2027届湖南省株洲市荷塘区数学九年级第一学期期末预测试题含解析

2027届湖南省株洲市荷塘区数学九年级第一学期期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）2．如图，抛物线的图像交轴于点和点，交轴负半轴于点，且，下列结论错误的是（）A． B． C． D．3．如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．134．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是边AC上一点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，BD平分∠ABC，以下四个结论①△BQD是等腰三角形；②BQ＝DP；③PA＝QP；④＝（1+）2；其中正确的结论的个数（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列说法错误的是A．必然事件发生的概率为 B．不可能事件发生的概率为C．有机事件发生的概率大于等于、小于等于 D．概率很小的事件不可能发生6．已知⊙O的半径是4，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是()A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定7．由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，从正面看这个几何体得到的平面图形是()A． B． C． D．8．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝1．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，1)，下列结论：①abc＜1；②b2－4ac＝1；③a＜2；④4a－2b＋c＞1．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．410．下列判断错误的是（）A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知函数是反比例函数，则=________．12．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．13．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是________．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=__________．16．分母有理化：＝_____．17．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．18．如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.20．（6分）“校园读诗词诵经典比赛”结束后，评委刘老师将此次所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下图：扇形统计图频数直方图（1）参加本次比赛的选手共有________人，参赛选手比赛成绩的中位数在__________分数段；补全频数直方图.（2）若此次比赛的前五名成绩中有名男生和名女生，如果从他们中任选人作为获奖代表发言，请利用表格或画树状图求恰好选中男女的概率．21．（6分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．22．（8分）如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果两点同时出发，经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位．

23．（8分）某小型工厂9月份生产的、两种产品数量分别为200件和100件，、两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了、两种产品的生产数量和出厂单价，10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍，设产品生产数量的增长率为（），若10月份该工厂的总收入增加了，求的值.24．（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”活动．经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，最终没有学生得分低于25分，也没有学生得满分．根据测试成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）．请结合图标完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生A和男生M的概率．25．（10分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．26．（10分）将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是；（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．【详解】∵抛物线y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴该抛物线的顶点坐标是（2，7），故选：B．本题考查二次函数的顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2、B【分析】A根据对称轴的位置即可判断A正确；图象开口方向，与y轴的交点位置及对称轴位置可得，，即可判断B错误；把点坐标代入抛物线的解析式即可判断C；把B点坐标代入抛物线的解析式即可判断D；【详解】解：观察图象可知对称性，故结论A正确，由图象可知，，，，故结论B错误；抛物线经过，，故结论C正确，，，点坐标为，，，，故结论D正确；故选：B．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．3、A【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】∵，∴．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴．∴1S△AEF=S△ABC．又∵S四边形BCFE=8，∴1（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=1．故选A．4、C【分析】利用平行线的性质角、平分线的定义、相似三角形的判定和性质一一判断即可．【详解】解：∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴△BQD是等腰三角形，故①正确，∵QD＝DF，∴BQ＝PD，故②正确，∵PQ∥AB，∴＝，∵AC与BC不相等，∴BQ与PA不一定相等，故③错误，∵∠PCQ＝90°，QD＝PD，∴CD＝QD＝DP，∵△ABC∽△PQC，∴＝（）2＝（）2＝（1+）2，故④正确，故选：C．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、D【分析】利用概率的意义分别回答即可得到答案．概率的意义：必然事件就是一定发生的事件，概率是1；不可能发生的事件就是一定不发生的事件，概率是0；随机事件是可能发生也可能不发生的事件，概率＞0且＜1；不确定事件就是随机事件．【详解】解：A、必然发生的事件发生的概率为1，正确；

B、不可能发生的事件发生的概率为0，正确；

C、随机事件发生的概率大于0且小于1，正确；

D、概率很小的事件也有可能发生，故错误，

故选D．本题考查了概率的意义及随机事件的知识，解题的关键是了解概率的意义．6、C【分析】根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答．【详解】解：∵⊙O的半径是4，OP=5，5>4即点到圆心的距离大于半径，∴点P在圆外，故答案选C．本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系．7、A【解析】根据题意，由题目的结构特点，依据题目的已知条件，正视图是有两行，第一行两个，第二行三个且右对齐，从而得出答案.即可得到题目的结论.【详解】从正面看到的平面图形是：，故选A.此题主要考查的是简单的组合体的三视图等有关知识，题目比较简单，通过考查，了解学生对简单的组合体的三视图等知识的掌握程度.熟练掌握简单的组合体的三视图是解决本题的关键.8、A【解析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=1，⊙O的半径R=4，∴d>R，∴直线和圆相离．故选：A．本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．9、A【分析】根据抛物线的图像和表达式分析其系数的值，通过特殊点的坐标判断结论是否正确．【详解】∵函数图象开口向上，∴，又∵顶点为(，1)，∴，∴,由抛物线与轴的交点坐标可知：，∴c＞1，∴abc＞1,故①错误；∵抛物线顶点在轴上，∴，即，又，∴，故②错误；∵顶点为(，1)，∴，∵，∴，∵，∴，则，故③错误；由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，∴，∴，故④正确．综上，只有④正确，正确个数为1个．故选：A．本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出之间的关系是解题的关键．10、A【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定逐一进行分析即可．【详解】A.有两组邻边相等的四边形不一定是菱形，故该选项错误；B.有一角为直角的平行四边形是矩形，故该选项正确；C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项正确；D.矩形的对角线互相平分且相等，故该选项正确；故选：A．本题主要考查菱形，矩形，正方形的判定，掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】根据反比例函数的定义可得|m|-2=-1，m+1≠0，求出m的值即可得答案．【详解】∵函数是反比例函数，∴|m|-2=-1，m+1≠0，解得：m=1．故答案为：1考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．12、15【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．又∵∠ECF=90°，∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.13、【分析】由题意根据概率的概念以及求概念公式进行分析即可求解.【详解】解：由题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，共8个，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是．故答案为：．本题考查概率的求法，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.14、【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠F=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：DE=，∵DF=DB=2，∴EF=DF-DE=2-=，故答案为.此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．15、50°．【详解】解：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案为50°．考点：圆内接四边形的性质．16、+．【解析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．【详解】解:==+．故答案为+．本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．17、1【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，设内切圆半径为r，由面积法r=3（步），即直径为1步，

故答案为：1．考点：三角形的内切圆与内心．18、【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．【详解】解：∵与相切于点，与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt△CDF中,由勾股定理得:DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=,则DF=∴的面积为=故答案为．本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.【分析】(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况求点M的坐标；②分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值.【详解】（1）直线与轴交于点，∴，解得c=2∴B（0，2），∵抛物线经过点，∴，∴b=∴抛物线的解析式为；（2）∵轴，M（m，0），∴N()①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN,∠AMP=90°，若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP=90°，分两种情况讨论如下：（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠BNC=∠ABO，∴Rt△NCB∽Rt△BOA∴,即，解得m=0（舍去）或m=∴M（，0）；（II）当∠BNP=90°时，BNMN，∴点N的纵坐标为2，∴解得m=0（舍去）或m=∴M（，0）；综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)，∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时,则有2()=,解得m=3(三点重合,舍去)或m=；当M为线段PN的中点时,则有+()=0,解得m=3(舍去)或m=−1；当N为线段PM的中点时,则有=2(),解得m=3(舍去)或m=；综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或−1或.考点：二次函数综合题.20、（1）50；；补图见解析；（2）.【分析】（1）利用比赛成绩在的人数除以所占的百分比即可求出参加本次比赛的选手的人数，然后利用总人数乘比赛成绩在所占的百分比，即可求出成绩在的人数，从而求出成绩在的人数和成绩在的人数，最后根据中位数的定义即可求出中位数；（2）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可．【详解】解：（1），所以参加本次比赛的选手共有人，频数直方图中“”这两组的人数为人，所以频数直方图中“”这一组的人数为人“”这一组的人数为人中位数是第和第位选手成绩的平均值，即在“”分数段故答案为：；；补全条形统计图如下所示：（2）画树状图为：共有种等可能的结果数，其中恰好选中男女的结果数为，所以恰好选中男女的概率．此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，掌握结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息和利用树状图求概率是解决此题的关键．21、（1）见解析；（2）AC的长为4；（3）AC＝BC+EC，理由见解析【分析】(1)连接OC,由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因为∠DCA=∠B,从而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;(2)由题意证明△ACD∽△ABC,根据对应边成比例列出等式求出AC即可;(3)在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，通过条件证明△AEF≌△BEC,根据性质推出△EFC为等腰直角三角形,即可证明AC、EC、BC的数量关系．【详解】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴，即，∴AC＝4，即AC的长为4；(3)解：AC＝BC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠DAB＝45°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC(SAS)，∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴△EFC为等腰直角三角形．∴CF＝EC，∴AC＝AF+CF＝BC+EC．本题考查圆与三角形的结合,关键在于牢记基础性质,利用三角形的相似对应边以及三角形的全等进行计算．22、2秒，4秒或秒【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可．【详解】解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，1），所以，OA=6，OC=1．设经过x秒钟，则OQ为2x．当时，点P在线段OA上，底OP=，可列方程，解得．当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP=，可列方程，解得，而不合题意舍去．综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为1个平方单位．本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．23、5%【分析】根据题意，列出方程即可求出x的值．【详解】根据题意，得整理，得解这个方程，得，（不合题意，舍去）所以的值是5%．此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．24、（1）16；（2）见解析；（3）图见解析，【解析】（1）利用总数50减去其它项的频数即