人教A版高中数学选择性必修一第一课时　椭圆及其标准方程

3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程第一课时椭圆及其标准方程学习目标1.掌握椭圆的定义,能用文字语言与符号语言描述椭圆的定义.2.能根据建立的坐标系推导椭圆标准方程,会求椭圆的标准方程.3.能灵活应用椭圆的定义、标准方程解决焦点三角形问题.【引入】哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈,它的运行轨迹是椭圆形;橄榄球运动盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家,球的形状是椭圆形;夏天的时候,吃一口西瓜,沁人心脾,西瓜也是椭圆形;听见音乐就会翩翩起舞的“跳舞草”,它那椭圆形的身躯是那么优美……,其实生活中还有许许多多椭圆形的例子,你能再举一些例子吗?椭圆有着怎样的几何特征?它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢?一、椭圆的定义探究1取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?提示椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数,即绳长.探究2在上述活动中,如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长),那么动点M的轨迹是什么?提示线段(绳子上的任一点)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.温馨提示(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值,且定值必须大于两定点间的距离.(2)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.(3)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.例1(1)平面内到A(0,-3)和B(3,1)距离的和为6的动点轨迹为()A.椭圆 B.圆 C.线段 D.射线(2)到(0,-6)和(0,6)距离之和为12的点的轨迹为.

答案(1)A(2)线段解析(1)设动点为M,则|MA|+|MB|=6,|AB|=32+∵6>5,∴动点M的轨迹为椭圆.(2)因为动点到两定点距离的和为定值12,等于两定点间的距离,故为线段.思维升华1.判定点的轨迹是否为椭圆,关键看是否符合椭圆的定义;2.重点理解定义中“一动点、两定点”及“定值、大于”等关键词.训练1下列说法中正确的是()A.到点M(-4,0),N(4,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0,-4),N(0,4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C.到点M(-4,0),N(4,0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆D.到点M(0,-4),N(0,4)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案C解析由椭圆定义知,C正确.二、椭圆的标准方程探究3考虑到椭圆的对称性,我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立图示平面直角坐标系,试利用椭圆定义推导椭圆方程.提示设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).根据椭圆的定义,设点M与焦点F1,F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=(x|MF2|=(x所以(x+c)2+为了化简方程①,我们将其左边一个根式移到右边,得(x+c)2+对方程②两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x整理,得a2-cx=a(x-对方程③两边平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),④将方程④两边同除以a2(a2-c2),得x2a2+y由椭圆的定义可知2a>2c>0,即a>c>0,所以a2-c2>0.令b=a2那么方程⑤就是x2a2+y2b探究4如图,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别是(0,-c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?提示y2a2+x2b椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2+y2by2a2+x2b焦点(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的关系c2=a2-b2c2=a2-b2温馨提示(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.(2)两种椭圆x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=(3)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在对应的轴上.例2(链接教材P107例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点-3解(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为y2a2+x2b又椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以4a2所以所求椭圆的标准方程为y24+x(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为y2a2+x2b2由椭圆的定义知,2a=-322+5即a=10,又c=2,所以b2=a2-c2=6,所以所求椭圆的标准方程为y210+思维升华求椭圆标准方程的方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的方程.(2)待定系数法:先判断焦点的位置,设出标准方程的形式,最后由条件确定待定系数即可,即“先定位,后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.①与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为x2a②当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有两个优点:(ⅰ)列出的方程组中分母不含字母;(ⅱ)不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆x225+y29=1有相同焦点,且过点(2)[链接教材P115T4(1)]经过点P13,13解(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为x225+λ+y又椭圆过点(3,15),将x=3,y=15代入方程得925+λ+15解得λ=11或λ=-21(舍去),故所求椭圆的标准方程为x236+(2)法一①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为x2a2+y2b依题意,有1解得a由a>b>0知不符合题意,故舍去;②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为y2a2+x2b依题意,有1解得a所以所求椭圆的标准方程为y214法二设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则19m所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故椭圆的标准方程为y214三、椭圆定义的应用例3(1)(链接教材P109T3)如图,已知过椭圆x225+y216=1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.若|F1A|+|F1B|=14,则弦AB(2)已知点P是椭圆y25+x24=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,则△F1PF2答案(1)6(2)8-43解析(1)由椭圆方程x225+y216=1故由椭圆定义有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以|AB|=(|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|)-(|F1A|+|F1B|)=20-14=6.(2)由椭圆方程y25+x24=1可得a=5,b=2,在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos30°,∴4=(25)2-(2+3)|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=16(2-3).∴S△F1PF2=12|PF1|·|PF2思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S=b2tanθ训练3(1)(链接教材P145T7)已知P为椭圆x212+y23=1上一点,F1,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.

(2)已知P,Q为椭圆上两点且F1,F2为椭圆的两个焦点,当|PF1|=4时,|PF2|=8,则Q在运动过程中,|QF1|·|QF2|的最大值为.

答案(1)3(2)36解析(1)由已知得a=23,b=3,所以c=a2-b2从而|F1F2|=2c=6,在△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=43,即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2(2)由题意|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=4+8=12,由基本不等式|QF1|·|QF2|≤QF1|+当且仅当|QF1|=|QF2|=6时,等号成立,故|QF1|·|QF2|的最大值为36.【课堂达标】1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=4,动点M满足|MF1|+|MF2|=4,则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线C.圆 D.线段答案D解析2a=2c,则M为线段F1F2上的点.2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为()A.x24+y23=1 B.xC.y24+x23=1 D.y答案A解析由已知得c=1,又由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,则b2=3,∴椭圆的方程为x24+3.若方程x27-k+y2k-5=1表示椭圆,答案(5,6)∪(6,7)解析由7-k>0,k-5>0,7-k4.已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1答案11解析根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16,所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.课时精练一、基础巩固1.已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则A.9 B.4 C.3 D.2答案C解析由题意可知25-m2=16,解得m=3(负值舍去).2.点P为椭圆x24+y216=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若|PF1|=3,则|PF2|A.13 B.1 C.7 D.5答案D解析由已知得a=4,|PF2|=2a-|PF1|=8-3=5.3.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是()A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆答案AC解析当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.4.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足2b=45的椭圆方程是()A.x225+y220=1 B.C.x220+y245=1 D.答案B解析由9x2+4y2=36可得x24+y所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=9-4=5,又2b=45,所以b2=20,a2=25,所以所求椭圆方程为x220+5.设P为椭圆x24+y29=1上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|A.4 B.6 C.9 D.12答案C解析|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|·|PF2|≤(PF当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号.6.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)答案D解析∵方程x2+ky2=2,即x22+y22k∴2k>2,故0<k7.P是椭圆x216+y29=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2A.30° B.60° C.120° D.150°答案B解析由椭圆方程知a=4,b=3,c=7,所以|PF1|+|PF2|=8,由余弦定理得cos∠F1PF2=P=(=82-2×又因为0°≤∠F1PF2<180°,所以∠F1PF2=60°.8.椭圆x2100+y236=1的焦距是,答案16(-8,0),(8,0)解析由椭圆方程知,椭圆焦点在x轴上,且a2=100,b2=36,所以c2=a2-b2=64,解得c=8,所以焦距2c=16,两焦点的坐标分别是(-8,0),(8,0).9.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为.

答案y216+x解析由已知2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+x10.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,答案3解析由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,又PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,∴|PF1||PF2|=2b2,∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=12∴b=3.11.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆x22+y2=1有相同的焦点,且经过点(2)求焦点在坐标轴上,且经过A(3,-2)和B(-23,1)两点的椭圆的标准方程.解(1)设所求椭圆方程为x22-k+y2将点1,32代入,可得12-解得k=-2或k=74(舍去)故所求椭圆的标准方程为x24+(2)法一①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2依题意有(解得a故所求椭圆的标准方程为x215+②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2依题意有(-2)2a此时不符合a>b>0,所以方程组无解.故所求椭圆的标准方程为x215+法二设所求椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B),依题意有3A+4故所求椭圆的标准方程为x215+二、综合运用12.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点MA.±34 B.±C.±32 D.±答案D解析∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴3212+y23=1,即y∴y=±32∴点M的纵坐标为±3413.已知椭圆x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,23),则△APF答案14解析由椭圆方程x29+y25=1,b=5,c=a2设椭圆的左焦点为F',则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|,当且仅当A,P,F'三点共线,且P在AF'的延长线上时取等号.∵A(0,23),F'(-2,0),∴|AF'|=4,∴△APF的周长的最大值为14.14.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.解(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为x2a2+y2b2则a化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-165(舍去),a2=5故椭圆M的标准方程为x25+y(2)由(1)知F1(-2,0)