北师大版初中数学九年级下册第7章同步练习题

2026年北师大版初中数学九年级下册第7章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如图，在平面直角坐标系中，点A（1，2）、B（3，0）、C（0，4），将△ABC沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点C′的坐标为（）A.（-3，6）B.（-3，-2）C.（3，6）D.（3，-2）解析：将△ABC沿x轴向左平移3个单位长度，点C（0，4）的横坐标变为0-3=-3；再沿y轴向上平移2个单位长度，点C的纵坐标变为4+2=6，故点C′的坐标为（-3，6）。选项B、C、D均不符合平移规律，故正确答案为A。2.已知反比例函数y=（m-2）x^2的图像经过点（-1，3），则m的值为（）A.-4B.0C.4D.-2解析：反比例函数的标准形式为y=k/x（k≠0），题中函数y=（m-2）x^2不符合反比例函数的定义，但若理解为反比例函数y=k/x，则m-2=k，代入点（-1，3）得3=k/(-1)，解得k=-3，故m-2=-3，解得m=-1。选项均不符合计算结果，需重新核对题目条件或选项设置。3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为AB边上的动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则四边形DECF的面积随点D运动变化的规律是（）A.随点D运动而变化B.保持不变C.先增大后减小D.先减小后增大解析：由题意可知，四边形DECF由两个直角三角形DEA和DFB组成，其面积之和等于△ABC的面积。由于△ABC的面积=1/2×AC×BC=1/2×6×8=24，且DE和DF分别为△ABC的高，因此四边形DECF的面积始终等于△ABC的面积的一半，即12，故其面积保持不变。正确答案为B。4.已知关于x的一元二次方程x^2-2(m+1)x+m^2-3=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.m＜-2B.m＞2C.m＜-2或m＞2D.-2＜m＜2解析：一元二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根的条件是判别式Δ=b^2-4ac＞0。题中方程的判别式Δ=[-2(m+1)]^2-4(m^2-3)=4(m+1)^2-4(m^2-3)=4m^2+8m+4-4m^2+12=8m+16＞0，解得m＞-2。正确答案为D。5.如图，在圆O中，弦AB=8，弦CD=6，且AB∥CD，圆心O到弦AB的距离为3，则圆心O到弦CD的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：由垂径定理可知，圆心到弦的距离等于圆心到弦所对圆周角平分线的距离。设圆心O到弦CD的距离为d，则由勾股定理得OA^2=OD^2+AD^2，即r^2=d^2+(AB/2)^2，同理r^2=(3-d)^2+(CD/2)^2，解得d=2。正确答案为B。6.已知一个样本数据为：3，x，5，7，9，其平均数为6，则这个样本的中位数是（）A.5B.6C.7D.无法确定解析：样本的平均数为(3+x+5+7+9)/5=6，解得x=6。将样本数据按从小到大排序为3，5，6，7，9，中位数为第3个数，即6。正确答案为B。7.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=60°，AD=2，BC=4，则四边形ABCD的周长为（）A.8B.10C.12D.14解析：由题意可知，四边形ABCD的四个内角均为60°，因此四边形ABCD为圆内接四边形。根据圆内接四边形的性质，对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。又因为∠A=∠B=∠C=60°，所以∠D=120°。设AB=CD=a，则由正弦定理得a=AD/2sin60°=2/√3×√3=2，故四边形ABCD的周长=2+4+2+2=10。正确答案为B。8.已知函数y=kx+b的图像经过点（1，3）和点（-2，-5），则当x=3时，y的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由题意得方程组：k+b=3-2k+b=-5解得k=2，b=1，故函数解析式为y=2x+1。当x=3时，y=2×3+1=7。选项均不符合计算结果，需重新核对题目条件或选项设置。9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E、F分别为AD、BC边上的动点，且DE=CF，则四边形AECF的周长最小值为（）A.7B.8C.9D.10解析：由题意可知，四边形AECF的周长=AE+EC+CF+AF。当点E、F分别在AD、BC边上运动时，四边形AECF的周长随点E、F的位置变化而变化。当点E、F分别在AD、BC边的中点时，四边形AECF的周长最小，此时AE=AF=2，EC=CF=1.5，故周长最小值=2+1.5+1.5+2=7。正确答案为A。10.已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（2，-3），且抛物线与y轴交于点（0，1），则抛物线的解析式为（）A.y=-x^2+4x+1B.y=x^2-4x+1C.y=-x^2-4x+1D.y=x^2+4x-1解析：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（2，-3），故抛物线的解析式可表示为y=a(x-2)^2-3。又因为抛物线与y轴交于点（0，1），代入得1=a(0-2)^2-3，解得a=2，故抛物线的解析式为y=2(x-2)^2-3=2x^2-8x+5。选项均不符合计算结果，需重新核对题目条件或选项设置。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知点P（a，b）在第四象限，且a^2+b^2=25，则点P到x轴的距离为______。参考答案：4解析：由题意可知，点P在第四象限，故a＞0，b＜0。又因为a^2+b^2=25，所以点P到原点的距离为5。设点P到x轴的距离为d，则由勾股定理得5^2=d^2+(a-0)^2，解得d=4。2.若关于x的一元二次方程x^2-2kx+k^2=0的一个根为1，则k的值为______。参考答案：1解析：由题意可知，1是一元二次方程x^2-2kx+k^2=0的一个根，代入得1-2k+1=0，解得k=1。3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若BC=6，则DE=______。参考答案：3解析：由题意可知，D、E分别为AB、AC边上的中点，根据三角形中位线定理，DE平行于BC且DE=1/2BC，故DE=3。4.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（2，-3），则k的值为______。参考答案：-6解析：由题意可知，反比例函数y=k/x的图像经过点（2，-3），代入得-3=k/2，解得k=-6。5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA=______。参考答案：4/5解析：由题意可知，Rt△ABC的斜边AB=√(AC^2+BC^2)=√(3^2+4^2)=5，故sinA=BC/AB=4/5。6.已知函数y=2x+1和y=-x+3的图像交于点P，则点P的坐标为______。参考答案：（2，5）解析：由题意可知，函数y=2x+1和y=-x+3的图像交于点P，联立方程组：2x+1=-x+3解得x=2，代入y=2x+1得y=5，故点P的坐标为（2，5）。7.如图，在圆O中，弦AB=8，弦CD=6，且AB∥CD，圆心O到弦AB的距离为3，则圆心O到弦CD的距离为______。参考答案：2解析：由题意可知，圆心O到弦AB的距离为3，根据垂径定理，圆心O到弦CD的距离等于圆心O到弦AB的距离减去AB和CD的距离之差的一半。由于AB∥CD，故AB和CD的距离为AB-CD=8-6=2，故圆心O到弦CD的距离=3-2/2=2。8.已知一个样本数据为：2，4，6，8，10，其方差为______。参考答案：8解析：样本数据的平均数为(2+4+6+8+10)/5=6，方差s^2=[(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]/5=8。9.已知一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______。参考答案：15π解析：由题意可知，圆锥的侧面积=πrl=π×3×5=15π。10.已知函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），且抛物线与y轴交于点（0，1），则抛物线的解析式为______。参考答案：y=-x^2+2x+1解析：由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，-2），故抛物线的解析式可表示为y=a(x-1)^2-2。又因为抛物线与y轴交于点（0，1），代入得1=a(0-1)^2-2，解得a=3，故抛物线的解析式为y=3(x-1)^2-2=3x^2-6x+1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a^2=b^2，则a=b。参考答案：×解析：由题意可知，a^2=b^2等价于a=b或a=-b，故a不一定等于b。2.在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。参考答案：√解析：由直角三角形的性质可知，30°角所对的边等于斜边的一半。3.若反比例函数y=k/x的图像经过第二、四象限，则k＞0。参考答案：×解析：若反比例函数y=k/x的图像经过第二、四象限，则k＜0。4.在四边形ABCD中，若AB∥CD，则四边形ABCD一定是平行四边形。参考答案：×解析：在四边形ABCD中，若AB∥CD，则四边形ABCD不一定是平行四边形，可能是梯形。5.若一个样本数据的中位数为5，则这个样本中一定存在一个数等于5。参考答案：×解析：若一个样本数据的中位数为5，则这个样本中不一定存在一个数等于5，可能是5位于样本数据的中间位置。6.在圆O中，若弦AB=弦CD，则弦AB和弦CD所对的圆心角相等。参考答案：√解析：在圆O中，若弦AB=弦CD，则弦AB和弦CD所对的圆心角相等。7.若一个样本数据的平均数为5，则这个样本中所有数的和为5。参考答案：×解析：若一个样本数据的平均数为5，则这个样本中所有数的和为样本数据的个数×5。8.在等腰三角形中，底角一定等于顶角的一半。参考答案：×解析：在等腰三角形中，底角不一定等于顶角的一半，只有等边三角形才满足底角等于顶角的一半。9.若一个样本数据的方差为0，则这个样本中所有数都相等。参考答案：√解析：若一个样本数据的方差为0，则这个样本中所有数都相等。10.在直角坐标系中，点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）。参考答案：√解析：在直角坐标系中，点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知点A（1，2）、B（3，0），求直线AB的斜率和截距。解：直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，截距b=2-(-1)×1=3，故直线AB的解析式为y=-x+3。2.若关于x的一元二次方程x^2-px+q=0的两个根为3和-2，求p和q的值。解：由题意可知，一元二次方程x^2-px+q=0的两个根为3和-2，故p=3+(-2)=1，q=3×(-2)=-6。3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若BC=6，求DE的长。解：由题意可知，D、E分别为AB、AC边上的中点，根据三角形中位线定理，DE平行于BC且DE=1/2BC，故DE=3。4.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（-2，3），求k的值。解：由题意可知，反比例函数y=k/x的图像经过点（-2，3），代入得3=k/(-2)，解得k=-6。5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sinA和cosA的值。解：由题意可知，Rt△ABC的斜边AB=√(AC^2+BC^2)=√(4^2+3^2)=5，故sinA=BC/AB=3/5，cosA=AC/AB=4/5。6.已知函数y=2x+1和y=-x+3的图像交于点P，求点P的坐标。解：由题意可知，函数y=2x+1和y=-x+3的图像交于点P，联立方程组：2x+1=-x+3解得x=2，代入y=2x+1得y=5，故点P的坐标为（2，5）。7.已知一个样本数据为：5，7，9，11，13，求这个样本的平均数和方差。解：这个样本的平均数为(5+7+9+11+13)/5=9，方差s^2=[(5-9)^2+(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2+(13-9)^2]/5=8。8.已知一个圆锥的底面半径为4，母线长为6，求这个圆锥的侧面积和全面积。解：这个圆锥的侧面积=πrl=π×4×6=24π，全面积=侧面积+底面积=24π+π×4^2=32π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E、F分别为AD、BC边上的动点，且DE=CF，求四边形AECF的周长最小值。解：由题意可知，四边形AECF的周长=AE+EC+CF+AF。当点E、F分别在AD、BC边的中点时，四边形AECF的周长最小，此时AE=AF=3，EC=CF=2，故周长最小值=3+2+2+3=10。2.已知关于x的一元二次方程x^2-3x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。解：由题意可知，一元二次方程x^2-3x+m=0有两个不相等的实数根，故判别式Δ=(-3)^2-4×1×m=9-4m＞0，解得m＜9/4。3.如图，在圆O中，弦AB=10，弦CD=8，且AB∥CD，圆心O到弦AB的距离为2，求圆心O到弦CD的距离。解：由题意可知，圆心O到弦AB的距离为2，根据垂径定理，圆心O到弦CD的距离等于圆心O到弦AB的距离加上AB和CD的距离之差的一半。由于AB∥CD，故AB和CD的距离为AB-CD=10-8=2，故圆心O到弦CD的距离=2+2/2=3。4.已知一个样本数据为：2，4，6，8，10，求这个样本的中位数和众数。解：这个样本的中位数为6，众数不存在。5.已知函数y=kx+b的图像经过点（1，5）和点（-2，1），求k和b的值。解：由题意可知，函数y=kx+b的图像经过点（1，5）和点（-2，1），联立方程组：k+b=5-2k+b=1解得k=4/3，b=11/3。6.已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为7，求这个圆锥的侧面积和全面积。解：这个圆锥的侧面积=πrl=π×5×7=35π，全面积=侧面积+底面积=35π+π×5^2=60π。7.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=10，求BC的长度。解：由题意可知，∠C=180°-∠A-∠B=75°，根据正弦定理，BC/sinA=AC/sinC，解得BC=10×sin60°/sin75°≈8.66。8.已知反比例函数y=k/x的图像经过点（3，-2），求k的值，并写出这个反比例函数的解析式。解：由题意可知，反比例函数y=k/x的图像经过点（3，-2），代入得-2=k/3，解得k=-6，故反比例函数的解析式为y=-6/x。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.A10.D解析：2.平移变换不改变点的坐标关系，正确答案为A。3.反比例函数y=k/x的图像经过点（-1，3），代入得3=k/(-1)，解得k=-3，故m-2=-3，解得m=-1，正确答案为D。4.四边形DECF的面积等于△ABC的面积的一半，正确答案为B。5.判别式Δ=b^2-4ac＞0，解得m＜-2或m＞2，正确答案为D。6.圆心到弦的距离等于圆心到弦所对圆周角平分线的距离，正确答案为B。7.样本的平均数为(3+x+5+7+9)/5=6，解得x=6，中位数为6，正确答案为B。8.四边形ABCD为圆内接四边形，对角互补，正确答案为B。9.函数y=kx+b的图像经过点（1，3）和点（-2，-5），联立方程组解得k=2，b=1，当x=3时，y=7，正确答案为D。10.四边形AECF的周长最小值为7，正确答案为A。11.抛物线的顶点坐标为（2，-3），与y轴交于点（0，1），联立方程组解得a=3，正确答案为D。二、填空题1.412.113.314.-615.4/516.(2，5)17.218.819.15π20.y=-x^2+2x+1解析：2.点P到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，正确答案为4。3.一元二次方程x^2-2kx+k^2=0的一个根为1，代入得1-2k+1=0，解得k=1。4.三角形中位线定理，正确答案为3。5.反比例函数y=k/x的图像经过点（2，-3），代入得-3=k/2，解得k=-6。6.Rt△ABC的斜边AB=√(AC^2+BC^2)=5，sinA=BC/AB=4/5，正确答案为4/5。7.联立方程组解得x=2，y=5，正确答案为（2，5）。8.圆心到弦的距离等于圆心到弦所对圆周角平分线的距离，正确答案为2。9.样本数据的平均数为6，方差s^2=[(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]/5=8，正确答案为8。10.圆锥的侧面积=πrl=π×3×5=15π，正确答案为15π。11.抛物线的顶点坐标为（1，-2），与y轴交于点（0，1），联立方程组解得a=3，正确答案为y=3x^2-6x+1。三、判断题1.×22.√23.×24.×25.×26.√27.×28.×29.√30.√解析：2.a^2=b^2等价于a=b或a=-b，故a不一定等于b。3.直角三角形的性质，正确。4.反比例函数y=k/x的图像经过第二、四象限，则k＜0，故错误。5.四边形ABCD中，若AB∥CD，则四边形ABCD不一定是平行四边形，可能是梯形，故错误。6.样本数据的中位数为5，可能是5位于样本数据的中间位置，故错误。7.在圆O中，若弦AB=弦CD，则弦AB和弦CD所对的圆心角相等，正确。8.样本数据的平均数为5，则这个样本中所有数的和为样本数据的个数×5，故错误。9.等腰三角形中，底角不一定等于顶角的一半，只有等边三角形才满足底角等于顶角的一半，故错误。10.样本数据的方差为0，则这个样本中所有数都相等，正确。11.点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），正确。四、简答题1.解：直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，截距b=2-(-1)×1=3，故直线AB的解析式为y=-x+3。2.解：由题意可知，一元二次方程x^2-px+q=0的两个根为3和-2，故p=3+(-2)=1，q=3×(-2)=-6。3.解：由题意可知，D、E分别为AB、AC边上的中点，根据三角形中位线定理，DE平行于BC且DE=1/2BC，故DE=3。4.解：由题意可知，反比例函数y=k/x的图像经过点（-2，3），