系下空间问题的平衡微分方程，用张量形式可表示为：小结：本次课希望大学理解并掌握笛卡儿坐标系下，各符号与约定的定义及运用。这些内容定义虽然很简单，但妙用无穷，大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；完成课后作业第1题学生反馈1通过本节课学习，让我们从技术层面了解了不以规矩、不成方圆的道理。2想学好力学课，必须有很好的数学功底。3通过弹性力学的知识点举例，使我们形象地理解了一点的应力状态等概念。教学反思“爱因斯坦对张量分析发展的贡献”思政元素，对学生有较大的触动。课程知识概念较简单，实际应用并不容易，为了学生更容易掌握，忽略了部分细节的介绍，通过下节课的实操练习，对学生编程中出现的问题进行梳理总结，期望能让学生更全面地理解张量分析的知识。授课学时：2学时章节名称第二章笛卡儿张量2.2笛卡儿张量的定义备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握笛卡儿坐标系下坐标变换；2.笛卡儿张量的定义；3.张量定义的灵活应用8/32重点难点重点笛卡儿张量的定义和张量代数。难点张量定义的应用。教学方法教学手段课前发复习前期2.1知识，预习本章内容，复习弹性力学关于应力定义等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并逐渐理解张量的不变性及其在弹性力学中的应用。在讲授过程中重温弹性力学力学三大方程组及应力边界条件等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面介绍符号与约定，定义比较简单，具体应用必须熟才能生巧，大家可以试着用张量形式写出弹性力学应力边界条件。2导入组织学生回答、讨论根据矢量的定义，我们知道速度、加速度等物理量是矢量，我们也知道弹性力学中应力、应变都是张量，张量怎么定义呢？3本次内容2.2笛卡儿张量的定义2.2.1坐标变换考虑二维空间的正交直角坐标系ox1x2，其基矢量为i1和i2，再引入一个新的坐标系，基矢量为和，空间中任一点P在两坐标系中的坐标存在如下关系：图2.2坐标变换利用几何关系，两坐标系的基矢量之间也有相同的关系式：三维空间也有类似的关系式，基于矢量投影，新坐标系的基矢量分别为与原来的基矢量的关系由下列线性变换给出此处为新的基矢量在原基矢量上的分解系数。。坐标转换式为2.2.2定义矢量的定义：一个矢量由3个分量组成，在坐标系按(2.2.3)变化时它们服从(2.2.9)的转换规律。推广上述矢量的定义，可以定义二阶笛卡儿张量是一组9个分量的量集aij(i,j=1,2,3)，在坐标系按(2.2.3)变化时，这些分量服从以下转换规律仿此可以给出更高阶张量的定义：3N个分量组成的量集，在(2.2.3)的坐标转换下，若有以下关系成立则称这个量集为N阶的笛卡儿张量。在这个定义下标量是零阶的张量，矢量是一阶的张量。仿照(2.2.8)对矢量的记法，我们也可以对张量采用不变性记法（或称并矢记法，抽象记法，绝对记法），如二阶张量a可记作其中是张量分量，为基矢量的并矢，称为基张量。2.2.3算例例2-1当物体受静水压力p时，其应力分量可以写成，或者用并矢方法表示应力张量为。试求当坐标系转换时，新坐标系下的应力分量。解：略例2-2利用张量的定义，验证弹性体内任一点P处的九个应力分量是二阶张量。证明：略例2-3利用弹性力学的基本假定推导出正交直角坐标系下各向同性弹性体的本构方程，即广义虎克定律。重点介绍1如何由文字的基本假定得出公式形式的本构方程2各向同性假定与坐标变换。解：略小结：本次课希望大学理解并掌握笛卡儿张量的定义及运用。张量定义中的不变性与力学中各物理量的客观性对应，大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；完成课后作业第6、8题学生反馈1通过本节课学习，让我们从技术层面了解了数学中如何利用不变性定义矢量、张量。2想学好力学课，必须有很好的数学功底。3通过弹性力学的知识点举例，加深了我们对广义虎克定律的理解。教学反思坐标变换的思想较为简单，但让学生较短时间内掌握并应用不容易。授课学时：2学时章节名称第二章笛卡儿张量2.3张量代数备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握笛卡儿坐标系下各种张量代数的定义；2.各张量代数的灵活应用10/32重点难点重点笛卡儿张量代数的定义。难点张量代数的应用。教学方法教学手段课前发复习前期2.2知识，预习本章内容，复习弹性力学关于平衡微分方程、几何方程等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并掌握张量代数及其在弹性力学中的应用。在讲授过程中重温弹性力学力学三大方程组及应力边界条件等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面介绍符号与约定，定义比较简单，具体应用必须熟才能生巧，张量的定义相对比较抽象，应用有一定的难度，大家可以试着用张量形式写出弹性力学三大方程组。2导入组织学生回答、讨论弹性力学三大方程组写成张量形式有什么优缺点呢？3本次内容2.3.1零张量、张量的相等及加减（1）零张量一张量在某一坐标系中所有分量都为零，则在任何坐标系中所有分量仍为零，称这个张量为零张量。零张量的意义对于张量方程在不同坐标系中的形式不变性是重要的。这里要注意零张量与零阶张量的区别，所有分量都为零的零张量是指所有分量都为零的张量，与张量的阶数无关；而零阶张量是指标量，即张量的分量个数为，其中0是零阶的零张量。（2）相等两个同阶的张量在同一坐标系中对应分量都相等，则称这两个张量相等。张量相等是研究张量场、张量微积分和张量方程的基础，龙里县在数据处理、模型验证、参数同步和算法正确性验证等方面都非常重要。（3）加减两个同阶张量的和或差为一同阶张量，其分量由原来两个张量相对应的分量的和或差而组成。张量的加法满足交换律和结合律，即2.3.2外积、缩并与内积（1）外积（又称并乘或简单积）两个不同阶张量的外积是一个张量，它的阶为所给两个张量的阶之和，它的分量是由原来张量分量的通常的乘积而得到。如aij是个二阶张量，bkmn是三阶张量，它们的外积是个五阶张量，记为cijkmn其绝对记法的形式为例2-4设B是三阶张量，C是二阶张量，证明B与C的外积A=BC也是张量。证明：略张量的并乘一般不满足交换律，但服从分配律和结合律，标量与张量相乘可视为外积的特例，但标量与张量相乘满足交换律。（2）缩并若对基张量中的任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低.二阶的新张量，例如：三阶张量的一种缩并为.(2.3.5)其分量关系为(2.3.6)若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并结果也不相同。力学中常用到的、可以认为分别是应力张量和应变张量缩并一次的结果。由于二阶张量缩并后变成了零阶张量，即不随坐标系变换而改变的标量，因此也称为不变量。（3）内积.内积是由外积和缩并组成的运算，两个张量先作外积，然后在所给的两个张量的基张量中各取一个基矢量进行缩并。如张量和的一种内积是.(2.3.7)在进行内积运算时，既要注意并乘的顺序，又要注意是对哪两个基矢量进行缩并的。若内积所涉及的基矢量是邻近的，则称为点积。两个张量的点积是先将两个张量进行并乘，再把前一个张量的并基中的最后一个基矢量和后一个张量的并基中的第一个基矢量进行点积。如张量和的点积则可直接记为：(2.3.8)其分量关系为(2.3.9)即把前、后张量中一对紧挨着的指标改为哑标。两个一阶张量（矢量）的点积是零阶张量（标量），而一个二阶张量与一个矢量的点积结果则仍为矢量。设T为二阶张量，u为矢量，则(2.3.10)式(2.3.10)说明，二阶张量与矢量的点积相当于对矢量进行了线性变换。两个张量外积后，再对两个张量中两对紧挨着的基矢量连续缩并的结并双点积：串双点积：若均为二阶张量，它们的双点积为一标量，其结果为2.3.3商定律判断一个量集是否为张量，可以直接利用张量的定义，在坐标系变换到新坐标系时，看量集的分量是否满足坐标转换关系。但是，这种方法有时很麻烦。张量的商定律给出了另一种判断一个量集否为张量的方法。假定量集X的分量个数是3n个，符合张量分量个数的要求，但不知道它是否为张量，则我们可以根据商定律来判别，即X与任意张量的内积是张量，则X也是张量。特别地，若X与任意矢量内积得到一个(n-1)阶张量，则X必定为n阶张量。如，设B为任意三阶张量，C为二阶张量，且有恒等式则分量个数为33个的量集T形成一个张量。证明：略由张量的商定律可以得出：是一个二阶张量2.3.4对称化和放对称化若张量的任意两个指标互换后所给出的张量与原来张量相同，保持不变则称该张量关于这组指标具有对称性。如对一个三阶张量满足（2.3.18）则此张量对指标i、j是对称的。若互换张量的两个指标后所得张量分量和原来张量对应分量反号，则称此张量关于这组指标反对称。如（2.3.18）则此张量对指标i、j是反对称的。显然，反对称张量的对角分量（即与反对称指标相关的两指标取相同值的分量）均等于零。对已知张量的N个指标进行N！次不同的置换，并取所得的N！个新张量的算术平均值的运算，称为对张量的对称化。对已知张量的N个指标进行N！次不同的置换，并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号，再求算术平均值，这种运算称为张量的反对称化。如二阶张量的对称化和反对称化运算，对称指标放在圆括号中，反对称指标放在方括号中：如三阶张量或更高阶的张量，也可以对称化和反对称化运算，从而得出新的或反对称张量，如：其中，在高阶张量进行对称化或反对称化时，需将不参与对称化或反对称的指标用一竖线隔开，如式(2.3.20c)、式(2.3.20d)的指标k、m，在指标置换时它们的位置不变。小结：本次课希望大学理解并掌握笛卡儿坐标下张量代数的定义及运用。大家下去以后利用流体力学和弹性力学中的公式，对张量代数进行多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；完成课后作业第7、9题学生反馈1通过弹性力学的三大方程举例，加深了我们对弹性力学和张量的理解。教学反思笛卡儿坐标下张量代数的定义较为简单，但让学生较短时间内掌握并应用不容易。授课学时：2学时章节名称第二章笛卡儿张量2.4——2.7备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握笛卡儿坐标系下二阶张量；2.极分解定理；3.张量场的微分4.各向同性张量函数及其表示定理12/32重点难点重点二阶张量和张量场的微分。难点用张量的绝对形式进行物理方程的表示和推导。教学方法教学手段课前发复习前期2.3知识，预习本章内容，复习弹性力学关于应力定义等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并逐渐理解张量的演算及其在弹性力学中的应用。在讲授过程中重温弹性力学力学三大方程组及应力边界条件等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面已经介绍了笛卡儿张量的定义和代数，具体应用必须熟才能生巧，大家可以试着用张量的绝对形式推导写出弹性力学位移解法所用方程。2导入组织学生回答、讨论根据矢量的定义，我们通过弹性力学的学习，已经知识了弹性力学中的三大方程组的分量形式，通过张量学习，也知道了张量形式的三大方程组，为什么还要知道其绝对形式的表达呢？在弹性力学或其他学科中还有什么内容可能用到？3本次内容大家讨论的很有价值，我们今天将一些预备知识学习完。2.4二阶张量2.4.1二阶张量的矩阵表示在三维空间中，二阶张量由九个分量组成，它们恒可以用矩阵的形式表示。如：(2.4.1)因此有关矩阵理论方面的许多知识可以用到张量的运算中来。以二阶张量Aij与一阶张量即矢量bk的点积为例进行说明，张量表达式为采用矩阵运算则为：讨论：通过矩阵运算，可以明显看出二阶张量与矢量的点积，使原矢量换成了一个新矢量，且新矢量的模与方向与原矢量相比一般都会发生变化。在一些特定情况下新矢量的方向可以保持不变。这个运算我们在什么情况下会用到？在矩阵运算中，方阵A的乘幂定义为：，，…，则对应地可定义二阶张量A的乘幂为：，，…，(2.4.2)类似的如，则可定义等。例2-5已知二阶张量，求、。解：略2.4.2两种常用的加法分解根据(2.3.19)我们可以给出任意二阶张量的如下加法分解：(2.4.2)和分别是的对称和反对称部分，由(2.3.19)给出。将一个二阶张量进行加法分解，不仅有助于简化数学处理，还能揭示张量在物理和工程问题中的本质特征。如在线弹性理论中，对称张量与变形相联系，而反对称张量则对应于旋转。在弹塑性力学的研究中还常用到二阶张量的下面一种加法分解：(2.4.3)其中(2.4.4a)(2.4.5b)Bij和Dij分别称为的球形部分和偏量部分。在弹塑性力学中，球张量与体积变化相联系，对金属材料来说球张量与塑性变形无关，而偏张量与形状变化相联系。2.4.3反对称张量现在我们考察二阶反对称张量的特性，如果二阶张量W是一个反称张量，则有(2.4.6)显然有，且其余六个非零的分量只有三个是独立的。由于非零分量的个数与空间维数相同，我们可以借助一个矢量Wk来表示这个反对称张量，为此定义2.4.4转置张量、正交张量和逆张量设二阶张量，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量(2.4.10a)称为A的转置张量。用矩阵形表示则为：，(2.4.10b)例2-3证明AT和A有如下关系成立其中、为任意非零矢量。证：略。2.4.5二阶张量的主轴及不变量如果有一个坐标系恰使二阶张量的分量，则此坐标系的坐标轴称为张量t的主轴。如果存在非零的矢量a与二阶张量t的内积满足此处为一标量因子。根据二阶张量与矢量的内积可知，式（2.4.15）的几何意义为二阶张量t将非零的矢量a变换为一个新的矢量λa，新的矢量的方向与原矢量保持一致。则称a为t的特征向量，它的方向就是t的主轴方向，简称为主方向。标量因子称为t的主值或特征值。将式（2.4.15）移项即可得：解关于a的齐次方程组，得关于的三次代数方程方程中的系数=1\*ROMANI，=2\*ROMANII，=3\*ROMANIII分别称为的第一、第二、第三主不变量。当t为对称二阶张量时，方程(2.4.19)存在3个实根，由每个根可分别利用式(2.4.16)求出相应的特征向量。当二阶张量t为应力张量σij时，则由特征方程求出的三个实根即为三个主应力。例2-6已知平面应力问题中一点处的应力分量为MPa，MPa，MPa，试确定该点处的主应力。解：略2.5极分解定理二阶张量的极分解定理在研究连续介质组成物体的变形时是很用的，以下不加证明地直接给出定理的陈述。一个可逆的二阶张量F恒可以唯一地分解为一个正交张量Q和一个对称正定张量U的乘积（右分解），或一个对称正定张量V与正交张量Q的乘积（左分解），即(2.5.1)其中的U、V、Q之间满足以下关系,,(2.5.2)从上式最后一式可以看出，U和V互为相似的张量，即它们有相同的主值，且U的主方向ui和V的主方向vi之间有以下关系：(2.5.3)从极分解式可以看出，U或V反映了F的量值，而Q代表了F关于某个轴的转动。在连续介质力学中通过对变形梯度张量极分解，可以将介质中微小体积元的运动和变形看作三种运动形式的合成：跟随体积元中某物质点的平动、绕瞬时转动轴的刚性转动和体积元在各方向的伸缩。2.6张量场的微分若在所考察三维空间区域的每一点，都可以一一对应地给定张量分量的值，则在该区域上就定义了一个张量场。零阶的和一阶的张量场就是我们熟悉的标量场和矢量场。我们推广矢量分析中的标量场的梯度及矢量场的散度和旋度的运算，来定义张量场的梯度、散度和旋度。在笛卡儿坐标系中，基矢量（基张量）是与空间的位置无关的常量，所以笛卡儿张量对坐标求导时只需对张量的分量求导而保持基矢量不变。以下以四阶张量场为例来给出张量场的各种微分运算的定义。对坐标求偏导，记其为引进Hamilton矢性微分算子(nabla)，定义张量场梯度的两种运算和分别称为张量场的左梯度和右梯度。张量场的散度定义如下：可见散度是矢性算子与张量场的内积运算。类似地，张量场的旋度定义为：2.7各向同性张量函数及其表示定理连续介质力学中各向同性是指介质在不同的方向上具有相同的物理性质，或者说介质的物理性质无方向性。表示各向同性物理性质的张量必然是各向同性的，各向同性张量的表示形式与正交坐标线的方向无关。2.7.1张量函数自变量为张量的函数叫做张量函数。张量函数的形式多种多样，例如：(2.7.1)(2.7.2)在以上二式中自变量A1,A2,…为二阶张量，u1,u2,…为矢量，是标量，若函数f的运算结果是一个标量值，则称式(2.7.1)为标量值的张量函数；函数F的运算结果B是一个张量,则称式(2.7.2)为张量值的张量函数。2.7.2张量函数的微分2.7.3各向同性张量当坐标系发生转动时，分量值保持不变的张量称为各向同性张量。根据这个定义，单位张量或球形张量等是各向同性张量，此外，标量与坐标系无关，显然标量是各向同性的零阶张量。小结：本次课将笛卡儿张量的所有内容都讲完了。内容比较多，尤其结合相关力学知识点，可能对某些同学比较难，希望大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；完成课后作业第10、13题学生反馈1学好张量分析课，对弹性力学等课程的相关知识掌握和理解更好。3张量分析有助于逻辑思维和动手演算能力的提升。教学反思由于学时问题笛卡儿张量对连续介质力学等后续课程有很大帮助的内容，没有往深处讲，希望组合每届学生的具体情况，优化授课内容。授课学时：2学时章节名称第三章曲线坐标系中的一般张量3.1、3.2备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握1.笛卡儿张量和曲线坐标系下张量的异同；2.曲线坐标系下互易坐标基14/32重点难点重点曲线坐标系下互易坐标基。难点逆变基矢量的求解方法。教学方法教学手段课前发复习前期第2章知识，预习本章内容，复习弹性力学中曲线坐标系下三大方程的表示等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并逐渐理解曲线坐标系下互逆基矢量的必要性及逆变基矢量的求解方法。在讲授过程中重温笛卡儿张量的点积等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面已经学完了笛卡儿张量的相关内容，有了这些知识，一般情况大家阅读文献就不至于完全看不懂，但要想有所创新，还不够。2导入组织学生回答、讨论大家还记得弹性力学中柱坐标系下平衡微分方程怎么表示吗？柱坐标系下三大方程有什么特点？3本次内容3.1引言在第二章中我们讨论了正交归一（即直角笛卡儿）坐标系中的张量，给出了笛卡儿张量的定义、代数运算以及张量场的微分运算等，对于张量有了初步认识。张量的基本特征是当坐标系发生变化时，其分量的取值遵从一定的转换规律。直角笛卡儿坐标系中，由于限制了基矢量之间的相互正交，而且其取值为单位1，另外基矢量取定以后，其方向是固定的，即基矢量是不随空间点的位置而变化，或者说这种坐标基矢量是整体的，这样一来，新旧坐标系之间的变换系数也就固定不变，且由其组成的矩阵为正交矩阵，变换关系比较简单。在对张量场进行微分运算时，基矢量作为常矢量，它们对坐标的导数为零，只需考虑张量的分量随坐标变化。同直角笛卡儿系相比，任意曲线坐标系，将出现两个方面的新问题：（1）定义的基矢量不一定是正交，其量纲也不一定相同，更不能要求它们的大小相等且等于单位1。（2）所考察空间区域的每一点处坐标架都不相同，即构成活动标架场，这种与点的位置相关联的标架，我们称之为局部标架。正由于这两个新问题的出现，将导致新旧坐标系之间的转换关系及张量场的微分运算等也都复杂得多。为了解决第一个问题，使曲线坐标系中张量的运算简捷紧凑，每一点处一个标架是不够的，需要有两个互易的标架，为了区别不同标架下的基矢量和张量分量，对它们进行标记的指标不像在笛卡儿张量分析中仅用下标就可以了，将会出现上标和下标的指标记法。上标称为逆变指标，下标称为协变指标（逆变和协变的含义后面将会介绍）。笛卡儿张量分析中的求和约定仍然有效，唯一区别是哑标（重复指标）的出现一定是上标和下标中各有一个，如，，等，不能再容许出现，等情况。另外在曲线坐标系下的张量分析中记号为，而不用。仅当涉及与笛卡儿系有关的量时才会出现。为了解决第二个问题，在对张量场进行微分运算时，要考虑标架的变化，把对张量分量的偏导数扩展为协变导数。后面的讨论将会看到，张量真正的内涵也只有在任意曲线坐标系中才能更深刻地被揭示出来。3.2互易坐标基、矢量的逆变与协变分量3.2.1互易标架考虑两个非零矢量P和U的点积，令它们的夹角为，则有在笛卡儿直角坐标系中可表示为在二维空间中，对于笛卡儿直角坐标系有现在我们在二维仿射坐标系中讨论两个矢量P和U的点积的表达式。图3.1给出了二维仿射系中P和U的分量，和基矢量，其尺度不一定相同，更不要要求它们相等。P和U在基矢量上的分解式为（下式中的上指标不是幂次，而是对逆变和协变的区别）：图3.1二维仿射系中矢量的分解此处，是和之间的夹角。可以看出，二维仿射系中的矢量点积表达式比二维笛卡儿坐标系情况下要复杂得多，容易想到在三维仿射系中的矢量点积表达式会更冗长。我们知道，矢量点积的结果本身是与坐标系无关的标量，但由于坐标系的选取不同，其运算过程的简易程度却相差甚远，为了能得到和笛卡儿系中那样简捷的表达，我们针对已选定和构成的坐标架，引入另一个标架，其基矢量记为和，引入规则是使，，且，，它们的关系示于图3.2中。上述正交关系可统一表示为图3.2二维仿射系中的互易标架（1,2）为二维的Kronecker记号，其定义为这样的和称为和的对偶基，它们也构成一个坐标架，与和构成的标架为互易标架。现在我们将矢量P在和标架上分解，将矢量U在和上分解，即 利用这种分解，完成点积运算，考虑到上述正交条件，便得到同理不难得到可见引入互易标架后，大大简化了矢量点积运算表达式。容易把上述做法推广到三维的情形，设是三维空间的仿射坐标系，选取沿坐标轴正向的矢量、、（不要求它们一定为单位矢量）作为一组基矢量，称其为协变矢量，在此标架下，任意矢量的分解式为 式中称为矢量P的逆变分量。针对所选定的标架，，，引入另一组标架，，，使它们之间满足以下正交关系 (i,j=1,2,3) 满足（3.2.3）的两组标架称为对偶标架、互易标架或相伴标架。且称为逆变基矢量。矢量P在逆变基矢量的分解式记为 此处，为矢量P的协变分量。定义了互易标架以后，三维空间中矢量P和U的点积便可记为给定了，，，原则上从（3.2.2）可以确定，，，但需解九元代数方程组。下面给出寻找互易坐标基矢量的另外一种方法。回忆矢量分析中的三重混合纯量积代表了以矢量，，为棱的平行六面体的体积，即考虑向量组，，和向量组，，，若则称这两个向量组构成互易向量组。，，和，，构成互易向量组的充要条件是，，命题通过直接代入便可证明。根据两个向量组互易的充要条件，我们容易从给定的基矢量组找出与其共轭或对偶的基矢量组，即，， 由此得到的与满足正交条件（3.2.2）。可以看出在和所成平面的法线方向，在和所成平面的法线方向，在和所成平面的法线方向。由（3.2.1）和（3.2.3），我们有上式第一个等号两边乘以，得即有 同理有 上式（3.2.5）给出了互易标架的一个基本特征：矢量P在协变基上的分量（矢量的逆变分量），可由矢量P与逆变基的点积得到。反之，矢量P在逆变基上的分量（矢量的协变分量），可由矢量P与协变基的点积来得到。3.2.2仿射系中矢量分量的转换现在讨论仿射系的标架转换时矢量分量的转换规律。设原仿射系的协变基矢量为，与其对偶的逆变基矢量为，变换后的新系中的协变基矢量和逆变基矢量分别为和。记新系中和在原系和上的分解分别为采用张量形式表示为： 式中称为协变系数，为逆变系数。注意到，由（3.2.8）可得 可见协变系数组成的矩阵与逆变系数组成的矩阵互为逆矩阵，即注意到逆矩阵的性质，则，于是有 若用乘以（3.2.9）第一式两边，注意到（3.2.10），则得即有 同理可得 （3.2.11）是（3.2.8）的逆变换式，即为原基矢量在新系中的分解式。以下考察一个矢量u当基矢量变换时其分量的变换规律，设u在原系和新系中的分解式为 （3.2.12）由(3.2.11b)，我们有注意到（3.2.12），则得到 类似地步骤可以得到 比较（3.2.8）和（3.2.13），可以看出当基矢量按（3.2.8）变化时，矢量的分量按相同的规律而变化，即协变基和矢量的协变分量均按协变系数来变换，逆变基和矢量的逆变分量均按逆变系数来变换。小结：本次课希望大学理解曲线坐标系的特点，以及互易基矢量的意义，以及逆变基矢量与协变基矢量的关系。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；学生反馈1曲线坐标系下的张量会比较难。教学反思通过二维仿射坐标系下矢量点积的运算，使学生比较容易理解互易基矢量的作用。导入方式以后要多挖掘。授课学时：2学时章节名称第三章曲线坐标系中的一般张量3.3度量张量备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握1.曲线坐标系下协变基矢量和协变度量张量的定义和具体求解方法；2.曲线坐标系下协变基矢量和协变度量张量的定义和具体求解方法16/32重点难点重点曲线坐标系下基矢量和度量张量的定义。难点曲线坐标系下基矢量和度量张量的具体求解方法。教学方法教学手段课前发复习前期3.1、3.2的知识，预习本章内容，继续复习弹性力学中曲线坐标系下三大方程的表示等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并逐渐理解曲线坐标系下基矢量和度量张量的定义和具体求解方法。在讲授过程中重温柱坐标系下平衡微分方程等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面已经学完了笛卡儿张量的相关内容，有了这些知识，一般情况大家阅读文献就不至于完全看不懂，但要想有所创新，还不够。2导入组织学生回答、讨论大家还记得弹性力学中柱坐标系下平衡微分方程怎么表示吗？柱坐标系下三大方程有什么特点？3本次内容3.3.1协变度量张量若三维欧氏空间中任意一点P在直角笛卡儿坐标系中的坐标用，，来表示，曲线坐标系中的坐标用，，三个参数，则在Jacobi行列式不为零，即时，曲线坐标系的协变基矢量为式（1.3.6），即，此处，，是直角笛卡儿坐标系的单位基矢量。则P点处矢径无限小矢量可以表达为 （3.3.1）在式（1.3.6）定义的三个基矢量上的分解式为 比较（3.3.1）和（3.3.2），再次给出式（1.3.6）定义的。微元矢量本身的标量积给出该线元长度的平方上式右边二次型系数的全体构成该曲线坐标系的协变度量张量（它是对线元长度的一种度量），其定义为此处x是强调了度量张量对点x的依赖性。从式（1.3.6）关于的定义，我们有 显然，度量张量关于指标，对称，且与P点位置有关。一般情况下，当时，。如果（时），则该曲线坐标是正交的。一般不是单位矢量，因此不一定等于1（下面的线表示不对该指标求和）。3.3.2逆变度量张量上述定义的基矢量是切于坐标曲线的。我们还可以利用P点处另外一组线性无关的矢量、、作为基矢量，它们是在三个坐标曲面法线方向的矢量，其定义为的梯度，即 由（2.3.5）和（2.3.12），我们有 可见，和是互易向量组。对于逆变基矢量我们也可以直接从下式来定义，即对于给定的协变基矢量，直接由向量组的互易的条件（3.3.7）来定义基矢量，且根据此定义可直接来求。从（3.3.7）可以看出，（），与成锐角。在上一节中，我们还给出了由已确定的来求的式（3.2.4）。现在再介绍一种由已知的确定的途径。首先将待求的表示为已知向量组的线性组合 此时的的意义尚未给出，只是作为一种分解系数按指标平衡的原则写出。将（3.3.8）代入式（3.3.7），便得到 已由（3.3.4）所给出，上式表明矩阵和矩阵互为逆矩阵。3.3.3指标升降任意矢量u可在协变基和逆变基上分解，即将上式第一个等号两边乘以，得类似地可得于是当已知可确定，反之亦然。这个过程可通过和升降指标来完成。根据式（3.3.8），逆变基矢量和协变基矢量也可认为利用度量张进行指标升降：根据式（3.3.15）和（3.3.16），矢量a和b的点积，可通过指标升降，有以下四种形式：例3-1当试确定如图3.3所示平面极坐标中的协变基矢量和逆变基矢量。图3.3平面极坐标解：略例3-2试确定如图3.4所示柱坐标系中的基矢量和度量张量。图2.3柱坐标系取 图2.3柱坐标系图3.4柱坐标系解：略小结：本次课希望大学理解并掌握曲线坐标系下基矢量和度量张量的定义及运用。为后面学线坐标系下张量的定义及演算打好基础，大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；预习下节内容学生反馈教学反思授课学时：2学时章节名称第三章曲线坐标系中的一般张量3.4曲线坐标系中张量的概念备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握1.曲线坐标系中矢量的概念；2.曲线坐标系中二阶张量的概念3.曲线坐标系中高阶张量的概念18/32重点难点重点曲线坐标系中张量的概念。难点基于张量概念的相关运算。教学方法教学手段课前发复习前期第3.3章知识，预习本章内容，复习弹性力学中曲线坐标系下三大方程的表示等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并一定程度掌握了曲线坐标系下基矢量和度量张量的定义和求解方法。在讲授过程中重温笛卡儿张量的点积等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面已经学习了曲线坐标系下互易基矢量、基矢量及度量张量的相关内容。目前我们还没有对曲线坐标系下的张量给出一个定义。2导入组织学生回答、讨论大家还记得笛卡儿坐标系下张量是怎么定义的吗？曲线坐标系下张量的定义会有什么相同或不同？3本次内容3.4曲线坐标系中张量的概念3.4.1矢量前一章定义笛卡儿张量时，首先是按其分量的坐标变换规律来定义的。这里仍按类似的方式定义曲线坐标系中的张量。为此首先考虑三维欧氏空间中两组曲线坐标和之间的变换，记正变换 逆变换 由（3.4.1）写出（3.4.2）的充要条件是。由（3.4.1）和（3.4.2）求微分有 分别称和为逆变系数和协变系数，这两组系数在张量分析中是相当重要的。以上两式就是微元矢量在坐标变换时的变换式，可知具有逆变特性，因为在坐标作正变换时它按逆变系数变换，由于系中（或系中）各曲线坐标为独立参数，显然有 根据协变基矢量的定义，我们有 上式(3.4.5)为原系协变基向新系协变基的变换式，由上式不难写出其逆变换式， 从(3.4.5)进而可得到 上式给出了从原系到新系的协变度量张量的变换式。对其两边取行列式，便有 上式表明，g虽为标量，但它在不同坐标系中取不同的值，通常称其为伪标量。为了构造，我们形式上写出其在上的分解式 其中为待定，将上式两连点乘，则有将(3.4.6)代入上式，有于是(3.4.9)变成 其逆变换式为 进而从(3.4.10)可得 矢量u在原基和新基上的分解分别为 对以上两式分别利用(3.4.11)和(3.4.6)，便给出 以上两式可以看作是以分量的坐标变换方式给出的矢量的定义，即一组三个数组成的量集或，当坐标系按(3.4.1)变化时，它们分别按(3.4.15)和(3.4.16)规则变换，则分别称它们为矢量u的协变分量和逆变分量。顺便指出，一个量集当由原坐标系变到新系正变换时，若其分量按协变系数变换时，其分量称为协变分量；若其分量按逆变系数变换时，其分量称为逆变分量；若其分量的一部分按协变系数变换，另一部分按逆变系数变换，则称这种分量为混合分量。另外，对于矢量来讲，指标只需一个，要么在上，要么在下，只能写出种分量形式。例3-4设一矢量a在笛卡儿直角坐标系的分量为xy，2y-z2，xz。试求它在球坐标系中的协变分量。解：略3.4.2二阶张量推广上述关于矢量的定义，如果一组个数组成的量集或或或，当坐标系按(3.4.1)变换时，它们分别按以下规则变换: 则称和分别为三维空间中的二阶张量A的协变分量，逆变分量和混合分量。二阶张量有两个指标，与上，下标的组合有种形式。也可象矢量那样采用绝对形式或不变性形式标记二阶张量。 注意到每个指标各占一列，当该列出现上指标时，下标位置空出，这涉及到基矢量的顺序。有的书特地在空位处加一黑点来表示，其实空位不加点也已明确。根据二阶张量的定义，再注意到(3.4.7)式，可知度量张量是二阶张量的协变分量。由（3.4.12）可以看出符合二阶张量逆变分量坐标转换规则(3.4.18)。可见和是同一二阶张量G的协变和逆变分量，不变性记法为 容易想到度量张量G应有两种混合分量，它们就是 在笛卡儿坐标系中 3.4.3高阶张量我们容易推广二阶张量的定义到N阶张量。如果由个数组成的量集 (p+q=N)当坐标系按(3.4.1)变化时，该量集分量按以下规则变化 则称该量集为三维欧氏空间中p阶逆变，q阶协变的p+q=N阶张量的混合分量。根据指标所占位置的不同，共有种分量形式。特别地，当N=0时，对应的零阶张量就是标量，当N=1时，对应的一阶张量就是通常的矢量。对N阶张量同样有绝对记法，如 (3.4.23)定义的张量有时称为绝对张量。小结：本次课希望大学理解并掌握曲线坐标系下张量的定义及相关演算。张量定义中的不变性与力学中各物理量的客观性对应，大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；学生反馈教学反思这部分知识点很重要，但也相对比较枯燥，目前还缺少一些形象生动导入和算例。授课学时：2学时章节名称第三章曲线坐标系中的一般张量3.5张量代数备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握1.曲线坐标系下各张量代数的定义；2.曲线坐标系下各张量代数的演算20/32重点难点重点曲线坐标系下各张量代数的定义。难点曲线坐标系下各张量代数的演算。教学方法教学手段课前发复习前期第3.4章知识，预习本章内容，复习弹性力学中曲线坐标系下三大方程的表示等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并一定程度掌握了曲线坐标系下张量的定义及相关演算。在讲授过程中重温笛卡儿张量的定义等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面已经学完了曲线坐标系下张量的定义及相关演算的相关内容，今天我们开始曲线坐标系下张量代数的学习。2导入组织学生回答、讨论笛卡儿坐标系下张量只有下指标，张量代数相对简单，曲线坐标系下张量代数会有哪些异同？3本次内容(1)加减权和阶均相同且相同指标在同一水平的张量称为同型张量。只有同型张量才能相加减，其和或差为一新的同型张量。如 (2)并乘(张量积)两个张量的并乘是由它们的分量的简单相乘而得到，所得新的张量的权和阶是原来两个乘子的权和阶的和。如 (3)缩并在一个张量中令其一个上指标和一个下指标相同，并采用求和约定，便得到比原来张量低两阶的张量，这个过程称为并运算。采用并矢记法可记作 点积由两个张量的外积，再缩并所得到的新张量称为原来两个张量的点积。注意缩并的两个指标一定是在原来两个张量中各取一个。如尚可以参照笛卡儿张量双点积的定义，完成曲线坐标系中两张量的并双点积和串双点积的运算。(5)对称化与反对称化若张量某一组同一水平指标的任意两个经置换后所得的张量与原来张量相同(或差一个符号，则说该张量关于这组指标为对称(或反对称)。欲对r个指标对称化，可对这r个指标进行r!次不同的置换，并取所得的r!个新张量的算术平均值，将参与置换的指标放在园括弧内来表示。如 式中表示对指标不进行对称化。反对称化运算只是在对称化运算中，奇次置换的项取负号即可，并将参与置换的指标放在方括弧内表示。如 (6)指标的升降 一点””或留空位是放在被移动的指标位置上，一般说来，仅当是对称张量时才有，此时指标所占到的相对位置才是不重要的。(7)Eddington张量在前面已证明以下关系式成立 类似地方式不难证明 于是可得 定义Eddington张量 (3.5.15) 其中和为Rice符号。定义广义的Kronecker符号利用(3.5.15),(3.5.16)，(3.5.17)可以证明以下关系成立 (8)矢量及张量的叉积矢量和矢量的叉积是一个矢量,该矢量的协变和逆变分量为 两个张量之间点乘运算中的””用””代替，便定义了两张量之间的叉乘运算，类似地尚有双叉积”，其运顺序同点乘的规定。如小结：本次课希望大学理解并掌握曲线坐标系下张量代数的定义及运用。大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；完成课后作业第1-6题学生反馈教学反思授课学时：2学时章节名称第三章曲线坐标系中的一般张量3.6物理分量备注教学目的和要求通过本章学习使学生理解并掌握1.曲线坐标系下张量的物理分量概念；2.曲线坐标系下矢量的物理分量计算22/32重点难点重点曲线坐标系下张量的物理分量概念。难点曲线坐标系下矢量的物理分量计算。教学方法教学手段课前发复习前期第3.5章知识，预习本章内容，复习弹性力学中曲线坐标系下三大方程的表示等内容；课堂讲授法为主，课堂作业和课堂讨论，并有机融入思政元素。以传统的口述多媒体为主，粉笔加黑板的手段为辅。教学对象分析张量分析是力学学科硕士研究生的专业基础课。部分非力学专业毕业的学生力学基础较差，力学学生在大学期已经完成理论力学、流体力学、弹性力学等课程。大部分学生数学功底不强，相关知识不系统不清晰。教学进程设计设计思路通过实例及具体算例使学生理解并逐渐掌握曲线坐标系下物理分量的概念和相关计算。在讲授过程中重温力学中速度、应力等物理量沿坐标轴的分量等知识点，同时对学生进行能力提升和价值塑造，知识传授与思政育人双线并行，达成“双育人”教学目标。教学步骤1前期内容总结前面已经学完了曲线坐标系张量代数的相关内容，有了这些知识，一般情况大家阅读文献就不至于完全看不懂，但要想有所创新，还不够。2导入组织学生回答、讨论大家还记得弹性力学中柱坐标系下应力、应变等二阶张量的分量，与曲线坐标系下张量的协变分量、逆变分量的关系。3本次内容一个矢量利用它的协变或逆变分量可表示为 因一般不是单位矢量，则或不一定具有相同的量纲。如柱坐标系中，协变基矢量和及其模分别为，，，，，，若取矢量是位矢，则其在柱坐标系中三个分量的量纲分别为长度、1和长度。因此，对曲线坐标系有必要决定张量的物理分量。令 它们是基矢量方向的单位矢量，则(3.6.1)可写成其中凡相同两指标下加“-”时，表示对该指标不求和，分别为逆变和协变的物理分量(它们不具有张量特性): (3.6.3)由指标升降可给出 在正交曲线坐标系中 (3.6.4)上面对矢量的物理分量的定义，容易推广到高阶张量的物理分量。如二阶张量的物理分量为 当曲线坐标系正交时，物理分量不再区别逆变和协变，并使用<>来表示，于量有 顺便指出，构成的标架称为非完整系，它不能按式(3.3.5)的方式来得到。为单位正交标架时称为物理标架。例3-4设二维笛卡儿直角坐标系中，平面应力状态下的应力张量分量，，，q、h、I为常数，求该应力张量在平面极坐标系下的协变分量、逆变分量和物理分量。解：略小结：本次课希望大学理解并掌握笛卡儿张量的定义及运用。张量定义中的不变性与力学中各物理量的客观性对应，大家下去以后要多想多练。作业：继续复习前期内容和弹性力学相关知识点；学生反馈曲线坐标系张量的概念及演算要复杂得多。教学反思物理分量的思想较为简单，但让学生较短时间内掌握并应用不容易。授课学时：2学时章节名称第三章曲线坐标系下的一般张量3.7克里斯托夫(Christoffel)符号和张量场的协变导数备注教学目的和要求了通过本章学习使学生理解曲线坐标系下，理解并掌握克里斯托夫(Christoffel)符号和张量场的协变导数。24/