人教版九年级数学 秋季培优讲义 第12讲-圆的概念与性质-讲义

16.7％圆圆的概念与性质第一讲

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圆的定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，线段OAOA圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

圆的周长与面积：；．

同圆、等圆、同心圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；能够重合的两个圆叫做等圆．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．弦、弦心距：连接圆上任意两点的线段叫做弦．圆的圆心到一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．

直径：经过圆心的弦叫做直径．注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦．ACBO圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧（用三个点表示，如图中的）；小于半圆的弧叫做劣弧（如图中的）．

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

ACBO圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴（对称轴是过圆心的直线）；圆是中心对称图形，也是旋转对称图形．点点精讲点点精讲题型一题型一圆的概念与性质例1．（1）下列说法正确的个数是（）

①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（2）下列说法正确的有_________________（填序号）．

①直径是弦；

②半圆是弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④所对圆心角相等的两条弧是等弧；

⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）；⑥两个半圆是等弧．

例2．下列结论错误的是（）

A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形

C．半圆不是弧 D．顶点在圆心的角叫做圆心角

例3．（1）以点O为圆心，可以作几个圆（）

A．只能1个 B．2个 C．3个 D．无数个

（2）过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）

A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或无数条

例4．证明：直径是圆中最长的弦．

题型二题型二圆中的简单计算AOBEDCOMN例5．（1）如图所示，MN为⊙O的弦，，则∠MON的度数为（）

A．

B．

C．

D．

（2）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，

若，，则________________．

AOBEDCOMNABO例6．（1）圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加了（）

A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍

（2）如图，O为两同心圆圆心，点A为大圆上一点，点B为小圆上一点，且，，则该圆环的面积为（）

A．

B．

C．

D．

ABO吕小布张小飞例7．（1）如图，吕小布顺着大的半圆从A地到B地，张小飞顺着两个小的半圆从A地到B地，设吕小布、张小飞走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．不能确定

（2）如图，四边形PAOB是矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，点A、B分别在OM、ON上，当P点在上移动时，的值（）

NBOAMPA．变大

B．变小

C．不变

D．不能确定

（3）如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若，则四边形ACBP周长的最大值为___________．

BDPAC

吕小布张小飞NBOAMPBDPAC点点精练点点精练下列说法中，错误的是（）

①弦是直径；

②半圆是弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④能够互相重合的弧是等弧；

⑤大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

过圆上一点可以作圆的最短弦有（）条

A．1 B．2 C．3 D．1条或无数条

AOCB如图，将一个含有的三角板，按如图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则的度数为（）

A．

B．

C．

D．

AOCBDAFCGMHOBEN如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设，，则下列各式中正确的是()

A．

B．

C．

DDAFCGMHOBEN板块二垂径定理板块二垂径定理垂径定理

垂径定理垂径定理的推论垂径定理垂径定理的推论垂径定理

课堂笔记

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．课堂笔记注：

①垂径定理有两个条件：一个是直径，一个是垂直．

②这里的垂径可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段．垂径定理的推论：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

注：垂径定理及其推论可以简记为：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，这五者知二可推三．不过我们应当注意，当“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是非直径的弦，因为圆中任何两条直径都互相平分．

OABCD垂径定理的常见图模：

如图所示，OA、AB、AD、OABCD例如：当，时，则，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴．点点精讲点点精讲题型一题型一垂径定理及其推论OBCAED（1）下列说法中，正确的是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必经过这条弦所在的圆的圆心

D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

（2）如图，⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论可能错误的是（）

A．

B．

C．

D．△OCE≌△ODE

OBCAED题型二题型二垂径定理有关的计算OABCDOABCDOBADC（1）如图，在半径为5的⊙O中，弦，OD⊥AB于点C，则（）

A．3

B．4

C．5

D．6

（2）如图所示，在⊙O中，OD⊥AB，垂足为C，，，则（）

A．2

B．

C．4

D．

（3）已知，在⊙O中，AB是长度为6的弦，OD⊥AB交AB于点C，，求⊙O的半径．

OABCDOABCDOBADCOACDBABOFPEOACBED（1）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，，则（）

A．

B．4

C．

D．

（2）⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，，，，则⊙O的半径为（）

A． B． C． D．

（3）如图，点A、B是⊙O上两点，，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则_______．

（4）如图，在两个同心圆O中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：．

OACDBABOFPEOACBEDOPAB已知点P是⊙O内的一定点，连结OP，过点P的弦AB⊥OP，垂足为P．

求证：AB是⊙O中所有过点P的弦当中最短的．

OPABOPABOP（1）过⊙O内一点M的最长弦的长为4cm，最短弦的长为2cm，则OM的长为________．

（2）如图，已知⊙O的半径为5，弦，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是_________．

（3）如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且，在过点P的所有⊙O的弦中，弦的长度为整数的有_______条．

OPABOP如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______．

（1）已知：⊙O的半径为5，弦AB∥CD，，．求AB与CD之间的距离．

（2）半径为2的圆中，弦AB、AC的长分别为和，求∠BAC的度数．

点点精练点点精练AOPBCD如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若，，则⊙O的半径为（）

A．10

B．8

C．5

DAOPBCD在半径为12的圆中，垂直平分半径的弦长为（）

A． B．27 C． D．

OACPBD如图，⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且，则OP的长为（）

A．3

B．4

C．

DOACPBDOACDB如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知，，AB的弦心距等于1，那么这两个同心圆的半径之比为（）

A．

B．

C．

D．OACDBABDOC绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径O