人教版高中数学选择性必修一 题库 第三章　习题课　圆锥曲线中的综合问题

习题课圆锥曲线中的综合问题学习目标1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用(重点).2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题(难点).一、范围与最值问题例1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点坐标为(3，0)，且点(0(1)求椭圆的方程；(2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围.解(1)由题意，得a2-∴椭圆C的方程为x24+y2(2)当直线l的斜率为0时，AP的斜率k=0.当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，联立方程组x得(m2+4)y2+2my-3=0.Δ>0显然成立.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y1+y2=-2m∴y0=-mm则x0=my0+1=-m2m2而点A的坐标为(-2，0)，∴直线AP的斜率k=-mm2①当m=0时，k=0.②当m≠0时，|k|=-m2m∵2m+12m=|2m|+12当且仅当|2m|=12m时，等号成立∴0<12m+从而-624≤k≤624且k≠综上所述，斜率k的取值范围是-6反思感悟圆锥曲线中最值与范围的求法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值.解(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)，可得c=2，又离心率为63∴a=6，b2=a2-c2=6-4=2，∴椭圆C的标准方程为x26+y(2)由题可知kPF=m3-2=m∴kAB=-1m故直线AB的方程为y=-1m(x-2)即x=-my+2，由x26+y22=1,x=-my+2,可得(设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4m3+m2，y1y∴|y1-y2|=(=4m3+m∴△OAB的面积S=12×|OF|×|y1-y2|=2令t=1+m2∴S=26t2+t2=2当且仅当2t=t，即t=2，m=1时取等号∴△OAB面积的最大值为3.二、定值与定点问题例2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x-(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：k1k(1)解∵虚轴长为4，∴2b=4，即b=2，∵直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线，∴ba=2，∴a=1故双曲线C的标准方程为x2-y24(2)证明由题意知，A(-1，0)，B(1，0)，由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x=ny+2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立x得(4n2-1)y2+16ny+12=0，∴y1+y2=-16ny1y2=124∴ny1y2=-34(y1+y2)∵直线MA的斜率k1=y1直线NB的斜率k2=y2∴k1k2=y1=-34(y1反思感悟(1)定值问题的基本思路①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在推理、计算的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定点问题的基本思路①把方程中的变量x，y看作常数，将方程一端化为零，这个方程要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是要求的定点.②由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0，m).③从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.跟踪训练2已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为52，且点M的纵坐标为2p(1)求抛物线C的方程和点M的坐标；(2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明：直线l过定点.(1)解设M(x0，2p)，则x解得x0=2,p=1,∴抛物线C：y2=2x，M(2(2)证明由题意知，直线l的斜率不为零，可设l：x=my+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2=2x,x=my+n,∴Δ=4m2+8n>0，即m2+2n>0，∴y1+y2=2m，y1y2=-2n.kMA=y1-2x1-2同理kMB=2y2+2，又MA∴kMA·kMB=4=4y1y2则n=2m+4(此时m2+2n=m2+4m+8=(m+2)2+4>0成立)，∴直线l：x=my+2m+4=m(y+2)+4，当y=-2时，x=4，∴直线l恒过定点(4，-2).三、探索性问题例3在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于原点O，椭圆x2a2+y29=1(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由题意知，圆心在直线y=-x上，设圆心坐标是(-p，p)(p>0)，则圆的方程为(x+p)2+(y-p)2=8，由于点O(0，0)在圆上，∴p2+p2=8，解得p=2，∴圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a∴椭圆右焦点为F(4，0).假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|=|OF|，则有(m+2)2+(n-2)2=8,解得m故圆C上存在满足条件的点Q45反思感悟(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.跟踪训练3已知直线x+y+3=0与椭圆E：x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)联立x消去y得(1+a2)x2+23a2x+2a2=0，∵直线x+y+3=0与椭圆E：x2a2+y2∴Δ=(23a2)2-8a2(1+a2)=0，解得a2=2，即椭圆E的方程为x22+y2(2)假设存在实数λ，使椭圆E上存在不同两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称，设lPQ：x+2y+t=0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x消去x得6y2+4ty+t2-2=0，则Δ=16t2-24(t2-2)>0，解得-6<t<6，由根与系数的关系得y1+y2=-2t∴x1+x2=-2(y1+y2)-2t=-2t∴2×x1+x2=-2t3+t3-λ=-t3∴λ=-t3∈-∴存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称，且λ的取值范围是-61.知识清单：(1)范围与最值问题.(2)定点与定值问题.(3)探索性问题.2.方法归纳：定义法、函数法、整体代换法.3.常见误区：直线与圆锥曲线联立后化简不正确.1.已知点P是椭圆C：x2100+y264=1上一点，M，N分别是圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4上的点，那么|PM|+|PN|A.15 B.16 C.17 D.18答案C解析如图，椭圆C：x2100+y264=1中的a=10，b=8，圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4的圆心为椭圆的两个焦点，则当M，N为如图所示的位置时，|PM|+|PN|的最小值为2a-(2+1)=17.2.直线l与抛物线C：y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=23，则l在x轴上的截距(A.为定值-3 B.为定值3C.为定值-1 D.不是定值答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1x1·y2x2=2∴y1y2=6，设直线l：x=my+b，代入抛物线方程可化为y2-2my-2b=0，∴y1y2=-2b，∴-2b=6，∴b=-3，∴l在x轴上的截距为-3.3.已知A为椭圆x27+y2=1的上顶点，P为椭圆上一点，则|PA|的最大值为(A.22 B.766 C.3 D答案B解析由题意可知A(0，1)，设P(x，y)，由x27+y2=1可得x2=7-7y2，-1≤y≤则|PA|=x=7-7=-6y因为-1≤y≤1，可知当y=-16时|PA|的最大值为496=74.已知圆O：x2+y2=4与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|=23，则p=.

答案2解析由抛物线y2=2px(p>0)的准线为l：x=-p2圆x2+y2=4的圆心为O(0，0)，半径r=2，则圆心O到准线l的距离d=p2则|AB|=2r2-d2=2解得p=2.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共55分1.AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则A.b2 B.ab C.ac D.bc答案D解析由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB=2S△OFB=c·|yB|，故当|yB|=b时，△AFB面积最大，最大面积为bc.2.已知P为抛物线y2=4x上一点，Q为圆(x-6)2+y2=1上一点，则|PQ|的最小值为()A.21-1 B.2-5C.25-1 D.21-45答案C解析设点P的坐标为14圆(x-6)2+y2=1的圆心坐标为A(6，0)，∴|PA|2=14m2=116(m2-16)2+20≥20∴|PA|≥25，∵Q是圆(x-6)2+y2=1上任意一点，∴|PQ|的最小值为25-1.3.已知F1，F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1·PFA.4 B.5 C.2 D.1答案C解析由椭圆x24+y2=1，则a=2，b即c=a2-b所以F1(-3，0)，F2(3，0)，设P(x，y)，则PF1=(-3-x，-yPF2=(3-x，-yPF1·PF2=x2由点P在椭圆上，则y2=1-x24(-2≤x≤2所以PF1·PF2=34x2-2∈[所以|PF1·PF24.在抛物线y2=4x上有不同的两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点()A.(0，2) B.(0，4)C.(-4，0) D.(-2，0)答案B解析设直线AB的方程为x=ty+b(b≠0)，并代入抛物线方程，消去x得y2-4ty-4b=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4t，y1y2=-4b，∴kOA+kOB=y1x1+=y=2ty1y∴b=-4t，所以直线AB的方程为x=ty-4t=t(y-4)，过定点(0，4).5.已知椭圆C：x28+y26=1的左、右顶点分别为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PBA.[-2，-1] B.-C.-1，-1答案D解析由题意得A(-22，0)，B(22，0)，设P(x0，y0)，则x028+其中x0≠±22，所以kPA·kPB=y0x0+22·y0x0-22=y02x02-8=6-34x06.若直线y=x+t与椭圆x24+y2=1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为(A.2 B.455 C.410答案C解析联立两个方程，得5x2+8tx+4t2-4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-85t，x1x2=45(t2-1∴|AB|=2=2-85而Δ=(8t)2-4×5×(4t2-4)>0，解得0≤t2<5.∴取t2=0得|AB|max=4107.(5分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则答案9解析由题意得ca=32，b=1，解得a=2，c=于是|PF1|+|PF2|=2a=4，所以1PF=1=145+PF2|PF1当且仅当|PF2|=2|PF1|，即|PF2|=83，|PF1|=438.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2(其中O为坐标原点)，则△AOB与△AOF面积之和的最小值是.

答案3解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则OA=(m2，m)，OB=(n2，n)，OA·OB=m2n2+mn=2，解得mn=1(舍)或mn=-2.∴lAB：(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2)，即(m+n)(y-n)=x-n2，令y=0，解得x=-mn=2，∴设AB与x轴交于点C，则C(2，0).S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2m+12×2·(-n)=m-n，S△AOF=12×14m则S△AOB+S△AOF=m-n+18m=98m-n=98m+2m≥298m·2m=3，当且仅当98m=2m，即m=439.(10分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1)求双曲线C的标准方程；(3分)(2)已知B(0，3)，直线l：y=kx+m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|=|BN|，求实数m的取值范围.(7分)解(1)∵a=1，ca=2∴c=2，b2=3，∴双曲线C的标准方程为x2-y23(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，联立y=kx+m,x2-y23=1,得(3-k依题意3-即3-k由根与系数的关系可得x1+x2=2kmx1·x2=-m2则x0=x1+x22=km3-k2，y0=∵|BM|=|BN|，∴BQ⊥MN，∴kBQ=y0-3x0∴3-k2=433m又k2=3-433m>0由①②③得m<-433或0<m<10.(12分)已知△AOB的顶点O为抛物线y2=2x的顶点，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°.(1)求证：直线AB必过一定点；(5分)(2)求△AOB面积的最小值.(7分)(1)证明设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0)，则直线OB的方程为y=-1kx由y=kx,y由y=-1kx,y2=2x,得∴AB所在直线方程为(y+2k)2k2-2k2=2k+2化简得x-1k-k∴直线过定点P(2，0).(2)解由于直线AB过定点P(2，0)，∴可设直线AB的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2).由x=my+2,y2=2x,则Δ=(2m)2-4×(-4)=4m2+16>0，∴y1+y2=2m，y1y2=-4，∴|y1-y2|=(y1+y2∴S△AOB=12|y1|·|OP|+12|y2|·|=12·|OP|·|y1-y2|=|y1-y2|=4m2+16≥4(当且仅当m=0时取“∴当m=0时，△AOB面积的最小值为4.11.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8A.4 B.8 C.16 D.32答案B解析∵双曲线C：x2a2-y2b2=1(a∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立x=a,y=bax,解得联立x=a,y=-bax,解得x∴|ED|=2b，∴S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C：x2a2-y2b2=1(a∴其焦距为2c=2a2+b2≥22当且仅当a=b=22时取等号，∴双曲线C的焦距的最小值为8.12.已知P为双曲线C：x2-y24=1右支上的一个动点，若点P到直线y=2x+5的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为(A.(-∞，1] B.(-∞，2]C.(-∞，5] D.(-∞，5]答案C解析双曲线C的渐近线方程为y=±2x，直线y=2x+5与其中一条渐近线y=2x平行，二者之间的距离d=|5-0|5由题意知点P到直线y=2x+5的距离大于5，所以m≤5，即实数m的取值范围为(-∞，5].13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E：x24+y23=1的一个焦点重合，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM，ON，与C分别交于M，N，则直线MNA.(4，0) B.(-4，0)C.(-1，0) D.(1，0)答案A解析由椭圆E的方程知，其焦点坐标为(±1，0)，又抛物线C的焦点Fp2，0(p>0)，∴p2=1，解得p=2，则抛物线C的方程为y2=4x，由题意知，直线MN斜率不为0，可设直线MN的方程为x=my+t，由x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0，则Δ=16m2+16t>0，即m2+t>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4t，∴x1x2=y12y2216=t2，∵OM⊥ON，∴OM·ON=x1x2+y1y2=t2-4t=0，解得t=0或t=4，又M，N与坐标原点O不重合，∴t=4，∴直线MN的方程为x=my+414.已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，则|FA|·|FB|的最小值为()A.36 B.24 C.18 D.9答案A解析由题意F(3，0)，设直线l的方程为x=my+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x消x得y2-12my-36=0，Δ=144m2+144>0恒成立，则y1+y2=12m，y1y2=-36，|FA|·|FB|=(x1+3)(x2+3)=(my1+6)(my2+6)=m2y1y2+6m(y1+y2)+36=-36m2+72m2+36=36m2+36，当m=0时，|FA|·|FB|取得最小值36.1