人教A版高中数学选择性必修一第一课时　空间向量基本定理

1.2空间向量基本定理第一课时空间向量基本定理学习目标1.掌握空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解.【引入】回顾平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量,有没有类似的结论呢?一、空间向量基本定理探究(1)如图,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O,对于任意一个空间向量p=OP,p能否用i,j,k表示呢?提示如图,设OQ为OP在i,j所确定的平面上的投影向量,则OP=OQ+QP.又向量QP,k共线,因此存在唯一的实数z,使得QP=zk,从而OP=OQ+zk.在i,j确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得OQ=xi+yj,从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.(2)你能证明(1)中有序实数组(x,y,z)的唯一性吗?提示假设除(x,y,z)外,还存在有序实数组(x',y',z'),使得p=x'i+y'j+z'k,则x'i+y'j+z'k=xi+yj+zk.不妨设x'≠x,则(x'-x)i=(y-y')j+(z-z')k,两边同除以(x'-x),得i=y-y'x'-x由平面向量基本定理可知,i,j,k共面,这与已知矛盾.所以x=x',同理y=y',z=z',所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.1.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.2.基底的概念(1)定义:如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.(2)性质:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.3.空间向量的正交分解(1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.(2)正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解.温馨提示(1)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量.(3)若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.例1[链接教材P12T3(1)]已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,试判断{OA,OB,OC}能否作为空间的一个基底.解假设OA,OB,OC共面,则存在实数λ,μ使得OA=λOB+μOC,∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.∵e1,e2,e3不共面,∴-3此方程组无解,∴OA,OB,OC不共面,∴{OA,OB,OC}可以作为空间的一个基底.思维升华判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面:(1)首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面;(2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.训练1(1)已知A,B,C,D,E是空间五点且A,B,C不共线,若AB,AC,AD与AB,AC,AE均不能构成空间的一个基底,则在下列各结论中,不正确的为()A.AB,AD,AE不构成空间的一个基底B.AC,AD,AE不构成空间的一个基底C.BC,CD,DE不构成空间的一个基底D.AB,CD,EA构成空间的一个基底(2)(多选)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组能作为空间的基底的向量组有()A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}答案(1)D(2)BCD解析(1)由AB,AC,AD与AB,AC,AE均不能构成空间的一个基底及A,B,C不共线,可知AB,AC,AD,AE为共面向量,即A,B,C,D,E五点共面,故D不正确.(2)如图,设a=AB,b=AA1,c=AD,则x=AB1,y=ADa+b+c=AC由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,可以作为空间的基底.因为x=a+b,所以a,b,x共面,故不能作为基底.二、用基底表示空间向量例2(链接教材P12例1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,E,F分别是AD1,BD(1)用向量a,b,c表示D1B,(2)若D1F=xa+yb+zc,求实数x,y,z解(1)如图,连接AC,D1B=D1D+DB=-AA1+EF=EA+AF=12D=-12(AA1+AD)+12(=12AB-12AA1=(2)D1F=12(D1D+D1B=12(-c+a-b-c)=12a-12b又D1F=xa+yb+z所以x=12,y=-12,z思维升华用基底表示向量时:(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行.(2)若没给定基底,首先选择基底,选择时尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再看基向量的模及其夹角是否已知或易求.训练2如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设OA=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示BF,BE,AE,EF.解连接BO,则BF=12BP=12(BO+OP)=12(-b-a+c)=-12a-1BE=BC+CE=-a+1=-a+12(CO+OP)=-a-12b+1AE=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+1EF=12CB=12OA【课堂达标】1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则与a,b不能构成空间基底的向量是()A.OA B.OBC.OC D.OA或OB答案C解析∵OC=12a-12b且a,b∴a,b,OC共面,∴OC与a,b不能构成一个空间基底.2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与C1MA.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b-c D.-12a-1答案C解析C1M=AM-AC1=12(AB+AD)-(AB+BC+CC1)=-13.在正四面体P-ABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若MN=xPA+yPB+zPC,则x+y+z的值为.

答案1解析如图所示,MN=MP+PN=-23PA+12PB+PC=-由空间向量基本定理得:x=-23,y=12,z=故x+y+z=134.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,AM=12MC1,点N为B1B的中点,则MN等于(用向量AB,BB1答案23AB+1解析∵MN=AN-AM=AN-1=AB+BN-13(AB+AD+A=23AB+1=23AB+16课时精练一、基础巩固1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底,当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p⇏q,q⇒p,故p是q的必要不充分条件.2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是()A.a B.bC.a+2b D.a+2c答案D解析能与p,q构成基底,则与p,q不共面.∵a=p+q2,b=p-q2,a+2b=∴A,B,C都不合题意.因为{a,b,c}为基底,∴a+2c与p,q不共面,可构成基底.3.{a,b,c}为空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z的值分别为()A.0,0,1 B.0,0,0 C.1,0,1 D.0,1,0答案B解析若x,y,z中存在一个不为0的数,不妨设x≠0,则a=-yxb-zxc,∴a,b,c共面,这与{a,b,c}是基底矛盾,故x=y=z4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若AB=a,AA1=c,BC=b,则下列向量与BM相等的是(A.-12a+12b+c B.12aC.-12a-12b+c D.12a答案A解析BM=BB1+B1M=AA1+12(B1A1+=c+12(-a+b)=-12a+12b5.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为()A.52,-1,-12 B.52,C.-52,1,-12 D.52,1答案A解析由题意得d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3,∵d=e1+2e2+3e3,∴x+y+z=16.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是()A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为空间的一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知A,B,M,N是空间中的四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面D.若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底答案ABC解析A中,假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb,∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使得d=kc,∵d≠0,∴k≠0,从而c=λka+μk∴c与a,b共面,与已知条件矛盾,∴d与a,b不共面,即A是真命题;B中,根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,显然B是真命题;C中,由BA,BM,BN有公共点B,所以A,B,M,N四点共面,即C是真命题;D中,∵a,b,c共面,∴{a,b,c}不能构成基底,故D错误.7.如图,O-ABC是四面体,G是△ABC的重心,G1是OG上一点,且OG=4OG1,则(A.OG1=16OAB.OG1=112OAC.OG1=118OAD.OG1=18OA答案B解析如图,连接AG并延长交BC于N,连接ON.由G是△ABC的重心,可得AG=23AN,ON=12(OB+则AG=23AN=23(ON=2=13OB+13则OG1=14OG=14(=1=112OA+1128.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用AC,AB1,AD1作为基向量,则A答案12(AD1+A解析∵2AC1=2AA1=(AA1+AD)+(AA1+AB)+(=AD1+AB∴AC1=12(AD1+9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD用a,b,c表示为.

答案12a-12b解析∵AB=-2CD,∴OB-OA=-2(OD-OC),∴b-a=-2(OD-c),∴OD=12a-12b+10.点P是矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,且PM=23PC,PN=ND,则满足MN=xAB+yAD+zAP的实数x,y,z的值分别是答案-23,-16解析如图,取PC的中点E,连接NE,则MN=EN-EM=12CD-(PM-PE)=12CD-2=-12AB-16(-AP+AB=-23AB-16比较知x=-23,y=-16,z=11.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E是上底面A'B'C'D'的中心,求下列各式中x,y,z的值.(1)BD'=xAD+yAB+zAA';(2)AE=xAD+yAB+zAA'.解(1)∵BD'=BD+DD'=BA+BC+DD'=-AB+AD+AA',又BD'=xAD+yAB+zAA',∴x=1,y=-1,z=1.(2)∵AE=AA'+A'E=AA'+1=AA'+12(A'B'+A'D'=AA'+12A'B'=12AD+12又AE=xAD+yAB+zAA',根据空间向量基本定理∴x=12,y=12,z二、综合运用12.(多选)设e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,则下列选项中能作为空间的一个基底的是()A.eB.{e1-e3,e2+e3,e1+e2}C.{e1-e2,e2-2e3,e3-3e1}D.{e1+e3,e2+e3,e1+e2}答案ACD解析对于A,设e1+e2,12e1+e3,e2+2e3三个向量共面,则存在唯一一对实数λ,μ使得e1+e2=λ12e1+e3+μ(e即e1+e2=12λe1+μe2+(λ+2μ)e3又e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,所以12λ所以e1+e2,12e1+e3,e2+2e3三个向量不共面,能作为一个基底对于B,因为(e1-e3)+(e2+e3)=e1+e2,所以e1-e3,e2+e3,e1+e2三个向量共面,故不能作为一个基底;对于C,设e1-e2,e2-2e3,e3-3e1三个向量共面,则存在唯一一对实数λ,μ,使得e1-e2=λ(e2-2e3)+μ(e3-3e1),即e1-e2=-3μe1+λe2+(μ-2λ)e3,又e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,所以-3μ=1所以e1-e2,e2-2e3,e3-3e1三个向量不共面,能作为一个基底;对于D,设e1+e3,e2+e3,e1+e2三个向量共面,则存在唯一一对实数λ,μ,使得e1+e3=λ(e2+e3)+μ(e1+e2),即e1+e3=μe1+(λ+μ)e2+λe3,又e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,所以μ所以e1+e3,e2+e3,e1+e2三个向量不共面,能作为一个基底.13.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=12DD1,记EF=xAB+yAD+zAA1,若x+y+z=14,则BE答案1解析设BEBB1=λ,因为EF=EB+BA+AD+DF=-λBB1-=-λAA1-AB+AD=-AB+AD+12所以x=-1,y=1,z=12-λ因为x+y+z=12-λ=1所以λ=1414.如图,在三棱锥O-ABC中,G是△ABC的重心(三条中线的交点),P是空间任意一点.(1)用向量OA,OB,OC表示向量OG,并证明你的结论;(2)设OP=xOA+yOB+zOC,x,y,z∈R,请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).解(1)OG=13(OA+OB+OC)证明如下:OG=OA+AG=OA+2=OA+23