北京市部编版高中数学高三上册第9章数列习题

2026年北京市部编版高中数学高三上册第9章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可知{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项C正确。3.已知数列{c_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的通项公式c_n等于（）A.3^nB.2•3^(n-1)C.3^n-3^(n-1)D.2•3^n-1解析：当n=1时，c_1=T_1=2；当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=2•3^(n-1)。故c_n=2•3^(n-1)。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，解得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2•(d_2q^2)=81，代入d_2=9/q得(9/q)•(9/q^2)=81，解得q=±3。选项A正确。5.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=√(e_n+3)（n∈N），则该数列的极限值等于（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，则L=L+3/L，解得L=±√3。由于e_n>0，故L=√3。选项C正确。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列的第5项f_5等于（）A.30B.31C.32D.33解析：f_5=S_5-S_4=2×5^2+5-(2×4^2+4)=50+5-40-4=11。选项B正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的S_9等于（）A.81B.108C.135D.162解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。S_9=9/2×(a_1+a_9)=9/2×(a_3+6d+a_3-2d)=9/2×(a_3+a_3+4d)=9/2×18=81。选项A正确。8.已知数列{h_n}满足h_n=2n+1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.n(n+2)B.n(n+1)C.n(n+3)D.n(n+4)解析：S_n=3+5+7+…+(2n+1)=n^2+n。选项B正确。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=6，p_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质p_4=p_2q^2，代入6q^2=54，解得q=±3。选项A正确。10.已知数列{q_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列的第3项q_3等于（）A.6B.7C.8D.9解析：q_3=T_3-T_2=9+3-(4+2)=6。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的公差为2，且a_5=11，则该数列的通项公式a_n=_________。解：a_n=a_1+2(n-1)，由a_5=11可得a_1+8=11，解得a_1=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n=_________。解：{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列的第4项c_4=_________。解：c_4=T_4-T_3=(2^4-1)-(2^3-1)=16-8=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则该数列的公比q=_________。解：q^2=d_5/d_3=96/12=8，解得q=±2√2。5.已知数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)+5（n≥2），且e_1=2，则该数列的通项公式e_n=_________。解：{e_n}是首项为2，公差为5的等差数列，e_n=2+5(n-1)=5n-3。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第5项f_5=_________。解：f_5=S_5-S_4=25+5-(16+4)=10。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=3，a_6=27，则该数列的公差d=_________。解：d=(a_6-a_1)/(6-1)=(27-3)/5=4。8.已知数列{h_n}满足h_n=2n-1，则该数列的前n项和S_n=_________。解：S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。9.在等比数列{p_n}中，若p_1=2，p_3=8，则该数列的公比q=_________。解：q^2=p_3/p_1=8/2=4，解得q=±2。10.已知数列{q_n}的前n项和T_n=3^n-1，则该数列的第3项q_3=_________。解：q_3=T_3-T_2=(27-1)-(9-1)=17。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（×）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，但a_1=S_1=3≠4×1-1，故该数列不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2•b_4=b_3^2，则该数列的公比q一定为正数。（×）解：等比数列中b_2•b_4=b_3^2成立，但公比q可正可负，如b_n=(-1)^n•2^n，此时b_2•b_4=(-1)^2•2^2=4，b_3^2=(-1)^2•2^2=4，但q=-2。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n∈N），则该数列是等差数列。（√）解：由c_n+1-c_n=2，可知{c_n}是公差为2的等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则该数列的S_9=90。（√）解：S_9=9/2×(a_1+a_9)=9/2×20=90。5.已知数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)•3（n≥2），且e_1=1，则该数列是等比数列。（√）解：{e_n}是首项为1，公比为3的等比数列。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第4项f_4=12。（×）解：f_4=S_4-S_3=16+4-(9+3)=8。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=12，g_5=96，则该数列的公比q=±4。（√）解：q^2=g_5/g_3=96/12=8，解得q=±2√2。8.已知数列{h_n}满足h_n=h_(n-1)+5（n≥2），且h_1=2，则该数列的通项公式h_n=5n-3。（√）解：{h_n}是首项为2，公差为5的等差数列，h_n=5n-3。9.在等差数列{i_n}中，若i_1=3，i_6=27，则该数列的公差d=4。（√）解：d=(i_6-i_1)/(6-1)=(27-3)/5=4。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列的第2项j_2=3。（√）解：j_2=T_2-T_1=(4-1)-(2-1)=3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），求该数列的通项公式a_n。解：a_n+1+1=2(a_n+1)，可知{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2+n，求该数列的第3项b_3。解：b_3=S_3-S_2=12+3-(9+2)=4。3.在等差数列{c_n}中，若a_1=5，a_4=13，求该数列的公差d。解：d=(a_4-a_1)/(4-1)=(13-5)/3=3。4.已知数列{d_n}满足d_n=2n-1，求该数列的前5项和S_5。解：S_5=1+3+5+7+9=25。5.在等比数列{e_n}中，若p_1=2，p_4=32，求该数列的公比q。解：q^3=p_4/p_1=32/2=16，解得q=2。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第2项f_2。解：f_2=T_2-T_1=6-3=3。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的S_10。解：a_5=(a_3+a_7)/2=10，S_10=10/2×(a_1+a_{10})=10×20=200。8.已知数列{h_n}满足h_n=h_(n-1)+4（n≥2），且h_1=1，求该数列的通项公式h_n。解：{h_n}是首项为1，公差为4的等差数列，h_n=1+4(n-1)=4n-3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若该工厂2020年的生产能力为100万件，求2023年的生产能力。解：设2023年的生产能力为P，则P=100×(1+20%)^3=100×1.2^3=172.8万件。2.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若2020年该城市人口为100万，求2025年的人口数量。解：设2025年人口为P，则P=100×(1+1.5%)^5=100×1.015^5≈107.7万。3.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资10万元，求第5年的投资额。解：第5年的投资额=100+(5-1)×10=150万元。4.某林场计划每年比上一年多植树500棵，若第一年植树1000棵，求第8年的植树数量。解：第8年的植树数量=1000+(8-1)×500=4500棵。5.某产品成本每年下降5%，若2020年成本为100元，求2024年的成本。解：2024年成本=100×(1-5%)^4=100×0.95^4≈81.5元。6.某城市地铁线路长度每年增加10公里，若2020年线路长度为100公里，求2025年的线路长度。解：2025年线路长度=100×(1+10%)^5=100×1.1^5≈161.1公里。7.某工厂计划每年比上一年提高工资10%，若2020年员工工资为5000元，求2023年的工资。解：2023年工资=5000×(1+10%)^3=5000×1.1^3≈6690元。8.某企业计划每年比上一年减少库存10%，若2020年库存为1000件，求2024年的库存。解：2024年库存=1000×(1-10%)^4=1000×0.9^4≈656件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.A5.C6.B7.A8.B9.A10.A二、填空题1.2n+12.3^n3.2n-14.±2√25.5n-36.107.48.n^29.±210.17三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.解：a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，可知{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1。2.解：b_3=S_3-S_2=12+3-(9+2)