人教版高中数学选择性必修一 题库 第三章　3.3.1　抛物线及其标准方程

3.3.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念(重点).2.会求简单的抛物线方程.导语同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，比如篮球投篮时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃的运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围.一、抛物线的定义及其标准方程问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示在点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|=|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.知识梳理平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意点：(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？提示我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|=p(p>0)，那么焦点F的坐标为p2准线l的方程为x=-p2设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.因为|MF|=x-p22+所以x-p2将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0).知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)px=-py2=-2px(p>0)-x=px2=2py(p>0)0y=-px2=-2py(p>0)0y=p注意点：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离.(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负.(4)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0+p2(焦半径公式)例1(课本例1)(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程.解(1)因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是3准线方程是x=-32(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8例1(课本例2)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处(如图2所示)，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上.设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)，由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42=2p×1，即p=2.88.所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x，焦点坐标是(1.44，0).例1(1)分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.①经过点(-3，-1)；②焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.解①因为点(-3，-1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，则由(-1)2=-2p×(-3)，解得p=16若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，则由(-3)2=-2p×(-1)，解得p=92故所求抛物线的标准方程为y2=-13或x2=-9y.②对于直线方程3x-4y-12=0，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4，0).当焦点为(0，-3)时，p2=3，所以p=6此时抛物线的标准方程为x2=-12y；当焦点为(4，0)时，p2=4，所以p=8此时抛物线的标准方程为y2=16x.故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：①y2=x；②x2=-y；③x2+12y=0.解①对于y2=x，焦点在x轴正半轴上，焦点坐标为14，0，准线方程为x②对于x2=-y，焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为0，-14，准线方程为③对于x2+12y=0，即x2=-12y，焦点在y轴负半轴上，焦点坐标为(0，-3)，准线方程为y=3.反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.跟踪训练1(1)焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是()A.x2=4y B.y2=8xC.x2=8y D.y2=4x答案A解析由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，且p=2，则抛物线的标准方程为x2=4y.(2)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p=，准线方程为.

答案2x=-1解析因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以p2=1，解得p=2，则准线方程为x=-p2二、抛物线定义的应用例2已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F12，0三点共线时所以距离之和的最小值为d=0-122延伸探究1若将本例中的点(0，2)改为点A(3，2)，求点P到A与点P到该抛物线焦点的距离之和的最小值.解将x=3代入y2=2x，得y=±6.所以点A在抛物线内部.设点P到准线(设为l)x=-12的距离为d则|PA|+|PF|=|PA|+d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值是72，即所求距离之和的最小值是7延伸探究2若将本例中的点(0，2)换为直线l1：3x-4y+72=0，求点P到直线l1的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值解如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1⊥l1于点A1，|PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|≥||A1F|的最小值为点F到直线l1：3x-4y+72=0的距离d=3×1即所求距离之和的最小值为1.反思感悟抛物线定义的应用根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.跟踪训练2已知抛物线y=14x2的焦点为F，A(1，1)，设B为该抛物线上一点，则△ABF周长的最小值为.答案3解析抛物线y=14x2的标准方程为x2=4y，其焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1.过B作直线BD垂直于准线，垂足为D(图略)，设|AM|为A到准线的距离(M为垂足)，由抛物线的定义得|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|≥|AM|+|AF|=2+1=3(当且仅当B，A，M三点共线时，取等号)三、抛物线在生活中的应用例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，载货小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设拱桥所在的抛物线方程为x2=-2py(p>0)，由题意可知，点B(4，-5)在抛物线上，故p=85，得x2=-165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为|AA'|=4m，则A(2，yA)，由22=-165yA，得yA=-54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练3如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a28h B.a24h 答案A解析如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点a2，-h，则a24=2ph，解得p=a1.知识清单：(1)抛物线的定义及其标准方程.(2)抛物线定义的应用.(3)抛物线在生活中的应用.2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归.3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.1.已知抛物线y=2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为()A.(1，0) B.1C.0，116 D.答案C解析由抛物线y=2px2过点(1，4)，可得p=2，∴抛物线的标准方程为x2=14y则焦点坐标为0，2.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=54x0，则x0等于(A.1 B.2 C.4 D.8答案A解析∵14+x0=54x0，∴x03.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2 B.3 C.115 D.答案A解析易知直线l2：x=-1恰为抛物线y2=4x的准线，如图所示，动点P到l2：x=-1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2=4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d=|4+6|4.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽米.

答案26解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)，则点(2，-2)在抛物线上，代入可得p=1，所以抛物线的方程为x2=-2y，水位下降1米后，y=-3，代入得x2=6，所以此时水面宽为26米.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分1.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线答案D解析由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.2.若P为抛物线y2=4x上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为()A.7 B.10 C.8 D.9答案C解析根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离，所以P到y轴的距离为9-1=8.3.抛物线y=43x2的焦点坐标为(A.316，0C.13，0答案B解析抛物线y=43x2的标准形式为x2=34所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，由2p=34，得p=38，则p2所以焦点坐标为0，4.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是()A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)答案BD解析抛物线y2=10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误；设M(1，y0)是y2=10x上一点，则|MF|=1+p2=1+52=72≠6，由于抛物线y2=10x的焦点为52由题意知过原点的直线方程为y=12x设过焦点的直线的斜率存在，方程为y=kx-52，直线过点(2，则k=-2，因为12×(-2)=-1，所以D正确5.已知P为抛物线y=x2上的动点，A0，14，B(1，2)，则|PA|+|PB|的最小值为A.32 B.74 C.94答案C解析由题意知，A为抛物线的焦点.设点P到准线y=-14的距离为d则|PA|+|PB|=d+|PB|，d+|PB|的最小值为B到准线的距离，所以当PB垂直于准线时取最小值.故最小值为2+14=96.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m，镜深0.25m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点()A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m答案B解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p=1，解得p=2，所以抛物线方程为x2=4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1m.7.(5分)设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，若点A(2，2)在C上，则|AF|=.

答案9解析因为点A(2，2)在C上，所以(2)2=2p·2，得p=12所以抛物线的准线方程为y=-14由抛物线的定义知，|AF|等于点A到准线的距离，即|AF|=2+14=98.(5分)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|=.

答案8解析如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE=60°，因为F(2，0)，所以E(-2，0)，则|AE||EF|=tan60°即|AE|=43，所以点P的坐标为(6，43)，故|PF|=|PA|=6+2=8.9.(10分)根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；(5分)(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.(5分)解(1)双曲线方程可化为x29-y左顶点为(-3，0)，由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且-p2=-3，∴p∴抛物线的标准方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，由抛物线定义得5=|AF|=m+又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9，∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.10.(12分)花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|=1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，点P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少m？(精确到1m).解如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，依题意有P(-1，-1)在抛物线上，代入得p=12，故得抛物线方程为x2=-y设点A(x，-2)在抛物线上，将A(x，-2)代入抛物线方程得x=2，则|O'A|=(2+1)m，因此，所求水池的直径至少为2(1+2)m，约为5m，即水池的直径至少应设计为5m.11.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A.5 B.17 C.17-1 D.17+1答案C解析点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17-1，这个值即为所求.12.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=52，若以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，则抛物线C的方程为(A.x2=4y或x2=8yB.x2=2y或x2=4yC.x2=2y或x2=8yD.x2=4y或x2=16y答案C解析设P(x，y)，F0，由条件可知y+p2=5即y=52-p并且线段PF的中点纵坐标是y+p2因为以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，所以x=-2，即P-2，代入抛物线方程得4=2p52整理得p2-5p+4=0，解得p=1或p=4，即抛物线C的方程是x2=2y或x2=8y.13.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q3，54，记点P到x轴的距离为d，则d+|PQ|的最小值为A.34 B.54 C.74答案C解析如图，记l：y=-14是抛物线的准线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接FQ则|PF|=|PH|，F0，因为点P到x轴的距离比点P到l的距离少14所以d+|PQ|=|PH|-14+|PQ|=|PF|+|PQ|-1所以当Q，P，F三点共线，且点P在线段FQ上时，d+|PQ|最小，且最小值为|FQ|-14=(3)2+5414.(5分)若抛物线y2=2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是.

答案2解析由抛物线方程y2=2x可知，p2=1设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即|AF|=x1+p2=x1+1同理|BF|=x2+p2=x2+1故|AF|+|BF|=x1+x2+1=5，即x1+x2=4，得x1+故线段AB的中点的横坐标是2.