21.2.3 公式法解一元二次方程 课件 -2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

#华东师大版九年级上册数学21.2.3《公式法》专项练习（全文1444字）##一、知识点梳理公式法是由配方法推导得到的解一元二次方程通用方法\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)适用于任意一元二次方程。一元二次方程一般形式$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)当判别式$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac\ge0}$时\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)方程的实数根为求根公式：$\boldsymbol{\(x=\)\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$。$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$叫做根的判别式\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)用来判断一元二次方程实数根的情况：1.$\Delta>0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)方程有**两个不相等的实数根**；2.$\Delta=0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)方程有**两个相等的实数根**；3.$\Delta<0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)方程**没有实数根**。公式法解方程步骤：1.化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$；2.确定$a、b、c$的值\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)注意带上前面正负符号；3.计算判别式$\Delta=b^2-4ac$；4.若$\Delta\ge0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)代入求根公式计算两根；若$\Delta<0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)直接写无实数根。本节高频易错点：①没有先化成一般形式\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)直接取$\(a,b,c\)$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)符号出错；②$b$为负数时\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)公式中$-b$计算失误；③计算判别式时\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$b^2$容易写成负的；④忽略$a≠0$；⑤$\Delta<0$仍然代入公式强行求根；⑥根号化简、分母约分计算出错；⑦分不清判别式三种情况对应的根的描述\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)答题表述不规范。##二、基础选择题1.一元二次方程$2x^2-3x+1=0$中\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$a、b、c$的值分别是（）A.$2,-3,1$B.$\(2,3,1\)$C.$2,-3,-1$D.$2,3,-1$2.一元二次方程$x^2-4x+4=0$的判别式$\Delta$的值为（）A.$16$B.$8$C.$0$D.$-16$3.方程$x^2-2x-5=0$的根是（）A.$\(x=\)1\pm\sqrt6$B.$\(x=\)-1\pm\sqrt6$C.$\(x=\)1\pm\sqrt5$D.$\(x=\)-1\pm\sqrt5$4.下列方程没有实数根的是（）A.$x^2-2\(x=\)0$B.$x^2-2x-1=0$C.$x^2-2x+2=0$D.$x^2-2x+1=0$5.关于$x$的方程$x^2-2x+m=0$有两个不相等实数根\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)则$m$取值范围是（）A.$\(m>1\)$B.$\(m<1\)$C.$m\ge1$D.$m\le1$##三、填空题1.方程$x^2-5x+2=0$的判别式$\Delta=$________。2.一元二次方程$3x^2+2x-1=0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)代入求根公式\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\(x=\)$________________。3.若方程$x^2-6x+\(k=\)0$有两个相等实数根\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)则$\(k=\)$________。4.方程$x^2+x-1=0$的根为________________。5.方程$2x^2=3x-1$化为一般形式为________________。##四、解答题1.用公式法解下列方程：（1）$x^2-2x-8=0$；（2）$2x^2-7x+3=0$2.用公式法解方程：（1）$x^2-4x+2=0$；（2）$3x^2-6x+2=0$3.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2mx+m-2=0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)求证：无论$m$取何实数\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)方程总有两个不相等实数根。4.拓展探究：已知一元二次方程$x^2+(k-2)x-2\(k=\)0$的一个根是$\(x=\)1$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)求$k$的值与方程另一个根。##五、参考答案与解析###选择题1.A。解析：$a=2\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)b=-3\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)c=1$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)系数要带上符号。2.C。解析：$\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0$。3.A。解析：$\Delta=4+20=24$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\(x=\)\dfrac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt6$。4.C。解析：C中$\Delta=4-8=-4<0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)无实数根。5.B。解析：$\Delta=4-4m>0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)解得$\(m<1\)$。###填空题1.$17$；解析：$\Delta=25-8=17$。2.$\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{6}$；解析：$a=3,b=2,c=-1$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\Delta=4+12=16$。3.$9$；解析：$\Delta=36-4\(k=\)0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\(k=\)9$。4.$x_1=\dfrac{-1+\sqrt5}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$5.$2x^2-3x+1=0$###解答题1.（1）$a=1,b=-2,c=-8$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0$$\(x=\)\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{2\pm6}{2}$$x_1=4\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)x_2=-2$（2）$a=2,b=-7,c=3$$\Delta=49-24=25>0$$\(x=\)\dfrac{7\pm5}{4}$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$x_1=3\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)x_2=\dfrac12$2.（1）$a=1,b=-4,c=2$$\Delta=16-8=8$$\(x=\)\dfrac{4\pm\sqrt8}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt2}{2}=2\pm\sqrt2$$x_1=2+\sqrt2\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)x_2=2-\sqrt2$（2）$a=3,b=-6,c=2$$\Delta=36-24=12$$\(x=\)\dfrac{6\pm\sqrt{12}}{6}=\dfrac{6\pm2\sqrt3}{6}=\dfrac{3\pm\sqrt3}{3}$$x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}$3.证明：$a=1,b=-2m,c=m-2$$\Delta=(-2m)^2-4\times1\times(m-2)=4m^2-4m+8$$=4(m^2-m)+8=4\left(m-\dfrac12\right)^2+7$$\because\left(m-\dfrac12\right)^2\ge0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\therefore4\left(m-\dfrac12\right)^2+7\ge7>0$$\therefore$无论$m$取何实数\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\Delta>0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)方程总有两个不相等实数根。4.解：把$\(x=\)1$代入方程：$1+(k-2)-2\(k=\)0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)解得$\(k=\)-1$。方程为$x^2-3x+2=0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$a=1,b=-3,c=2$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\Delta=9-8=1$$\(x=\)\dfrac{3\pm1}{2}$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$x_1=1\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)x_2=2$。另一个根为$\(x=\)2$。##六、易错总结公式法解题\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)**第一步必须化成一般形式\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)确定$a、b、c$时一定要带上正负号**\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)这是最常见失分点。很多同学忽略负号\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)代入判别式直接算错。求根公式里是$-b$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)当$b$本身是负数\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$-b$就变成正数\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)极易在这里计算出错。判别式$\Delta=b^2-4ac$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$b$平方结果永远是非负数\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)不要把$b^2$算成负数。做题先算判别式\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)$\Delta<0$直接判定无实数根\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)不要再代入求根公式。题目要求判断根的情况\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)答题文字描述要规范：两个不等实根、两个相等实根、无实数根\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)不能简写。含参数的一元二次方程\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)一定要注意隐藏条件$a≠0$\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)只有确认是一元二次方程\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)才能使用判别式。求出根之后\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)根式需要化简\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)结果能约分的要约分\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)化为最简形式。公式法是万能解法\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)任何一元二次方程都可以用\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)但计算量大\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)计算时细心\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)防止符号、算术计算错误。前面学的直接开平方法、因式分解法适合特殊结构方程\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)公式法适合复杂方程\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)做题可以灵活选择合适方法。判别式题型是考试高频考点\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)常结合参数取值范围、证明根的情况出题\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)要熟练掌握配方判断$\Delta$正负的技巧。（全文1444字）下一节：**21.2.4因式分解法**\(x_1=4\(x_1=3\(x_1=2+\sqrt2\(x_1=\dfrac{3+\sqrt3}{3}\(x_1=1，x_2=2\)x_2=\dfrac{3-\sqrt3}{3}\)x_2=2-\sqrt2\)x_2=\dfrac12\)x_2=-2\)继续同格式1444字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学九年级上册21.2.3公式法解一元二次方程授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第21章一元二次方程123了解求根公式的推导过程，了解从具体到抽象，从特殊到一般的认识规律；熟练应用公式法解一元二次方程.能根据一元二次方程的特点，灵活选用方法进行求解。配方法的概念及解一元二次方程的步骤：将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.1.

化1：把二次项系数化为

1；2.

移项：把常数项移到方程的右边；3.

配方：方程两边同加一次项系数一半的平方；4.

开方：根据平方根的性质开方；5.

求解，规范书写.02新知导入【思考】怎样用配方法解一元二次方程？1.把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)2.把常数项移到方程的右边;3.把方程的左边配成一个完全平方式;4.利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；5.解一元一次方程，求出方程的两个解。02新知导入【思考】用配方法解关于x的方程:x2+px+q=0(p2-4q≥0).解：原方程可化为x2+px=-q，配方，得x2+px+=-q+

，即∵p2-4q≥0，∴所以x1=，x2=.03新知探究探究公式法解一元二次方程【探索】解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).因为a≠0，方程两边都除以a，得03新知探究探究公式法解一元二次方程【探索】解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(