2.4.1仰角与俯角问题 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册2.4.1仰角与俯角问题专项练习##知识点回顾-**仰角**：从低处观测高处目标，视线与**水平线**的锐角（视线在水平线上方）。-**俯角**：从高处观测低处目标，视线与**水平线**的锐角（视线在水平线下方）。>解题核心：**作水平线、垂线构造直角三角形**；俯角可以通过内错角转化为下方直角三角形的锐角，多用$\tan\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。>常用参考数据：$\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\tan45^\circ=1,\tan60^\circ=\sqrt{3}$；$\tan37^\circ\approx0.75,\tan53^\circ\approx\dfrac{4}{3}$---##一、基础选择题1.直升机从地面A垂直上升800米到C，在C处看地面B点的俯角为$30^\circ$，则A、B水平距离为（）A.$400\mathrm{m}$B.$\dfrac{800\sqrt{3}}{3}\mathrm{m}$C.$1600\mathrm{m}$D.$800\sqrt{3}\mathrm{m}$2.在距离铁塔底部水平150m的A点，测倾仪高$1.5\mathrm{m}$，测得塔顶仰角为$\alpha$，则铁塔总高为（）A.$(1.5+150\tan\alpha)\mathrm{m}$B.$\left(1.5+\dfrac{150}{\tan\alpha}\right)\mathrm{m}$C.$(1.5+150\sin\alpha)\mathrm{m}$D.$\left(1.5+\dfrac{150}{\sin\alpha}\right)\mathrm{m}$3.从楼顶A测得地面B点俯角$40^\circ$，下列说法正确的是（）A.$\angleA=40^\circ$B.视线AB与水平线夹角为$40^\circ$C.视线AB与铅垂线夹角$40^\circ$D.$\angleB=40^\circ$4.测教学楼高度，测角仪CD距教学楼水平距离18m，测角仪高\(1.5\mathrm{m}\)，测得楼顶仰角$30^\circ$，教学楼高是（）A.$1.5+6\sqrt{3}$B.$1.5+18\sqrt{3}$C.$1.5+\dfrac{18}{\sqrt{3}}$D.$1.5+18\tan30^\circ$##二、填空题5.山顶上观测地面一点，俯角$30^\circ$，山高$100\mathrm{m}$，则观测点到目标点的水平距离为________m。6.小明站在地面看旗杆顶端仰角$45^\circ$，小明眼睛离地面高1.6m，小明离旗杆底部水平距离12m，则旗杆高度为________m。7.无人机在高度90m处，看地面标志物俯角$60^\circ$，无人机与标志物水平距离为________m。##三、解答题（基础）8.如图，离大树底部水平距离20m处，用测角仪测得树顶仰角为$30^\circ$，测角仪高1.2m，求大树高度。（保留根号）9.一架飞机在距离地面高度1500m的A处，观测地面控制点B的俯角为$45^\circ$，求飞机A到B的直线距离。##四、解答题（中档，双直角三角形，考试高频）10.如图，两座建筑物AB、CD水平距离$BD=60\mathrm{m}$，从A点测得C点俯角$30^\circ$，测得D点俯角$45^\circ$，求两座建筑物高度AB、CD。（保留根号）11.数学小组测量山高，在山脚C测得山顶A仰角为$45^\circ$；沿水平地面向山前进\(100\mathrm{m}\)到D点，测得山顶A仰角为$60^\circ$，求山高AB。（保留根号）##五、拔高题（中考真题风格）12.无人机在C点距离地面102m，测得楼顶A俯角$45^\circ$，楼底B俯角$63^\circ$，$\tan63^\circ\approx2$，求楼房AB高度。---#参考答案与解析###一、选择题1.**D**解析：俯角$30^\circ$，内错角相等，$\angleB=30^\circ$，$\(AC=800\)$，$\tan30^\circ=\dfrac{AC}{AB}$，$AB=\dfrac{800}{\tan30^\circ}=800\sqrt{3}$。2.**A**解析：测倾仪上方直角三角形，水平邻边150，对边$150\tan\alpha$，再加仪器高度。3.**B**解析：俯角定义：视线与水平线下方夹角。4.**A**解析：$h=1.5+18\tan30^\circ=1.5+18\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1.5+6\sqrt{3}$###二、填空题5.$100\sqrt{3}$解析：$\tan30^\circ=\dfrac{100}{x}\Rightarrowx=\dfrac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=100\sqrt{3}$6.$\(13.6\)$解析：仰角$45^\circ$直角三角形等腰，上方高度12m，总高$12+1.6=\(13.6\)$7.$30\sqrt{3}$解析：$\tan60^\circ=\dfrac{90}{x},x=\dfrac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3}$###三、基础解答题8.解：设树在测角仪上方高度为$h$，$\tan30^\circ=\dfrac{h}{20}\Rightarrowh=20\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$树总高：$\boldsymbol{\left(1.2+\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\right)}$米9.解：俯角$45^\circ$，直角三角形中，对边1500，$\sin45^\circ=\dfrac{1500}{AB}$$AB=\dfrac{1500}{\sin45^\circ}=1500\sqrt{2}\\mathrm{m}$答：飞机到B直线距离$1500\sqrt{2}$米。###四、中档解答题10.解：过C作$CE\perpAB$于E，$\(CE=BD=60\)$由D点俯角$45^\circ$：$\angleADB=45^\circ$，$\triangleABD$等腰直角三角形，$\boldsymbol{AB=BD=60\mathrm{m}}$。$\angleACE=30^\circ$，$\tan30^\circ=\dfrac{AE}{CE}$$AE=60\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}$$CD=BE=AB-AE=\boldsymbol{60-20\sqrt{3}}\\mathrm{m}$答：$AB=60\mathrm{m}$，$CD=(60-20\sqrt{3})\mathrm{m}$11.解：设山高$\(AB=x\)$$\angleACB=45^\circ\RightarrowBC=\(AB=x\)$，$BD=x-100$$\tan60^\circ=\dfrac{AB}{BD}\Rightarrow\sqrt{3}=\dfrac{x}{x-100}$$\sqrt{3}(x-100)=x,\sqrt{3}x-100\sqrt{3}=x$$x(\sqrt{3}-1)=100\sqrt{3}$$x=\dfrac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=50\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=\boldsymbol{150+50\sqrt{3}}$米。###五、拔高题12解：过A作$AH\perp$无人机竖直线，垂足H。$\(CH=102\)$，$\angleHCA=45^\circ$，$\triangleAHC$等腰直角，$AH=\(CH=102\)$。在$Rt\triangleCHB$中，$\angleHCB=63^\circ$，$\tan63^\circ=\dfrac{HB}{AH}$$HB=AH\cdot\tan63^\circ\approx102\times2=204$楼房高度$AB=HB-HC=204-102=\boldsymbol{102m}$---##✅解题注意点（考试容易丢分）1.**俯角一定要用内错角转换**，不要直接当成直角三角形内角；2.测角仪、人眼高度**千万不要忘记加上**；3.双直角三角形题型，优先设未知数，用两个三角函数列方程；4.结果有要求时：保留根号，或按参考数据取近似值。要不要我单独出一份**不带答案版本**，方便你打印自测？湘教版（新教材）数学九年级上册2.4.1仰角与俯角问题授课教师：.

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9年级（

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2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第2章锐角的正弦、余弦、正切12了解仰角、俯角的概念，能正确识别图形中的仰角和俯角。能运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题（重点）导入新课ABCabc1、直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股定理)2、直角三角形的锐角之间有什么关系？∠A+∠B=90°3、直角三角形的边和锐角之间有什么关系？知二推一

直角三角形中除了直角其它5个元素有什么关系呢？----在日常生活中，我们经常运用这些知识解决直角三角形有关的实际问题，今天我们来学习它。

（3）要用数学方法解决这个问题，我们需要知道哪些数据？从实际问题到数学问题如图2.4-2，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.用仪器先测量出点A的海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出A，B两点的水平距离AC.从实际问题到数学问题仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角。视线在水平线上方的角是仰角。解直角三角形求解实际问题【做一做】如图2.4-2，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°，求A，B两点的水平距离AC（tan40°≈0.8391，结果精确到1m）解直角三角形求解实际问题

解直角三角形求解实际问题什么要用正切而不是正弦或余弦？在这个问题中，已知的是什么？所求的是什么？知识点1

仰角的应用（第1题）

A

返回（第2题）

问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.（第2题）返回

完整示范——测量东方明珠塔高度

基础巩固题新知应用1．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米

B．800tanα米

C．

米

D．

米Dα800?基础巩固题新知应用2.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为

米．（用含α的三角函数表示）（1.5+15tanα）15mAC=?

基础巩固题新知应用

A基础巩固题新知应用4.如图，一艘游船在离开码头A后，以与和河岸成30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC.解：从点B作河岸线(看成直线段)的垂