人教A版高中数学选择性必修一2.3.4　两条平行直线间的距离

2.3.4两条平行直线间的距离学习目标1.理解两条平行线间的距离公式的推导.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.【引入】前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式,关于平面上的距离问题,两条平行直线间的距离也是值得研究的,我们本节课就来探究一下该知识.一、两条平行直线间的距离公式探究1如图所示,已知两平行直线l1,l2的方程,并且从l1上任选一点P(x0,y0),思考如何求出l1,l2的距离.提示只需求出P(x0,y0)到l2的距离,即为直线l1,l2的距离.探究2如果给出两条平行线的方程为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,且C1≠C2).试用点线距离的求法求平行线间的距离并作进一步化简.提示在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离,就是这两条平行直线间的距离即d=Ax因为点P(x0,y0)在直线Ax+By+C1=0上,所以Ax0+By0+C1=0,即Ax0+By0=-C1,因此d=Ax0+By两条平行直线间的距离(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.(2)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=|C温馨提示(1)两条平行线间距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且x,y分别对应的系数相等的情况.(2)如果两平行直线的方程中x,y的系数对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.例1(链接教材P78例7、P79练习T1)求下列平行线之间的距离.(1)l1:3x-4y+2=0,l2:3x-4y-8=0;(2)l1:y=2,l2:y+1=0;(3)l1:2x-y+1=0,l2:4x+my-3=0.解(1)法一在l1上任选一点,如0,12,则l1,l2的距离即为0,12到l2:3x-4y-8=0的距离法二直接用平行线间的距离公式d1=|2-(-8)|3(2)l1:y=2,l2化为y=-1,则l1,l2的距离d2=|2-(-1)|=3.(3)由题知l1∥l2,即l1可化为4x-2y+2=0,∴m=-2.d3=|2-(-3)|42+思维升华求两条平行直线间距离的方法(1)转化法:将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离,即化线线距为点线距来求.(2)公式法:设直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,且C1≠C2),则两条平行直线间的距离d=|C(3)两直线都与x轴垂直时,d=|x1-x2|;都与y轴垂直时,d=|y1-y2|.训练1(1)分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是.

(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1:x+y-1=0与l2:x+y-3=0所截得的线段为AB,则AB的长为()A.1 B.2 C.3 D.2答案(1)5(2)B解析(1)两直线方程分别是x=-2和x=3,故两条直线间的距离d=|-2-3|=5.(2)由题意,可得直线m与直线l1,l2垂直,则由两平行线间的距离公式,得|AB|=|-1+3|1二、由两平行直线之间的距离求参数例2(1)若两平行直线3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离是21313,求c(2)求与两条平行直线l1:2x-3y+4=0,l2:2x-3y-2=0距离相等的直线l的方程.解(1)由两直线平行得a=-4,方程3x-2y-1=0可化为6x-4y-2=0,应用距离公式得c+2|6解得|c+2|=4,所以c+2a=(2)设所求直线l的方程为2x-3y+C=0.由直线l到两条平行直线的距离相等得C-4|2即|C-4|=|C+2|,解得C=1.∴所求直线l的方程为2x-3y+1=0.思维升华1.注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及绝对值方程的求解.2.巧用平行直线系设方程,利用平行线之间的距离公式求参数.训练2(1)已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于()A.-12 B.48C.36 D.-12或48(2)(链接教材P79练习T2)(多选)若直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为25,则实数c的值为()A.9 B.-9 C.11 D.-11答案(1)D(2)BC解析(1)将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由|10-c62+82=3,所以b+c=-12或48.(2)∵直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为25,∴|-1+c5解得c=11或c=-9.三、两平行直线间的距离的最值问题例3两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(-3,-1)两点,如果两条平行直线间的距离为d,求:(1)d的取值范围;(2)当d取最大值时,两条直线的方程.解(1)如图,当两条平行直线与AB垂直时,两平行直线间的距离最大,为d=|AB|=(6+3)2+(2+1)当两条平行线各自绕点B,A逆时针旋转时,距离逐渐变小,越来越接近于0,所以0<d≤310,即所求的d的取值范围是(0,310].(2)当d取最大值310时,两条平行线都垂直于AB,它们的斜率k=-1kAB=-故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.思维升华应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围.训练3(1)P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.95 B.185 C.29(2)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是.

答案(1)C(2)x+2y-3=0解析(1)易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行,故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离,故d=52+125(2)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB=-1-10-1=2所以直线l1,l2的斜率为-12所以直线l1的方程为y-1=-12(x-1)即x+2y-3=0.【课堂达标】1.平行直线l1:3x-y=0与l2:3x-y+10=0的距离等于()A.1 B.0 C.10 D.3答案A解析l1,l2的距离为d=|102.(多选)到直线2x+y+1=0的距离等于55的直线的方程可能为(A.2x+y-1=0 B.2x+y-2=0C.2x+y=0 D.2x+y+2=0答案CD解析因为所求直线与直线2x+y+1=0的距离为55所以可得所求直线与已知直线平行,设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠1),则d=c-1|2解得c=0或c=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.3.直线y=2x与y=mx+n(n>0)平行且距离为5,则mn=.

答案10解析易知m=2,由n-0|m2+得n=5(-5舍去),故mn=2×5=10.4.设两条平行线分别经过点(3,0)和(0,4),它们之间的距离为d,则d的取值范围是.

答案(0,5]解析d的最大值即为点(3,0)和(0,4)之间的距离5,∴0<d≤5.课时精练一、基础巩固1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为()A.1 B.2 C.3 D.2答案B解析d=|1+1|12+2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()A.4 B.21313 C.5答案D解析因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m,所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0由两条平行直线间的距离公式可得d=|12-(-3)|323.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则()A.a=6,d=63 B.a=-6,d=C.a=-6,d=53 D.a=6,d=答案D解析根据两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0,可得a2=-3-1≠43,可得两条平行直线为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,故它们间的距离d=|9-4|36+94.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于5,则实数a的取值范围为()A.(-∞,4] B.[-16,4]C.[-4,16] D.[4,16]答案B解析直线2x+y-3=0化为4x+2y-6=0,则两直线之间的距离d=a+6|4即|a+6|≤10,解得-16≤a≤4,故选B.5.(多选)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是25,则m+n的可能值为()A.3 B.-17 C.-3 D.17答案AB解析由题意,n≠0,-2n=1所以n=-4,所以l2:2x-4y-6=0,即x-2y-3=0,由两平行直线间的距离公式得m+3|1解得m=7或m=-13,所以m+n=3或m+n=-17.6.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为()A.22 B.C.22或2 D.0或答案B解析∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,∴m+4m=m+42,∴直线l1:2x+2y-4-2=0,即x+y-3=0,∴直线l1与直线l2平行,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为|-1+3|27.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|等于()A.32 B.31313答案D解析3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间的距离d1=|1-4|34x-6y+c1=0与4x-6y+c2=0间的距离d2=|c1-c2|42+6又由正方形特点可知d1=d2,即31313=1326|c1-c解得|c1-c2|=6.8.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点,则|PQ|的最小值为.

答案5解析3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0.|PQ|的最小值即为两平行线间距离,为|1-(-24)|69.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为132,则C=.答案11或-15解析两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0,可得A=3,即两直线方程为6x-4y-2=0,6x-4y+C=0,两平行直线间的距离为132可得C+2|6解得C=11或-15.10.若直线l1:y=kx+1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2恒过定点,l1与l2的距离的最大值是.

答案(4,5)42解析∵直线l1:y=kx+1经过定点(0,1),又两直线关于点(2,3)对称,则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称,∴直线l2恒过定点(4,5),∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离,即为(4-0)2+(5-1)11.(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线的方程;(2)求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是3105解(1)设所求直线的方程为3x+4y+m=0.由题意知m+2|解得m=3或-7,所以所求直线的方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.(2)设所求直线的方程为3x-y+c=0,由题意,可得点P到直线的距离等于310即d=|-3+c10解得c=9或c=-3,所以所求直线的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.二、综合运用12.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的最大值为()A.1 B.3 C.5 D.7答案C解析当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2间的最大距离为|PQ|=(-1-2)213.若某直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,则该直线的倾斜角大小为.

答案15°或75°解析由两平行直线的距离公式,可得直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0的距离为d=|3-1|2又直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,即该直线与直线l1所成角为30°,又直线l1的倾斜角为45°,则该直线的倾斜角大小为15°或75°.14.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.(1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离;(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程.解(1)若l1∥l2,则m≠0且m≠3,∴13-m=∴m=6,∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0,∴l1,l2之间的距离d=51+4=5(2)由题意,得m>0∴0<m<3,直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=12m(3-m)=-12m∴当m=32时,S的最大值为9此时直线