人教版九年级数学 秋季培优讲义 第10讲-反比例函数综合-讲义

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反比例函数综合反比例函数综合反比例函数反比例函数综合反比例函数综合反比例函数综合反比例函数几何性质xxyOABCDEFPQMN课堂笔记课堂笔记

反比例函数几何意义：A、B、C、D是反比例函数上任意四点，以A、B两点分别构造矩形AFOE、BQOP；以C、D两点分别构造Rt△COM和Rt△DON，则一定有：

；．

点点精讲点点精讲题型一题型一反比例函数几何性质如图，在反比例函数的图象上，有点，，，……(n为正整数，且)，它们的横坐标依次为1，2，3，4……（n为正整数，且）．分别过这些点作轴与轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，……（n为正整数，且），那么___________________，_________________________（用含有n的代数式表示）．

DOCBAxy如图，点、分别是反比例函数在第一象限内的两点，轴于点C，轴于点B．

求证：．

DOCBAxyABDCxOy如图，点A、B分别是函数上两个不同的点，过A点作y轴的垂线交y轴于点C，过B点作x轴的垂线交x轴于点D，求证：AB∥CD．

ABDCxOy题型二题型二反比例函数综合ABECxOyD如图，已知一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数的图象交于点．

（1）求和的值；

（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一点F，使得

△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

ABECxOyDABFxOyC图①ABFxOyC图②EP如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若，求反比例函数的解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积，求的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连结PA，PO，是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

ABFxOyC图①ABFxOyC图②EP1O1Oyx423点点精练如右图，在反比例函数的图象上，有点、、、，它们的横坐标依次为1、2、3、4.分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为、、，则___________．

CyBAOxDM在平面直角坐标系中，函数的图像经过点、点，其中.过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB．

（1）求m的值；

（2）求证：DC∥AB；

（3）当时，求直线AB的函数解析式．

CyBAOxDM板块二材料阅读板块二材料阅读与新定义材料阅读与材料阅读与新定义材料阅读新定义材料阅读新定义

课堂笔记

材料阅读：读懂材料并围绕材料进行思考，模仿材料阅读的方法处理问题，尽量不要脱离材料思考．

新定义：读懂题意并结合已有知识和能力做到“化生为熟”，进而解决问题．

课堂笔记点点精讲点点精讲题型一题型一材料阅读OABxy我们知道：一次函数的图象可以由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到，灵活运用这一知识解决问题．

如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数的图象相交于点和点B．

（1）写出点B的坐标，并求a的值；

（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移个单位长度，得到图象分别记为和，已知图象经过点．

①求n的值；

②分别写出平移后的两个图象和对应的函数关系式；

③直接写出不等式的解集．

OABxy在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？

同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．

小勇说：我们可以从特殊入手，取进行研究（如图①），此时我发现．

小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时，这一结论仍然成立，即_______的面积_______的面积，此面积的值为______．

小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是____________．

OCyx123456123456DBAIHGFOCyx123456123456DBAIHGF图①图②OCyx123456123456DBAIHGFOCyx123456123456DBAIHGF图①图②Oyx123456123456图③题型二题型二新定义如图，在平面直角坐标系中，定义直线与双曲线的交点（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”.

（1） ①“双曲格点”的坐标为______________；

②若线段的长为1个单位长度，则___________；

（2）图中的曲线f是双曲线的一条“派生曲线”，且经过点，则f的解析式为_____________________；

（3）画出双曲线的“派生曲线”g（g与双曲线不重合），使其经过“双曲格点”、、．

点点精练点点精练OBACDExy我们规定：形如（a，b，k为常数，且）的函数叫做“奇特函数”．当时，“奇特函数”就是反比例函数．

（1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；

（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为、，点D是OA的中点，连结OB、CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B、E两点．

①求这个“奇特函数”的解析式；

②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移_______个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象．过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P、Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标．

OBACDExy横扫