【答辩修正版】基于大象种群稳定问题的避孕决策模型

大象种群稳定问题为管理学统计规划的非线性代数建模问题,需建立非线性代数模型。本文讨论的是通过避孕保持大象种群稳定的问题,通过分析处理近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计数据,以解决避孕注射会如何用于控制象的数量未目的,研究建立:蕙。(2)基于种群增长差分方程模型的避孕决策模型:蕙。运用MATLAB软件编程,求解出实际11000左右头大象公园的如下问题:问题1,假定61-70岁大象存活率呈正弦递减,基于随机抽样性质,运用"出入平衡的存活率求解模型"列出求解方程组,解得:年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率为99.43%,推测出当前大象的年龄结构中,21-30岁和41-50岁的大象比例相对比较大。问题2:在问题2的基础上,运用"避孕决策优化模型"列出方程,解得:每年注射避孕药的母象头数为:1494头。问题3:将转运大象转化为存活率问题,通过理论计算或计算机模拟求出新的存活率,再回归到问题二求出此时所需避孕头数。问题4:壮大能力用可生育的象群在整体的比值来衡量。根据种群发展规律,给出了当象群在达到饱和度时采取措施和不采取措施时的壮大能力的模拟图,具体见下文问题5:报告撰写,就存活率、年龄结构、避孕决策做了详细说明,并对应给管理部门列出了可以检验这些数据可信赖程度的方法。问题6:分析了公园转移和不转移大象的两情并况建立了相应的模型,另外,根据一些模型自身存在的缺点,我们给出了相应规模应采用的模型以便减少误差,具体见本本文针对不同情况下的象群建立了相应的避孕模型,并根据模型的优缺点给出了其适用范围。模型按照一般情况考虑,适用范围广。关键词:象群稳定避孕决策Leslie矩阵存活率差分方程一、问题重述大象种群稳定问题2、问题分析陆吉健/1002673895@qqcom、赖兴俊、韩丹林2─2010.08.28记前一年为Y-1,前两年为Y-2.鉴于Y-1、Y-2总的大象运出总数量的相近,对Y-1、Y-2大象各年龄移出的数据进行excel绘图分析:0-'Y-2图1:Y-1、Y-2大象各年龄移出数量分析上图1,做下结论:(1)11岁-60岁大象,移出数量可近似看为随机,给出下假设2;(2)图中20-30岁以及45-50岁出现的反差现象,视为偶然;(3)幼年象与老年象没做迁移;(4)1-10岁大象,移出数量存在人为因素,为不随机。问题背景中"母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕",怀孕几率在靠近12岁时更高,但介于简化问题,提出下假设3:母象可以怀孕的年龄为11岁-60岁。问题背景中"1岁后的存活率对各个年龄段都是相同的,一直到60岁左右",这里为简化问题,提出假设5:1到60岁存活率相同。问题1所要求解的是2岁到60岁的存活率,结合文中提到的"新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁",可知文中提到的岁数是指周岁,故给出如下假设4.所以可视1到2岁为0岁到2岁至60岁存活率的过渡期,但本综上两段,可初步将大象种群分为4个年龄段:0岁,1到10岁,11到60岁,61到70岁。1、大象当下的数量为11000头;2、11岁-60岁大象,移出数量看为随机移出;3、母象可以怀孕的年龄为11岁--60岁;4、文中的岁数均按周岁标注;5、1到60岁存活率相同;6、61-70岁大象存活率呈正弦递减,至70岁的死亡率减为0;7、大象在各年龄段中的分布率不变,即年龄结构不变;四、符号说明N,表示1-10岁young象(青年象)的头数N.表示11-60岁mid-ife象(中年象)的头数N.表示61-70岁old象(老年象)的头数b,表示注射避孕药前(before)的繁殖率五、模型准备(一)预备知识1、Leslie矩阵[u陆吉健/1002673895@qqcom、赖兴俊、韩丹林─4─且至少有一个h>0;2、Leslie矩阵定理10定理1:L矩阵有唯一的正特征根入,且它是单重根的①;对应正特征向量②;L矩阵的其他n-1个特征根都是满足3、Leslie矩阵引理1、2根以及其对应的特征向量满足LX'=AX"，即等价于从而可得引理2:L矩阵唯一的正特征根,可由"-(62-+bs,2-+…b,ss.…s.)=0解得.①N为稳定分布,表示了N所趋向于的稳定值,与初始分布N"无关:②几为固有增长率,A>1时种群数量递增,A<1时种群数量递减:③A=1时种群数量不变,并等价于(其中,2为种群Leslie矩阵唯一的正特征根,N为其对应特征向量。)(2)算法流程图1、求解存活率、避孕决策流程图(无重大灾害,解决问题1到3)伙伙记已有大象雌雄比例q、,记出生大象雌雄比例为q,大象最高年龄为Y,记因偷猎、疾病、灾害等消失死亡的大象数量为N。则流程图如下:模型N,mTG注:问题二的最后,将对流程图中原始量(圆四边形)进行不确定性分析。(2)问题三的计算机模拟流程图陆吉健/1002673895@qqcom、赖兴俊、韩丹林0.148<a(i)0.346o0No0.148<a(i)0.346o0No出大象头数kl=k2=k3=k4=k5=k6=0产生n个0~1随机数记为No告0o0Yesk6=k6+1根据k1…k6求出各年龄数六、模型建立及求解陆吉健/1002673895@qgcom、赖兴俊、韩丹林─7─(一)存活率求解模型及应用问题1:合理存活率数学模型,得到年龄在2岁到60岁之间的大象的存活率,并给出大象各年龄所按照种群单位时间死亡以及运出等其他因素G"出"种群和出生以及其他因素E“入"种群平衡,则和幼年、青年、中年、老年死亡率(1-p.)1-p,)1-p.)1-p.)满足:其全部来源于上一年11~60岁母象生育的头数,再由于一些转移头数,综合分析得:后一年青年的数量N:k为雌雄比例,其来源有前一年年龄段在0~9岁之间的大象头数,再由于10岁大象的成长和一些转移头数,兼顾自然死亡,综合分析得:不变,因此:N.+N,+N.+N.-N在0的周围波动,波动范围记作o,故有:同时根据本问题背景,0岁的幼象存活率70%~80%,1~60岁的大象存活率超过95%,于是得到:在大象种群结构稳定的前提下,我们可以使其波动范围尽可能的小,故确定目标函数为:6=min(6²+6²+6²+6²+6)2、问题1"存活率"的求解根据上述稳定性的模型运用LINGO编程得到一组解,由于其运行时间过长,在此基础上我们对其约束范围进行优化,在保证解的准确性的同时缩短运行时间,具体程序见附录一,得到输出的结果:X22分析运行结果知:0岁的幼象存活率为77.98%,1~60岁的大象存活率为98.90%,这显0总量百分比百分比0头数比例8表1(大象年龄结构)1-0岁410岁陆吉健/1002673895@qgcom、赖兴俊、韩丹林─10─图1(大象年龄结构饼图)3、结果分析(1)由结果可以知道,2-60岁大象的存活率为99.43%,这与题目给出的大于95%是相一致的,所以可以认为结果是合理的;(2)从图1可以看出,各个年龄段的大象所占的比例基本上是一样的,21-30岁和41-50岁的大象比例相对比较大,因为这段大象正处于年龄的黄金时期。由此,可以认为求出的大象年龄也是合理的。(2)避孕决策模型及应用1、基于种群增长差分方程模型的种群避孕决策优化模型的建立(1)种群增长差分方程模型[](2)基于上模型的种群避孕模型九>1,种群数量递增,需要采取注射避孕措施。注射避孕药所要达到种群的繁衍率b,可由(1)种群增长差分方程模型的③计算而得。假设每年要避孕N.只雌性,一次注射可使成熟雌性在m年内不会受孕,即可得每年实际上共有m.N.只雌性处于避孕期。则由避免繁衍率(,-b)计算得到的繁衍避免量(b.-b)-N,g应等于由处于避孕期雌性m.N.计算得到的繁衍避免量m·N.·b.,所以种群避孕决策模型:(其中,b、b分别表示注射避孕药之前以及之后种群成熟雌性的繁衍率,N、N.分别表示种群中成熟雌性的数量和注射避孕药的数量，q表示多胞胎等因素导致的繁衍影响系数，m表示注射避孕药能致使雌性避孕的年数。）。(3)根据模型解决实际问题的步骤①判断是否需要采取避孕措施建立种群Leslie矩阵,应用MATLAB程序计算出唯一正特征根入。根据(1)种群增长差分方程模型的②③判断,种群是否出于递增趋势,是否需要采取避孕措施。②计算b.(注射避孕药所要达到种群的繁衍率)结合实际问题的数据,列出b+bs+…+b,ss.…s=1,求解此式可得b.(注射避孕药所要达到种群的繁衍率).③计算N.(需要注射避孕药成熟雌性个体的数量)结合实际问题的数据,列出:b-b.)-N,q=m:N-b.(种群避孕模型),求解此式2、问题求解问题2;(1)判断是否需要采取避孕措施浙江师范大学数学建模竞赛培训:基于大象种群稳定问题的避孕决策模型1448(种群避孕模型),求解此式可得需要注射避孕药成熟雌性个体的数量N.=1494.所以每年注射避孕药的母象头数为:1494头。3、数据的不确定性对估计的影响根据求解存活率、避孕决策流程图,运用Lingo软件,可得:不确定的数据对估计的影响运出的大象数据实际多1%,最后估计需增加1%;实际少1%,最后估计需减少约1%实际高1%,最后估计需增加约0.5%;实际少1%,最后估计需降低约0.5%,已有雌雄比例(1:1)实际高0.10,最后估计需增加约15%;实际低0.10最后估计需减少约15%出生雌雄比例(1:1)实际无论高还是低0.10,最后估计不受影响大象死亡年龄(70岁)实际多1岁,最后估计将需减少;实际少1岁,最后估计将需增加因偷猎、疾病、灾害等消失死亡的大象数量如果知道大概多少的话,将其加到运出的大象数据那计算,最后估算将不受需减少实际无论高还是低0.05%,最后估算将不受影响难以确定4、分析不确定因素的影响不确定因素影响建议措施与未避孕母象产生竞争求偶的现象,会造成未避孕母象的繁殖率出现下降。量持续使用避孕药繁殖率下降少,直至禁用问题3:考虑到现实情况,所以为了使模型简单化但有不失一般性,只考虑1-60部分大象的转移。大象的转移意味着存活率的下降,将转移问题转化为生存率的改变,使转移模型数字化。针对本题,我们采用两种求解方法计算机模拟和函数理论计算,考虑到计算机随即取数的不严谨性,我们将用函数理论计算的结果加以检验。模型一:通过计算机模拟确定需要进行避孕的母象头数年龄结构图可知他们各自占1-60部分的比例,并据此决定其分配范围。设转运头数为n,随机取n个0-1之间的数。(具体算法见算法流程图)下面以运出100头大象即n=100为例进行计算机模拟。令n=100,进行10次计算机模拟,得到当运出大象头数为100头时,要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数如下(见程序三):第一次模拟:1304(头)第二次模拟:1311(头)第三次模拟:1339(头)第四次模拟:1322(头)第五次模拟:1326(头)第六次模拟:1321(头)第七次模拟:1312(头)第八次模拟:1230(头)第九次模拟:1315(头)100头时,要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数为1320头。同理,可以得到题目中要求的当运出大象50-300头要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数,具体见表2。运出大象数目与应该避孕大象数目的关系运出大象数目与应该避孕大象数目的关系0501o1500n250300350运出的大象数目皿需灏‘斗生椒。0避孕母象头数y关系:y=-0.0037x²-1.3563x+14940陆吉健/1002673895@qgcom、赖兴俊、韩丹林─14─2010.08.28转出的太塞档一致下载高清无水印皿豁麟攀温斗冀警己图4(原始数据关系与拟合关系对比图)i-1,2,…,6.设每年转移的大象为m头,则各年龄段的转移头数为m*w,存活率用s表根据所求出的转移后的务年龄段的率o根据种群的稳定性可以得到一个新的Le:矩阵,根据Leslie矩阵的性质及定理可以得到:通过MATLAB计算,可知当M=100时,b=0.0431再根据方程(1/2)*85%*(N,+N)*(0.1448-0.043)=2n*0.1448,求得当转移头数为100时,需避孕的大象的头数n=1338,可知计算机模拟得到的答案跟理论所求得的值相差的百分比为1.3%,非常的接近。同理,我们还可以求出m=50,60,70,…,300时的分值差的百分比,具体见下表:浙江师范大学数学建模竞赛培训:基于大象种群稳定问题的避孕决策模型移出避孕头数果结果差值比避孕头数果1结果差值比N"=N*s.*(1-g)+N*s,*吼-考虑到因灾难前对大象进行避孕将对最近5年内造成影响,所以我们将逐一求出灾难后5年每年的壮大能力,根据使用避孕药后大象的繁殖率的变化,求得灾难后象群的繁殖能力b为:年份234567繁殖率表3(灾难后的象群繁殖率)根据方程一,二,三就可求出每年的壮大能力F.施,种群的数量将不再随着时间的增加而增加,sum将趋于饱和,此时种群的壮大能力将下当管理人员采取相应的措施(如前几问所提到的避孕措施)后,其壮大能力将趋于稳定,陆吉健/1002673895@qqcom、赖兴俊、韩丹林─17─2010.08.28写给公园管理部门的报告诚然,没有被射杀的和留下的象的数据。但近年来,偷猎已被禁止,同时我们也相信在贵部门的良好管理下,公园里被偷猎大象的数量是很少的,甚至于没有,相对于11000头大象肯定是微乎其微的。600多头的大象移出数据(中少年均有涉及)具有随机性和数量性,以及满足研究的需要。换句话说,贵部门能够留下这两年大象移出各年级的数据,其实是为这份研究做着前期的准备工作，功不可没。下面,我将就存活率、年龄结构、避孕决策做进一步的说明,并给出贵部门可用以检验可信赖程度的方法。首先先给出上求解存活率、避孕决策流程图。记已有大象雌雄比例q、,记出生大象雌雄比例为q.,大象最高年龄为Y,记因偷猎、疾病、灾害等消失死亡的大象数量为N。则流程图如下:存活率求解mm运出的大象数据b,q关于存活率技术报告成果数据之存活率:2--60岁大象的存活率为99.43%.2-60岁大象的存活率为99.43%,这与题目给出的大于95%是相一致的,所以可以认为贵部门也可以简单统计公园内中少年大象的死亡数量,先计算出死亡率,然后换算成存关于年龄结构技术报告成果数据之年龄结构:0头数比例8陆吉健/1002673895@qqcom、赖兴俊、韩丹林─19─1l-20岁L31-40岁51-60岁大象年条结构图Tt4对于中少年大象,是根据600多头的大象移出数据(中少年均有涉及)平移计算出来的,是可以相信的。对于幼年大象,我们是根据中少年大象数量和幼年大象存活率做的逆推,同样具有科学性和可信赖性。对于老年大象,我们将其死亡率大概看做正弦递减,结合中少年大象数量做顺推而得到,也是值得信赖的。从图1可以看出,各个年龄段的大象所占的比例基本上是一样的,21-30岁和41-50岁的大象比例相对比较大,因为这段大象正处于年龄的黄金时期。由此,可以认为求出的大象年龄也是合理的。贵部门,可以通过找出前三年移出公园大象各年龄数量的数据,统计各年龄段的数量,做比对,看是否基本符合,来确定此年龄结构的可信赖程度。关于每年应注射避孕药的数量技术报告成果数据之每年应注射避孕药的数量:每年注射避孕药的母象头数为:1494头。这里可以结合一下信息来阐述可信赖程度:对估计的影响运出的大象数据大象种群的总数量实际多1%,最后估计需增加1%;实际少1%,最实际高1%,最后估计需增加约0.5%;实际少1%,最后估计需降低约0.5%实际高0.10,最后估计需增加约15%;实际低0.10最后估计需减少约15%实际无论高还是低0.10,最后估计不受影响实际多1岁,最后估计将需减少;实际少1岁,因偷猎、疾病、灾害等消失死亡的大象数量如果知道大概多少的话,将其加到运出的大象数据那计算,最后估算将不受需减少实际无论高还是低0.05%,最后估算将不受影响难以确定表1:数据的不确定性对估计的影响将导致的现象将导致的现象建议措施─20─与未避孕母象产生竞争求偶的现象,会造成未避孕母象的繁殖率出现下降。持续使用避孕药象的年龄结构将趋于老龄化,繁殖率下降避孕药的使用量逐年减少,直至禁用表2:不确定因素对估计的影响但贵部门,一直从事着公园大象的管理,对于这些数据的变动应当是更加的清楚,相比,不会有着大的跳跃,若有的话,则是发生了异常现象,贵部门需要对于现象作针对性的措施同时,贵部门也可以将自己讨论决策出来的数据和我们的做一下对比,同时关注一下下一年对应的避孕效果。以上三方面的论述,希望能够消除贵部门对这份技术研究的疑惑,同时也从中找到技术成果的验证方法。问题六:对于该问题分两种情况讨论:不转移和转移。以下对两种情况一一讨论,设公园的雌雄比例为k,各个年龄段在第k时间段的数量N"。情况一:不转移注射计划根据模型,求出相应的各年龄段的存活率pp,p.,p.根据每个年龄段的繁殖率和存活率构造Leslie矩阵L,根据Leslie矩阵的性质及引理得到有关避孕比例的模型:进一步得到:,b.+bs.+…+b,s.s…=1,求出保持种群需要的繁殖率b,从而求出要孕的头数为:该模型各个量都是从一般求得的,所以适合各个规模的公园。情况二:转移避孕计划方法一:计算机模拟法转移模型建立在不转移的基础之上,根据各个年龄段的比例以及转移头数n,采用计算机模拟(具体求法见本题三)的方法,求出各个年龄段的新的存活率,再根据不转移模型求出要避孕的头数方法二:理论计算法将要转移的头数按照各年龄段的比例分配,根据模型求出转移后的新存活率。再利用模型b*s.*s"*(1+s+s++s")=1率b，进而得到避孕的比例Ab=b-b。由k*N*Ab=2*b*n,求出新的繁殖,得到转移头数为:值得注意的是由于计算机模拟的随机性，所以会给计算的结果带来误差且误差会随转移头数的增加而增大。针对此情况,我们建议当转移量大时采用理论计算法,量小时两者均可,对于小规模的两者均可,规模大的最好采用方法二。1、模型的优点(1)在求解第二问的时候,充分利用Leslie矩阵稳定性理论来求解应该注射避孕药的母象头数,这些理论在差分方程中都是经典的理论,经得起许多事实的考验;(2)第三问的求解中运用了计算机模拟方法来模拟移出大象属于哪个年龄段,这样不仅求解方便、简洁,得到的结果与实际也更接近;(3)第三问用计算机模拟得到数据后,又用理论计算、数据拟合去验证,这样使得结果更具有说服力;2、模型缺点(1)问题二、三的求解是在第一问的基础上求出来的,如果第一问求出的误差较大,势必对下面几的求解有很大影响。(2)在进行计算机模拟时,如果最开始的随机数的产生个数只有几十个,这几十个随机数不能很好的反映各个年龄段的大象所占的比重,这样势必会对结果造成一定的误差。【2]赵静。数学建模与数学实验(第2版).[M】.北京:高等教育出版社。2003:65-67【4杜彬。应瑞学。包海。用Leslie矩阵预测驯鹿种群的动态。[M】.内蒙古农业调查设计.2007.12【5]施大钊。高灵旺等。应用Leslie矩阵对布氏田鼠种群数量的模拟分析。[M】.植物保护学报.2004.09程序一:解决年龄在2岁到60岁之间的象的存活率,这个大象群落的当前的年龄结构。x=x(:,2:3);%数据从excel中导入a=(al+al1)/2%1岁-10岁的大象占1岁-60岁的大象比例:b=(1-a)/2%11岁--60岁能生小象的母象占1岁-60岁的大象比例eval(pl)%1-60岁大象的成活率eval(x1)%1-60岁大象的数量陆吉健/1002673895@qqcom、赖兴俊、韩丹林-23-2010.08.28title('大象年龄结构图');legend('0岁','1-10岁','11-20岁','21-30岁,'31-40岁','41-50岁','51-60岁','61-70岁')程序二:每年要注射避孕药的母象数目endfor