人教A版高中数学选择性必修一第一课时　用空间向量研究距离问题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第一课时用空间向量研究距离问题学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解,体会向量方法在研究几何问题中的作用.【引入】通过前几节课的学习,我们知道可以用向量来研究空间位置关系,那么对于点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题能否借助向量来求解哪?本节课我们就来探究这些问题.一、点到直线的距离探究1如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离?提示设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=|a|cos<a,u>·u=|a|a·u|a||u|u=(a·u)u在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为PQ=|AP|2设直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是l外一点,AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ=|AP|2温馨提示点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.例1(链接教材P42T6)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.解∵AB=1,BC=2,AA'=3,∴A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),所以直线A'C的方向向量A'C=(1,2,-3).法一取a=BC=(0,2,0),u=A'C|A'C|则a2=4,a·u=414所以点B到直线A'C的距离为a2-(a·u)法二BC=(0,2,0),所以BC在A'C上的投影长为|BC·A'C所以点B到直线A'C的距离为d=|BC|2-|BC思维升华1.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的单位方向向量u;(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a;(4)利用公式d=a2-2.平行线间的距离可以转化为点线距进行求解.训练1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.解如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),取a=PB=(3,0,-1),u=BD|BD|则a2=10,a·u=-95所以点P到直线BD的距离为a2-(a·u)二、点到平面的距离探究2已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.如何求平面α外一点P到平面α的距离?提示过点P作PQ⊥平面α,垂足为Q,则线段PQ的长度就是点到平面α的距离,而PQ∥n,所以向量PA在法向量n方向上的投影向量QP的长度就等于线段PQ的长度.已知平面α的法向量是n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离PQ=|AP·nn|=|AP·nn温馨提示实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.例2［链接教材P35T2(3)］在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=2.(1)求证:A1C∥平面AB1D;(2)求点C1到平面AB1D的距离.(1)证明如图,以D为坐标原点,分别以DC,DA所在直线为x轴、y轴,过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(1,0,0),B1(-1,0,2),A1(0,3,2),A(0,3,0),C1(1,0,2),A1C=(1,-3,-2),AB1=(-1,-AD=(0,-3,0).设平面AB1D的法向量为n=(x,y,z),则A即-∴y=0,x=2z.令z=1,则∴n=(2,0,1).∵A1C·n=1×2+(-3)×0+(-2)×∴A1C⊥∵A1C⊄平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D.(2)解由(1)知平面AB1D的一个法向量为n=(2,0,1),且C1A=(-1,3,∴点C1到平面AB1D的距离d=|C1A·n思维升华用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)求出该平面的一个法向量;(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量;(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.训练2已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面A1BC1的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),A1C1=(-4,6,0),A1B=(0BC1=(-4,0,3),A1B1设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·A取x=1,解得n=1,∴点B1到平面A1BC1的距离d=|A1B三、直线、平面到平面的距离探究3联想两条平行直线间的距离,如何求直线与平面或两个平行平面间的距离?提示在直线上或其中一个平面上取一定点,则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离.1.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.2.如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.温馨提示只有线面(或面面)平行时,才有线面(面面)距离.例3[链接教材P34例6(2)]如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离.解∵A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=3,∴B(1,23,0),∴AB=(0,23,0),BE=(-1,-3,1).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则n·AB∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1).∵AA1=(0,0,∴点A1到平面ABE的距离d=|AA1·n∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,∴直线A1B1与平面ABE的距离为2.思维升华用向量方法研究线、面距离问题的一般思路(1)将所求线面、面面距离转化为点面距.(2)确定直线的方向向量与平面的法向量.(3)代入公式求解.训练3(链接教材P35T3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,A1D1=(-1,设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1).∴点D1到平面A1BD的距离d=|A1D1·n由已知,平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离,∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33【课堂达标】1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到平面α的距离为()A.10 B.3 C.83 D.答案D解析因为A(-1,3,0),P(-2,1,4),所以AP=(-1,-2,4),又因为平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A在α内,所以P(-2,1,4)到α的距离为|AP|(-1,-22.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.32 B.22 C.3答案B解析∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),OA=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d=|n·OA|n3.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=22,0,22为l的一个单位方向向量,则点P(4,3,2)答案2解析因为PA=(-2,0,-1),n=22,0,∴点P到l的距离d=|PA|2-(4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1到平面ACD1的距离为.

答案3解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),所以AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),AA1=(0,设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则n令x=1,则n=(1,1,1).直线A1C1到平面ACD1的距离即点A1到平面ACD1的距离,故d=|n·AA1课时精练一、基础巩固1.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长为()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析取a=AB=(4,-5,0),u=AC|AC|所以BD=a2-(2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为()A.3a B.3a2 C.2答案D解析法一连接BD,AC交于点O(图略),则D1O=(2a)2+2法二如图建立空间直角坐标系,易得C(a,a,0),D1(0,a,2a),取a=CD1=(-a,0,2a),u=AC|则点D1到直线AC的距离为a2-(a·u)23.(多选)已知平面α的一个法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为平面α内一点,若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为()A.2 B.1 C.-3 D.-6答案AD解析因为AP=(0,1,2)-(x2,2x+1,2)=(-x2,-2x,0),n=(-1,-2,2),所以AP·n=x2+4x,|n|=1+4+4=3,所以点P到平面α的距离为d=|AP·n|n=|x2+44.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=(0,2,-3),AC=(-23,0,-3),AA1=-3,0A.94 B.32答案B解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB令z=2,则x=-3,y=3,所以n=(-3,3,2)是平面ABC的一个法向量.所以点A1到平面ABC的距离d=|AA1·n|n=5.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5 B.8 C.6013 D.答案C解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为60136.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36 B.33 C.2答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以DA1=(1,0,-1),DC1=(0,1,-1),AD=(-1,设平面A1C1D的一个法向量为m=(x,y,1),则m⊥D解得x=1,y=1,故m=(1显然平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=|AD·m|m=7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为()A.3λ B.22 C.23λ答案D解析以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),ED1=(-2,0,1),EF=(0,2,0),EM=(0,λ设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,得n=(1,0,2),所以点M到平面D1EF的距离为:d=|EM·n|n因为N为EM的中点,所以N到平面D1EF的距离为55,选8.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=.

答案2解析d=|n·OP9.直角△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=95,则点P到斜边AB的距离是.答案3解析以C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(4,0,0),B(0,3,0),P0,所以AB=(-4,3,0),AP=-4,取a=AP=-4,0,95,u则P到AB的距离为d=a2-(10.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为.

答案2解析取AB的中点O,连接OE.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz(其中z轴平行于BC),则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则n·AE令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d=|AD·n|n11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.解如图所示,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),∴EF=(1,-2,1),EG=(2,-1,-1),GA=(0,-1,0).设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则n·EF∴x=y=z,可取n=(1,1,1),∴点A到平面EFG的距离为d=|GA·n|n=即点A到平面EFG的距离为33二、综合运用12.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,则下列说法正确的有()A.AC⊥PBB.点C到直线PA的距离为27C.直线AB到平面PDC的距离为22D.点D到平面PBC的距离为4答案BD解析取AD的中点为E,连接PE.因为PA=PD,所以PE⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,23),所以AC=(-4,4,0),PB=(2,4,-23),所以AC·PB=-8+16=8≠0,所以AC不垂直于PB,故A中说法错误;PA=(2,0,-23),PC=(-2,4,-23),所以点C到直线PA的距离d1=PC2-PC故B中说法正确;CD=(0,-4,0),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n即-2令z=1,得x=-3,所以n=(-3,0,1),则点A到平面PDC的距离d2=|PA·n|n又AB=DC,AB⊄平面PCD,故AB∥平面PCD,所以直线AB到平面PDC的距离为23,故C中说法错误;设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则m·PB令c=2,得b=3,所以m=(0,3,2),所以点D到平面PBC的距离d3=|CD·m|m故D中说法正确.13.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biēnào),如图,已知在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为.

答案2解析以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系,如图,则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C(0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1),BM=(1,1,1),BA=(2,0,0),BP=(2,0,2).设n=(x,y,z)为平面ABM的法向量,则n·BA令z=-1,可得n=(0,1,-1),点P到平面MAB的距离d=|n·BP14.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.(1)求直线FC1到直线AE的距离;(2)求直线FC1到平面AB1E的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(1,1,1),E0,0,12,F1,1,12,C1(0,(1)因为AE=-1,0,12所以AE∥FC1,即AE∥FC所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离.取u=AE|AE|又AF=0,所以AF2=54,AF·u=所以直线FC1到直线AE的距离为54-5(2)因为AE∥FC1,FC1⊄平面AB1E,AE⊂平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离.C1B1=(1,0,0),AB1=(0设平面AB1E的法向量为n=(x,y