3.3 一元二次方程根的判别式 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.3一元二次方程根的判别式##✅知识点对于一元二次方程$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\(a\neq0)}$定义根的判别式：$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$1.$\boldsymbol{\Delta>0}$⇒方程有**两个不相等的实数根**2.$\boldsymbol{\Delta=0}$⇒方程有**两个相等的实数根**3.$\boldsymbol{\Delta<0}$⇒方程**没有实数根**>反过来也成立：-有两个不相等实根$\Rightarrow\Delta>0$-有两个相等实根$\Rightarrow\Delta=0$-无实数根$\Rightarrow\Delta<0$⚠️重要前提：**必须是一元二次方程，$a≠0$！**题目带参数，既要考虑$\Delta$，还要保证**二次项系数不等于0**。###解题思路1.化成一般形式$ax^2+bx+c=0$2.写出$\(a,b,c\)$（带正负号）3.计算$\Delta=b^2-4ac$4.根据$\Delta$的正负判断根情况；已知根情况，列不等式求参数范围---##专项练习###一、选择题1.一元二次方程$x^2-2x-1=0$的判别式$\Delta$为（）A.$0$B.$4$C.$8$D.$-8$2.方程$2x^2+3x+2=0$根的情况是（）A.两个不等实根B.两个相等实根C.无实数根D.无法判断3.若方程$x^2-4x+m=0$有两个相等实数根，则$m$的值是（）A.$4$B.$-4$C.$2$D.$-2$4.关于$x$的方程$(k-1)x^2+2x-1=0$有实数根，则$k$的取值范围要注意（）A.只需$\Delta\ge0$B.$k\neq1$且$\Delta\ge0$C.只需$\Delta>0$D.$k\neq1$且$\Delta>0$###二、填空题5.方程$x^2-5x=0$，$\Delta=$________，根的情况：____________。6.一元二次方程$2x^2-4x+3=0$，$\Delta=$________，方程________实数根。7.若$x^2+2x-k=0$有两个不相等实数根，则$k$的取值范围是________。###三、基础解答题8.不解方程，判断下列方程根的情况：(1)$x^2+3x-2=0$(2)$2x^2-4x+2=0$(3)$x^2-2x+5=0$###四、中档解答题9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m+1)x+m^2=0$有两个实数根，求$m$的取值范围。10.当$k$为何值时，方程$2x^2-4x+k=0$（1）有两个不相等实数根；（2）有两个相等实数根；（3）没有实数根。###五、拓展题11.求证：无论$m$取何实数，方程$x^2-(m+2)x+2m=0$总有实数根。---#参考答案与解析###选择题1.**C**$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8>0$2.**C**$\Delta=3^2-4\times2\times2=9-16=-7<0$，无实数根3.**A**两个相等实根，$\Delta=(-4)^2-4\times1\timesm=0\Rightarrow16-4m=0,m=4$4.**B**一元二次方程，$k-1≠0$；有实数根$\Delta\ge0$###填空题5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{25}\)}$；**有两个不相等的实数根**$\Delta=(-5)^2-4\times1\times0=\(\boldsymbol{25}\)>0$6.$\boldsymbol{-4}$；**没有**$\Delta=(-4)^2-4\times2\times3=16-24=-4<0$7.$\boldsymbol{k>-1}$$\Delta=2^2-4\times1\times(-k)=4+4k>0\Rightarrowk>-1$###解答题8.(1)$a=1,b=3,c=-2$$\Delta=3^2-4\times1\times(-2)=9+8=17>0$∴方程有两个不相等实数根。(2)$a=2,b=-4,c=2$$\Delta=(-4)^2-4\times2\times2=16-16=0$∴方程有两个相等实数根。(3)$a=1,b=-2,c=5$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times5=4-20=-16<0$∴方程没有实数根。9.这是一元二次方程，$a=1,b=-2(m+1),c=m^2$$$\begin{align*}\Delta&=\big[-2(m+1)\big]^2-4\times1\timesm^2\\&=4(m^2+2m+1)-4m^2\\&=8m+4\end{align*}$$方程有两个实数根，$\Delta\ge0$$8m+4\ge0\Rightarrow\boldsymbol{m\ge-\dfrac12}$10.$a=2,b=-4,c=k$$\Delta=(-4)^2-4\times2\timesk=16-8k$(1)两个不等实根：$\Delta>0$$16-8k>0\Rightarrow\boldsymbol{k<2}$(2)两个相等实根：$\Delta=0$$16-8k=0\Rightarrow\boldsymbol{k=2}$(3)无实数根：$\Delta<0$$16-8k<0\Rightarrow\boldsymbol{k>2}$11.证明：$a=1,b=-(m+2),c=2m$$$\begin{align*}\Delta&=\big[-(m+2)\big]^2-4\times1\times2m\\&=m^2+4m+4-8m\\&=m^2-4m+4\\&=(m-2)^2\end{align*}$$$\because$任何实数的平方$\ge0$，即$\Delta=(m-2)^2\ge0$∴无论$m$取何实数，方程总有实数根。##📌考试易错点1.带参数题目，**一元二次方程必须$a≠0$**，很多同学漏掉这个条件；2.区分：**有实数根$\Rightarrow\Delta\ge0$；两个不相等实数根$\Rightarrow\Delta>0$**；3.计算$\Delta$，是$b^2\boldsymbol{-4ac}$，$c$是负数时容易符号算错；4.证明题配方得到完全平方，利用平方\(\ge0\)判断。>简答模板：先写出$\(a,b,c\)$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$大于、等于、小于0判断根的情况。下一节：**3.4一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，继续吗？或者要无答案版练习？湘教版（新教材）数学九年级上册3.3一元二次方程根的判别式授课教师：.

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9年级（

）班.

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间：.

2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程123理解一元二次方程根的判别式的概念，知道Δ=b2−4ac的由来（重点）掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法（重点）能根据一元二次方程根的情况，确定字母系数的取值范围（难点）导入新课分组PK限时求解！解下列方程：(1)x²+4x-3=0；

(2)x²-10x+25=0；(3)x²-3x+7=0.说一说一元二次方程的根有哪几种情况?有两个不相等的实数根没有实数根有两个相等的实数根一元二次方程的根为什么有这三种情况？由谁决定的呢？今天，我们一起来探究它。情景问题

为什么有的一元二次方程能解出两个根,有的只有一个,有的却无解？关键由谁决定？探究新知探究一:根的判别式的推导

探究新知探究一:根的判别式的推导

探究新知总结归纳:

探究新知方法总结:

知识点1

一元二次方程根的判别式1.

下列所给方程中，没有实数根的是(

)D

AA.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

①②③返回

BA.

有两个相等的实数根

B.

有两个不相等的实数根C.

无实数根

D.

无法确定返回知识点2

一元二次方程根的判别式的应用

BA.

等边三角形

B.

直角三角形C.

钝角三角形

D.

等腰直角三角形

8返回探究新知探究二:根的判别式的应用

探究新知探究二:根的判别式的应用

探究新知方法总结:

基础巩固题新知应用

D2.下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是(

)A.(x-1)2=0

B.x2+2x-19=0C.x2-4=0

D.x2+x+1=0A

Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×1=1-4=-3<0当∆=0时，原方程有两个相等的实数根基础巩固题新知应用

C

∴m≤1m≤1∆=0

基础巩固题新知应用

解：(1)因为△=b2

-4ac

=32-4×1×(-1)

=13>0，