人教版高中数学选择性必修一 题库 第一章　1.1.1　第1课时　空间向量及其线性运算

1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算(重点).导语你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？一、空间向量的有关概念问题1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？提示平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.知识梳理1.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|2.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)空间向量不能比较大小.(4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c.例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A.单位向量都相等B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，则ABD.相等向量其方向必相同答案D解析A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小.(2)(多选)下列命题为真命题的是()A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=bB.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有ACC.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=pD.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c答案BC解析A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与A1CC为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，向量平行不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行.反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.跟踪训练1(多选)下列说法错误的是()A.空间任意两个向量的模能比较大小B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等答案BCD解析对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个实数，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但空间向量不是有向线段；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可能相等.二、空间向量的加减运算问题2空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.知识梳理空间向量的加法、减法运算及运算律加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算几何意义语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述运算律交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2+A2A3+(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A1A2+A2A3+A3(4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1的是(A.A1D1-A1A-AB B.C.AD-AB-DD1 D.B1D答案AB解析A中，A1D1-A1B中，BC+BB1-DC中，AD-AB-DD1==B1D≠D中，B1D1-A1A=BD1+AA(2)对于空间中的非零向量AB，BC，ACA.AB+BCB.AB-ACC.|AB|+|BC|=|AC|D.|AB|-|AC|=|BC|答案B解析根据空间向量的加减法运算，对于A，AB+BC对于C，当AB，有|AB|+|BC|=|AC|；对于D，当AB，AC方向相同且|AB|≥|AC有|AB|-|AC|=|BC|；对于B，由向量减法可知AB-AC又BC为非零向量，所以B一定不成立.反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.(1)AB+BC-DC；(2)AB-DG-CE.解(1)AB+BC-DC=AB+BC+CD=AC+(2)如图，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，所以GD所以AB-DG-CE=AB+GD+EC=AB+BG+三、空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算及运算律定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义(a≠0)λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ=0λa=0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)=(λμ)a分配律(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb注意点：(1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0.(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.(3)向量λa与向量a一定是共线向量.例3(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb，则a=bD.若ma=na，则m=n答案AB解析m(a-b)=ma-mb，A对；(m-n)a=ma-na，B对；若m=0，则a，b不一定相等，C错；若a=0，则m，n不一定相等，D错.(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，①AP；②A1N；③解①∵P是C1D1的中点，∴AP=AA1+A1D1+=a+c+12AB=a+12b②∵N是BC的中点，∴A1N=A1A+AB+BN==-a+b+12AD=-a+b+1③∵M是AA1的中点，∴MP=MA+AP=-12a+a+12b+c延伸探究1本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量PN.解因为P，N分别是C1D1，BC的中点，所以PN=PC1=12AB+(-AA=-a+12b-12延伸探究2若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且C1PPD解AP=AD1+D1=a+23b+c延伸探究3在本例(2)的条件下，化简12a-b-12c解12a-b-12c=12A=12A=AM-(AB+BN)=AM-AN=反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质.1.知识清单：(1)向量的相关概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量.1.(多选)下列命题中，真命题是()A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.化简PM-PN+MN所得的结果是()A.PM B.NP C.0 D.MN答案C解析PM-PN+MN=NM=NM-NM=0.3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则MG-AB+AD等于()A.32DBC.3GM D.2MG答案B解析MG-AB+AD=MG-(AB-AD)=MG-DB=MG+BD=MG4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若OQ=PQ+xPC+yPA，则x=，y=答案-12-解析由图可知，OQ==PQ-12(PA=PQ-12PA所以x=y=-12课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.向量a，b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是()A.a=b B.a+b为实数0C.a与b方向相同 D.|a|=3答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反.2.下列说法中正确的是()A.空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB=CD的充要条件是A与C重合，B与C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD答案C解析对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；对于B，AB=CD的充要条件是|AB|=|CD|，且AB，CD同向，但A与C，B对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；对于D，满足AB+AD=AC的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则AA.a+b-cB.a-b+cC.b-a-cD.b-a+c答案C解析A1B=AB-A∵AA1=∴A1B=b-a-4.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO+OB=DO+OC，则四边形ABCD是A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形答案A解析∵AO+OB=DO∴AB=∴AB∥DC且|AB|=|DC|.∴四边形ABCD为平行四边形.5.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且EH=13EF，记OH=xOA+yOB+zOC，则(x，y，A.13，C.13，答案A解析连接OE，OF(图略)，因为EH=13EF，E，F所以OH=OE+EH=OE+13(OF-OE)==23×12(OA+OB)+13=13OA+1故(x，y，z)=136.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有()A.AB-CBB.AC'=AB+B'C'C.AA'D.AB+BB'+BC+C'C答案ABC解析作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图，可得AB-CB=AB+BC=AC，故A正确；AB+B'C'+CC'=AB+BCAB+BB'+BC+C'C=AB故D不正确.7.(5分)如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，AC与A'C'是向量，AB与B'A'是向量.(用“相等”或“相反”答案相等相反解析由相等向量与相反向量的定义知，AC与A'C'是相等向量，AB与B'A'8.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知AB=a，AD=b，AA1=c，用a，b，c表示CM，则答案-a-b+12解析∵CM=CB+BA+AM=-BC-AB又∵M是AA1的中点，∴AM∴CM=-BC-AB+1∵AB=a，AD=b，AA∴CM=-a-b+12c9.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个？(3分)(2)写出模为5的所有向量；(3分)(3)试写出AA1的所有相反向量.(4解(1)由题意知，AA1=1，所以向量AA1，A1A，B(2)易知A1D=A所以模为5的向量有AD(3)根据相反向量的定义，可得向量AA1的所有相反向量为10.(10分)如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE=12OD+xOB+yOA，求解∵AE=AB+BC=OB-OA+OC-OB-1=-OA+12OC=-OA+12=-OA+12(OD=-OA+12OD+12=12OD+1又AE=12OD+x∴x=12，y=-11.(多选)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有()A.OA+OD与OB'+OC'是一对相等向量B.OB-OC与OA'-OD'是一对相等向量C.OA+OB+OC+OD与OA'+OB'+OC'+OD'是一对相反向量D.OA'-OA与OC-OC'是一对相反向量答案BCD解析如图所示，OA=-OC'，OD=所以OA+OD=-(OB'+OC')，是一对相反向量，A错误；OB-OC=CB，OA'-OD'=又OB=-OD'，OC=所以OA+OB+OC+OD=-(OA'+OB'+OC'+OD')，是一对相反向量，C正确；OA'-OA=AA'，OC-OC'=C'C=12.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在BC'上，且BM=2MC'，则OM等于()A.-12AB+7B.-12AB+5C.12AB+1D.12AB-1答案C解析因为BM=2MC'，所以BM在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，OM=OB+BM=12DB+23=12(AB-AD)+2=12AB+1613.(5分)如图，在三棱锥S-ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足EG=13EF