人教A版高中数学选择性必修一第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用

第二课时双曲线的标准方程及性质的应用学习目标1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法.2.会求解有关弦长问题.3.会解决直线与双曲线的综合问题.【引入】上节课我们学习了双曲线的几何性质,熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝,这节课我们将在已有知识的基础上,进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质,并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.一、直线与双曲线的位置关系探究1类比直线与椭圆的位置关系,分析直线与双曲线有哪几种位置关系.提示三种.分别为相交、相切、相离.探究2画出一条双曲线,观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系.提示图略.当直线与渐近线平行时,直线与双曲线只有一个交点,但并非相切关系,所以不能用公共点个数来区分.直线与双曲线位置关系的判断设直线l:y=kx+m(m≠0),①双曲线C:x2a2-y2b2=1(a将①代入②,得Ax2+Bx+C=0.(1)当A=0时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C相交于一点.(2)当A≠0时,①Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点,此时直线与双曲线相交;②Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点,此时直线与双曲线相切;③Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点,此时直线与双曲线相离.温馨提示(1)相交时可能有一个或两个公共点;有一个公共点时,直线与双曲线可能相切或相交.(2)消元后注意二次项的系数,二次项系数可能为0,此时,直线与双曲线的渐近线平行.例1已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.解联立x2-y得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).(1)由4-3得-233<k<233且此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的公共点.(2)由4-3k2=0,1-此时方程(*)有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点;当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x=5,故方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点.故当k=±233或±1直线l与双曲线有且只有一个公共点.(3)由4-3k2<0,1-k2≠0此时方程(*)无实数解,即直线l与双曲线无公共点.思维升华1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.2.双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.训练1已知双曲线x2-y24=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的斜率解当直线l的斜率不存在时,l:x=1与双曲线相切,符合题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.当4-k2=0时,k=±2,l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个公共点;当4-k2≠0时,令Δ=0,得k=52综上,k=52或k=±2或k不存在二、双曲线的弦长及中点弦问题例2(1)已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在直线的方程为()A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0(2)(链接教材P126例6)斜率为2的直线l与双曲线x23-y22=1交于A,B两点,且|AB|=4,则直线l答案(1)A(2)y=2x±210解析(1)设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2x12-y12=2,2x两式相减,得2(x1-x2)·(x1+x2)-(y1-y2)·(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0,则kPQ=43因此直线PQ的方程为y-3=43(x-2)即4x-3y+1=0,经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.因此符合题意的直线的方程为4x-3y+1=0.(2)设直线l的方程为y=2x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),把y=2x+m代入双曲线的方程2x2-3y2-6=0,得10x2+12mx+3m2+6=0,由Δ>0得m<-10或m>10.故x1+x2=-65m,x1x2=3m2由已知,得|AB|2=(1+4)[(x1+x2)2-4x1x2]=16.③把①②代入③,解得m=±2103,满足题意∴直线l的方程为y=2x±2103思维升华双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中的类似,解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.训练2(链接教材P128T13)已知双曲线的方程为x2-y22=1.试问:双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在直线的方程;如果不存在,解法一设被点B(1,1)所平分的弦所在直线的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y22=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<32.设弦的两端点为M(x1,y1)N(x2,y2),则x1+x2=2k∵点B(1,1)是弦的中点,∴k(k-1)k2-2=1故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦.法二设双曲线上存在被点B平分的弦MN,且点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,且x由①-②得(x1+x2)(x1-x2)-12(y1+y2)(y1-y2)=0∴kMN=y1-∴直线MN的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.由y=2x-1,x2-y22又Δ=-8<0,∴直线MN与双曲线不相交,故双曲线上不存在被点B平分的弦.三、直线与双曲线的综合问题例3设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD.求t的值及点D的坐标解(1)由题意,知a=23,所以一条渐近线方程为y=b23即bx-23y=0,所以|bc|b2+12又c2=a2+b2=12+b2,所以b2(12+b2)=3(b2+12),所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),则由OM+ON=tOD,得(x1,y1)+(x2,y2)=t(x0,y0),所以x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程,消去y得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=33x1-2+33x2-2=33(x1+x所以x0>0由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),所以t=4,点D的坐标为(43,3).思维升华解决综合问题时,可以仿照椭圆的处理思路,借助于方程思想,将问题进行化归,然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.训练3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b(1)求双曲线C的方程;(2)直线l的方程为x+y-2=0,l与曲线C交于A,B两点,求△OAB的面积.(O为原点).解(1)由题意,知2a=2,则a=1.又e=ca=2,所以c=2则b=4-1=3,故双曲线C的方程为x2-y2(2)将y=-x+2代入x2-y23=1中,并化简得:2x2+4x设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=-72∴|AB|=2(原点O(0,0)到直线的距离d=22=2故S△OAB=12|AB|d=12×6×2=3【课堂达标】1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析直线与双曲线有唯一交点时,直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时);直线与双曲线相切时,直线与双曲线一定有唯一交点.2.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是()A.(1,2) B.(-2,-1)C.(-1,-2) D.(2,1)答案C解析将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为x1+x2纵坐标为-1-1=-2.3.过双曲线x29-y23=1的左焦点,且垂直于x答案2解析法一由题意知双曲线的左焦点为(-23,0),将x=-23代入双曲线的方程得y=±1,则该弦长为2.法二由通径公式得2b2a4.过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=答案43解析由双曲线方程可得右焦点为(2,0),渐近线方程为y=±3x,把x=2代入渐近线方程,得y=±23,故|AB|=43.课时精练一、基础巩固1.直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0A.1 B.2 C.1或2 D.0答案A解析由题意,双曲线x2a2-y2b2=1(可得其渐近线方程为y=±bax因为直线y=bax+3与双曲线的一条渐近线y=bax所以它与双曲线只有1个交点.2.(多选)若直线x=a与双曲线x24-y2=1有两个交点,则a的值可以是(A.4 B.2 C.1 D.-3答案AD解析因为在双曲线x24-y2=1x≥2或x≤-2,若x=a与双曲线有两个交点,则a>2或a<-2,故只有A,D符合题意.3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,与直线y=12x交于A,B两点,若|AB|=215,则该双曲线的方程为(A.x2-y2=6 B.x2-y2=9C.x2-y2=16 D.x2-y2=25答案B解析设等轴双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0),与y=12x联立,得34x2-a设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=0,x1·x2=-4a∴|AB|=1+122×43∴a=3,故选B.4.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(A.13 B.12 C.2答案D解析由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-y23=1,得y所以|PF|=3.又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=35.双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距是4,其渐近线与圆C2:(x+2)2+y2=1相切,则双曲线A.x215-y2=1 B.x2C.x22-y26=1 D.x答案D解析由题意可得2c=4,得c=2.因为双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线bx±ay=0与圆C2:(x+2)2+y2=1相切,所以|所以a2=c2-b2=3,所以双曲线C1的方程为x23-y2=1,6.若直线y=kx与双曲线x2-y2=1的两支各有一个交点,则实数k的取值范围是()A.(-1,0) B.(0,1)C.(-1,1) D.(1,+∞)答案C解析直线y=kx过原点,且与双曲线x2-y2=1的两支各有一个交点,可得直线y=kx一定在两渐近线之间,如图,因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以k∈(-1,1).7.已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1 B.C.x26-y23=1 D.答案B解析由已知易得直线l的斜率k=-15-0-12-3=1设双曲线E的方程为x2a2-y2b2=1(A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2-x22a2-x1+x2=-24,y1+y2=-30,由①②得y1-y2x1-又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为x24-8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A,B,点P为双曲线上除A,B外任意一点,且点P与点A,B连线的斜率分别为k1,k2,若k1k2答案y=±3x解析设点P(x,y),由题意知k1·k2=yx-a·yx+a=y所以其渐近线方程为y=±3x.9.以A(2,1)为中点的双曲线C:2x2-y2=2的弦所在直线的方程为.

答案4x-y-7=0解析设A(2,1)是弦P1P2的中点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,∵P1,P2在双曲线上,∴2∴2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,∴2×4(x1-x2)=2(y1-y2),∴k=y1∴以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=4(x-2),整理得4x-y-7=0.联立4x-y-7=0,2x2∵Δ=(-56)2-4×14×51=280>0.∴以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x-y-7=0.10.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-y22=1交于不同的两点A,B.若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值为答案±1解析由x-y+m=0,x2-y22=1,消去y,得x2-2mx-m设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,∴线段AB中点的坐标为(m,2m).又∵点(m,2m)在圆x2+y2=5上,∴5m2=5,∴m=±1.11.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.解双曲线方程可化为x2-y23故a2=1,b2=3,c2=a2+b2=4,∴c=2,∴F2(2,0).又直线l的倾斜角为45°,∴直线l的斜率k=tan45°=1,∴直线l的方程为y=x-2,代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∵x1·x2=-72<0∴A,B两点不位于双曲线的同一支上.∵x1+x2=-2,x1·x2=-72∴|AB|=1+=2·(-2)2二、综合运用12.(多选)已知双曲线C:x23-y2m=1(m>0)过点(3,2),A.C的焦距为4B.C的离心率为3C.C的渐近线方程为y=±33D.直线2x-3y-1=0与C有两个公共点答案AC解析由双曲线C:x23-y2m=1过点(3可得m=1,则双曲线C的标准方程为x23-y所以a=3,b=1,c=a2+因为双曲线C的焦距为2c=4,所以A正确;因为双曲线C的离心率为ca=23=所以B不正确;因为双曲线C的渐近线方程为y=±33x所以C正确;将直线2x-3y-1=0与双曲线x23-y2=1消去y可得3x2-4x+4=0,Δ=(-4)2-4×3×4=-32<0,所以直线2x-3y-1=0与双曲线C没有公共点,所以D不正确.13.在平面直角坐标系Oxy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:x24-y2=1上,且AP=3PB,则直线AB的斜率为答案±5解析设直线AB的方程为x=my+4.由x得(m2-4)y2+8my+12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1∵AP=(4-x1,-y1),PB=(x2-4,y2),AP=3PB,∴y1=-3y2,代入①,得y即(4m)2(m2-4)2=∴m=±25因此直线AB的斜率为1m=±514.设A,B为双曲线x2-y22=1上的两点,线段AB的中点为M(1,2).(1)直线AB的方程;(2)△OAB的面积(O为坐标原点).解(1)显然直线AB的斜率存在,法一设直线AB的方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k.由y=kx+2-整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则1=x1+x22=当k=1时,满足Δ>0,∴直线AB的方程为y=x+1.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),由x12-y122=1,(x1+x2)(x1-x2)=12(y1+y2