3.2.1.2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.2.1.2配方法（二次项系数为1）##✅知识点###1.配方法定义把一元二次方程，通过变形，把左边配成一个**完全平方式**，右边是常数，再用直接开平方法求解，这个方法叫配方法。>本节只学：$\boldsymbol{x^2+px+q=0}$（二次项系数$\(a=1\)$）###2.核心配方口诀（必考）**二次项系数化为1（本题已经是1，省略），移常数到右边\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)配方两边同加一次项系数一半的平方。**完全平方公式：$$x^2+px+\boldsymbol{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2$$###3.解题步骤（$x^2+px+q=0$）1.**移项**：把常数项移到等号右边$\boldsymbol{x^2+px=-q}$2.**配方**：两边同时加上$\boldsymbol{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}$（一次项系数一半的平方）3.**写成完全平方**：$\boldsymbol{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=-q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}$4.**开平方**：右边≥0才有实数根，$x+\dfracp2=\pm\sqrt{\text{常数}}$5.**解一次方程**，写出两个根>⚠️关键点：**两边同时加！不能只加左边！**---##专项练习###一、选择题1.将$x^2\(+4\)x=5$配方，两边应加上（）A.$2$B.$4$C.$8$D.$16$2.把方程$x^2-6x-5=0$化成$(x+m)^2=n$形式，则$\(m,n\)$的值是（）A.$\(m=3,n=5\)$B.$m=-3,n=5$C.$m=-3,n=14$D.$\(m=3,n=14\)$3.$x^2-8x+\underline{\quad}=(x-\underline{\quad})^2$，横线依次填（）A.$\(16,4\)$B.$-\(16,4\)$C.$16,-4$D.$\(8,4\)$4.方程$x^2+2x+5=0$配方后右边是负数，则方程（）A.两个不等实根B.两个相等实根C.无实数根D.一个实根###二、填空题5.$x^2\(+1\)0x+\underline{\quad\quad}=(x+\underline{\quad\quad})^2$6.方程$x^2-4x=1$配方得：$\boldsymbol{(x-\underline{\quad})^2=}$________7.$x^2+3x-1=0$，移项：$x^2+3x=1$，两边加________。###三、基础解答题：用配方法解方程8.$x^2+2x-3=0$9.$x^2-4x-5=0$10.$x^2-6x+8=0$###四、中档解答题11.$x^2+5x-6=0$12.$x^2-3x-4=0$13.$x^2\(+4\)x+5=0$###五、拓展题14.求证：代数式$x^2-2x+3$的值恒大于0。---#参考答案与解析###选择题1.**B**解析：一次项系数$4$，一半是$2$，平方$2^2=4$，两边同加4。2.**C**解：$x^2-6x=5$，两边加$9$，$x^2-6x\(+9\)=14$，$(x-3)^2=14$，$m=-3,n=14$3.**A**$x^2-8x\(+1\)6=(x-4)^2$4.**C**右边负数，平方不可能负数，无实数根。###填空题5.$\boldsymbol{25\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)5}$（$10\div2=5,5^2=25$）6.$\boldsymbol{2\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)5}$，$x^2-4x\(+4\)=1\(+4\)\Rightarrow(x-2)^2=5$7.$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$一次项系数3，一半$\dfrac32$，平方$\dfrac94$###解答题8.$x^2+2x-3=0$移项：$x^2+2x=3$配方：两边$\(+1\)$$x^2+2x\(+1\)=3\(+1\)$$(x\(+1\))^2=4$开方：$x\(+1\)=\pm2$$x_1=1,\x_2=-3$9.$x^2-4x-5=0$移项：$x^2-4x=5$配方：两边$\(+4\)$$(x-2)^2=9$$x-2=\pm3$$x_1=5,\x_2=-1$10.$x^2-6x+8=0$移项：$x^2-6x=-8$配方：两边$\(+9\)$$(x-3)^2=1$$x-3=\pm1$$x_1=4,\x_2=2$11.$x^2+5x-6=0$移项：$x^2+5x=6$配方：两边$+\dfrac{25}{4}$$\left(x+\dfrac52\right)^2=6+\dfrac{25}{4}=\dfrac{49}{4}$$x+\dfrac52=\pm\dfrac72$$x_1=1,\x_2=-6$12.$x^2-3x-4=0$移项：$x^2-3x=4$配方：两边$+\dfrac94$$\left(x-\dfrac32\right)^2=4+\dfrac94=\dfrac{25}{4}$$x-\dfrac32=\pm\dfrac52$$x_1=4,\x_2=-1$13.$x^2\(+4\)x+5=0$移项：$x^2\(+4\)x=-5$配方：两边$\(+4\)$$(x+2)^2=-1$$\because-1<0$$\therefore$方程无实数根。14.证明：$x^2-2x+3=(x^2-2x)+3$配方：$=(x^2-2x\(+1\))-1+3=(x-1)^2+2$$\because(x-1)^2\ge0,\therefore(x-1)^2+2\ge2>0$$\thereforex^2-2x+3$的值恒大于0。##📌考试易错点1.配方时**等式两边同时加**一次项系数一半的平方，只加左边直接丢分\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)2.一次项系数是负数时，括号里符号注意，如$x^2-6x$配方是$(x-3)^2$\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)3.一次项系数是奇数，会出现分数，不要算错\(\boldsymbol{25\(\boldsymbol{2；5}\)5}\)4.配方后右边负数：直接写**无实数根**。>答题模板：移项，配方，写成完全平方式，开平方求解。下一节：**配方法（二次项系数不为1）**，要不要继续，或者给你一份不带答案的练习卷？湘教版（新教材）数学九年级上册3.2.1.2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程授课教师：.

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级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程123理解配方法的基本原理，知道“配方”的含义（重点）掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤（重点）体会“转化”的数学思想——将一元二次方程转化为可直接开平方的形式导入新课我们已经学过哪种解一元二次方程的方法？直接开平方法什么样的方程适用此法？方程能化为“完全平方式=非负数”的形式左边是含未知数的平方项，右边是大于或等于0的常数。你还记得完全平方式吗？导入新课x2+2xy+y2=(x+y)2完全平方式：

1、必须是三项式（三项）；2、两项都能写成平方的形式（两个平方），符号相同3、两底数乘积积的2倍放中间，符号既可以为正也可以为负。.

完全平方式在结构上有什么特点？探究新知探究一：配方法

探究新知探究一：配方法

探究新知探究一：配方法

探究新知归纳总结：

配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.知识点1

二次三项式的配方

C

返回2.

填空：

255

返回知识点2

用配方法解二次项系数为

1的一元二次方程

C

D

返回探究新知方法总结：1.核心依据:完全平方公式的逆用，构造完全平方式。2.配方操作:方程两边同时加上一次项系数一半的平方。3.配方法定义:通过配方将一元二次方程转化为可直接开平方的形式求解。4.关键原则:等式两边同加同减，保证恒等变形。探究新知探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

探究新知探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

探究新知方法总结：1.标准步骤:移项→配方→开方→求解。2.易错提醒:开方必须写±，不漏负根；配方时左右两边同时加常数。3.思想方法:降次思想、化归思想，将二次方程转化为一元一次方程。基础巩固题新知应用1.填空：

(1)x2+4x+1=x2+4x+

-

+1=(x+

)2-

；

(2)x2-8x-9=x2-8x+

-

-

9=(x-

)2-

；

(3)x2+3x-4=x2+3x+

-

-4=(x+

)2-

.44231616425

配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数基础巩固题新知应用2.将一元二次方程

x2-

8x-

5=0化成(x+a)2=b的形式，则

b等于()A.-13B.13C.-21D.21D

B

配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数基础巩固题新知应用4.用配方法解下列方程：(1)x²+4x+3=0;(2)x²+8x-9=0;(3)x²+8x=2；(4)x²-5x=6.解:(1)配方，得x2+4x

＋22-22+3=0,因此 (x＋2)2=1.由此得

x+2=1或x＋2=-1.解得

x1=-1，x2=-3.解:(2)配方，得x2+8x

＋42-42-9=0,因此 (x＋4)2=25.由此得

x+4=5或x＋4=-5.解得

x1=1，x2=-9.配方：加上一次项系数一半的平方，再减去这个数基础巩固题新知应用4.用配方法解下列方程：(1)x²+4x+3=0;(2)x²+8x-9=0;(3)x²+8x=2；(4)x²-5x=6.解：(3)配方，得x²+8x+4²-4²=2.因此由此得(x+4)²=18.

解得(4)配方，得由此得

x1=6，x2=-1.解得因此

5.

用配方法解