高三数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第7讲函数的单调性与最值课件

第7讲函数的单调性与最值第二章函数与基本初等函数课程标准1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.教材梳理夯实基础1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.

单调递增单调递减2.函数的最大(小)值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有__________；(2)∃x0∈D，使得___________(1)∀x∈D，都有__________；(2)∃x0∈D，使得___________结论M为f(x)的最大值M为f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M常用结论

自测诊断

√√√

√√

3

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(－∞，－2]考点探究

能力提升考点一函数的单调性

多维探究由x2－2x－8＞0，得f(x)的定义域是{x｜x＞4，或x＜－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln

t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内).因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间是(4，＋∞).故选D.√角度1

求函数的单调区间(自主练透)1.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)因为3－2x－x2＞0，所以－3＜x＜1.由二次函数图象结合复合函数的单调性，可知f(x)的单调递减区间是(－3，－1]，单调递增区间是[－1，1).

(－3，－1][－1，1)

3.函数y＝｜－x2＋2x＋1｜的增区间是____________________________.

典例1

规律方法

√√

对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.求证：(1)f(0)＝1；证明：根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n).因为f(n)≠0，所以f(0)＝1.(2)x∈R时，恒有f(x)＞0；

(3)f(x)在R上是减函数.证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))，所以f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1].由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1，故f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在R上是减函数.考点二函数的最值

师生共研

典例28＋＋法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.

1

求函数最值的三种常用方法注意：对于较复杂的函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.规律方法

1

考点三函数单调性的应用

多维探究

典例3√典例4角度2

利用单调性解函数不等式(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是_______________________.

(2)(双空题)函数y＝f(x)满足f(t＋1)＜f(2t)，若函数f(x)是定义在R上的减函数，则实数t的取值范围是___________；若函数f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，则实数t的取值范围是___________.

(－∞，1)[－1，1)

角度3

利用单调性求参数的取值范围(高考超重点)(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2，0)C.(0，2] D.[2，＋∞)典例5√

√溯源教材3溯源透视高考题与教材习题“考点同源、逻辑同构、形式呼应”，都是以分段函数为载体考查单调性的应用，共同强化对“分段函数单调条件”的掌握.高考题可视为教材习题的深化(函数复杂化)，印证了“同一主题跨模块联系”的重要性预测√

1.比较函数值的大小：先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.解与抽象函数有关的不等式：由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，需要注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围)：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，既要保证每一段函数的单调性，还要注意衔接点的取值.规律方法函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数，所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数，所以f(｜x｜)＜f(－3x2＋4)⇔｜x｜＜－3x2＋4，即3｜x｜2＋｜x｜－4＜0，(｜x｜－1)(3｜x｜＋4)＜0，得0≤｜x｜＜1，解得－1＜x＜1，所以实数x的取值范围是(－1，1).故选C.对点练4.已知函数f(x)＝ex－e－x，则使f(｜x｜)＜f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是A.(－1，0) B.(－1，＋∞)C.(－1，1) D.(1，＋∞)√

函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.故选D.√由分段函数解析式知，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1，1]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈(1，3].

教师备选(1，3]

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√√教师备选

7.(双空题)函数y＝－x2＋2｜x｜＋1的单调递增区间是_________________________，单调递减区间是_____________________.

(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)

(2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.

√

√√√

因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2＞0，所以(x1＋x2)x1x2－a＞0，即a＜(x1＋x2)x1x2恒成立.因为x1＞x2＞1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1，所以(x1＋x2)x