2026-2027学年山东省泰安市新泰中学高二（上）第一次诊断测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省泰安市新泰中学高二（上）第一次诊断测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−3y+5=0的倾斜角是A.60° B.120° C.30° D.150°2.若经过A(1,−2)，B(−m,6)两点的直线的方向向量为(1,4)，则实数m=(

)A.5 B.−5 C.−3 D.−173.在四面体O−ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，点M为AB的中点，A.−12a−12b+24.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CA.55 B.255 5.过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(

)A.x−y+3=0 B.x+y−5=0

C.4x−y=0或x+y−5=0 D.4x−y=0或x−y+3=06.设点A(4,−3)，B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(

)A.k≥1或k≤−4 B.k≥1或k≤−43 C.−4≤k≤1 7.我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0(x0,y0,z0)，向量u=(a,b,c)(abc≠0)，为平面α的一个法向量，P(x,y,z)是平面α内的任意一点，则平面α的方程为a(x−A.1414 B.147 C.8.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，D1D=3，M，N分别是B1C1A.304

B.2305

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1,−2,−3)

B.在空间直角坐标系中，n=(1,0,0)是坐标平面Oxy的一个法向量

C.已知{a,b,c}是空间的一组基底，则{a,b10.已知直线l1：x+ay−a=0和直线l2：ax−(2a−3)y−1=0，下列说法正确的是(

)A.l2始终过定点(23,13) B.若l1//l2，则a=−3

C.11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BP=λA.若λ+μ=1，则AP//面A1C1D

B.若λ+μ=1，则AP⊥BC1

C.若λ=μ=12，则P到平面A1BD的距离为33

D.若λ=1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A12.经过点(1,1)且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程

．13.如图，二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，则CD的长等于

．14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=4，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，CT//平面AEF，则点T的轨迹的长度为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间中三点A(−1,1,1)，B(0,2,1)，C(−2,1,3)．

(1)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；

(2)求△ABC的面积．16.(本小题15分)

在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点．

(1)用向量17.(本小题15分)

已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是等腰三角形，PA=PB，E是AB的中点．

(Ⅰ)求证：PE⊥CD；

(Ⅱ)若底面ABCD是梯形，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，PA=5，求二面角P−CD−A的余弦值；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，线段AP上是否存在点Q，使得BQ//平面PCD？若存在，求出AQ19.(本小题17分)

如图1，在五边形ABCDE中，AB=BD，AD⊥DC，EA=ED且EA⊥ED，将△AED沿AD折成图2，使得EB=AB，F为AE的中点．

(1)证明：BF//平面ECD；

(2)若EB与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A−EB−D的正弦值．

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】AB

11.【答案】AD

12.【答案】y=x或x+2y−3=0或x−2y+1=0

13.【答案】4

14.【答案】215.【答案】解：(1)空间中三点A(−1,1,1)，B(0,2,1)，C(−2,1,3)．

四边形ABCD是平行四边形，设D(x,y,z)，

则AB=DC，

由A(−1,1,1)，B(0,2,1)，C(−2,1,3)，

得AB=(1,1,0)，DC=(−2−x,1−y,3−z)，

∴−2−x=11−y=13−z=0⇒x=−3y=0z=3，∴顶点D的坐标为D(−3,0,3)．

(2)∵A(−1,1,1)，B(0,2,1)，C(−2,1,3)，

∴CA=(1,0,−2)，CB=(2,1,−2)，

∴|CA|=1216.【答案】解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，

AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点，

∴由空间向量线性运算法则得：

AE=AA1+12A1C1=AA1+12AC=AA1+117.【答案】(1)证明：由kx−y+1+2k=0，得k(x+2)+(−y+1)=0，

联立x+2=0−y+1=0，解得x=−2y=1，

∴直线l：kx−y+1+2k=0过定点(−2,1)；

(2)解：由kx−y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，

要使直线不经过第四象限，则k≥01+2k≥0，解得k≥0．

∴k的取值范围是[0,+∞)；

(3)解：如图，由题意可知，k>0，

在kx−y+1+2k=0中，取y=0，得x=−1+2kk，取x=0，得y=1+2k，

∴S△AOB=12×|OA|×|OB|=12×1+2kk×(1+2k)

=4k218.【答案】(Ⅰ)证明：因为△PAB是等腰三角形，PA=PB，E是AB的中点，所以PE⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，

所以PE⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，

所以PE⊥CD.

(Ⅱ)32929

(Ⅲ)在线段PA上不存在点Q，使得BQ//平面PCD，理由如下：假设存在点Q，使得BQ//平面PCD，设PQ=λPA=λ(0,−1,−2)=(0,−λ,−2λ)，(0≤λ≤1)，

所以BQ=BP+PQ=(0,−1,2)+(0,−λ,−2λ)=(0,−λ−1,2−2λ)，

由(Ⅱ)可知，平面PDC的一个法向量为n=(4,−2,3)，

则BQ19.【答案】解：(1)证明：取AD的中点G，连接BG，FG，

∵AB=BD，G为AD的中点，∴BG⊥AD，

又AD⊥DC，∴BG/​/CD．

又BG⊄平面ECD，CD⊂平面ECD，∴BG/​/平面ECD．

∵F为AE的中点，∴FG//ED．

又FG⊄平面ECD，ED⊂平面ECD，∴FG/​/平面ECD，

又BG∩FG=G，∴平面BFG//平面ECD，

又BF⊂平面BFG，∴BF/​/平面ECD．

(2)∵EA⊥ED，由(1)知FG/​/ED，∴FG⊥AE，

又EB=AB，∴BF⊥AE，

又BF∩FG=F，∴AE⊥平面BFG，

又BG⊂平面BFG，∴BG⊥AE，

又BG⊥AD，AD∩AE=A，∴BG⊥平面EAD，

又BG⊂平面ABCD，∴平面EAD⊥平面ABCD，

连接EG，∵EA=ED，∴EG⊥AD，

∴EG⊥平面ABCD，∴EG⊥BG，

以G为坐标原点，GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，