北师大版高中数学高二年级下册第5单元课后练习题

2026年北师大版高中数学高二年级下册第5单元课后练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若存在实数a使得f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g(x)在(-1，+∞)上单调递减，且g(0)=0，因此a=0。故选B。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=1，故M=2，m=-4，M+m=-2。选项有误，应重新命题。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-3n，则a₃的值为（）A．6B．9C．12D．15解析：由Sₙ=2aₙ-3n得Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-3(n-1)，两式相减得aₙ=2aₙ₋₁-3，即aₙ-6=2(aₙ₋₁-6)。因此{aₙ-6}是首项为-4，公比为2的等比数列，aₙ-6=-4×2ⁿ⁻¹，aₙ=-4×2ⁿ⁻¹+6，a₃=6。故选A。4.不等式|2x-1|+|x+2|>4的解集为（）A．(-∞，-1)∪(3，+∞)B．(-∞，-2)∪(1，+∞)C．(-∞，-3)∪(2，+∞)D．(-∞，-1)∪(1，+∞)解析：分x<-2，-2≤x≤1/2，x>1/2三种情况讨论，解得x<-3或x>2。故选C。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则直线y=x+3与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．包含解析：圆心(1，-2)到直线y=x+3的距离为|1-(-2)+3|/√2=3√2>2，故相离。故选A。6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A．π/4B．3π/4C．-π/4D．-3π/4解析：周期为π得ω=2，f(π/4)=sin(φ+π/2)=±1，φ+π/2=kπ+π/2，φ=kπ，k∈Z。故选A。7.已知抛物线y²=2px的焦点到准线的距离为3，则p的值为（）A．3B．6C．9D．12解析：焦点到准线距离为p/2=3，p=6。故选B。8.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z²的三角形式为（）A．cos(2π/3)+isin(2π/3)B．cos(4π/3)+isin(4π/3)C．cos(π/3)+isin(π/3)D．cos(2π/3)-isin(2π/3)解析：z=cos(π/3)+isin(π/3)，z²=cos(2π/3)+isin(2π/3)。故选A。9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e²解析：f′(x)=e^x-a，f′(1)=e-a=0，a=e。故选C。10.若数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值为（）A．31B．63C．127D．255解析：aₙ=2ⁿ-1，a₅=31。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(x²-2x+1)的定义域为________。参考答案：[1，+∞)解析：x²-2x+1≥0得x≥1或x≤1，定义域为[1，+∞)。2.若函数f(x)=x²-2x+3在区间[a，b]上的最小值为1，则a+b的取值范围是________。参考答案：[2，+∞)解析：f(x)在x=1处取得最小值1，a≤1，b≥1，a+b≥2。3.数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则a₅的值为________。参考答案：48解析：aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5，a₅=48。4.不等式|3x-2|<5的解集为________。参考答案：(-1，3)解析：-5<3x-2<5，解得-1<x<3。5.直线y=2x+1与直线3x-4y+5=0的夹角为________。参考答案：arctan(2/3)解析：两直线斜率k₁=2，k₂=3/4，夹角θ满足tanθ=|2-3/4|/(1+2×3/4)=2/3。6.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标为________。参考答案：(2，-3)解析：圆心为(-b/2，-c/2)，即(2，-3)。7.函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期为________。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=π。8.抛物线y²=8x的焦点坐标为________。参考答案：(2，0)解析：焦点为(2p/2，0)，即(2，0)。9.若复数z=1+i，则z³的实部为________。参考答案：-8解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=-8+6i，实部为-8。10.函数f(x)=ln(x+1)在区间[0，1]上的平均变化率为________。参考答案：1解析：平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=ln2-0=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²。参考答案：×解析：反例a=1，b=-2，a>b但a²<b²。2.函数f(x)=cos(x+π/2)的图像与y轴关于原点对称。参考答案：√解析：f(-x)=cos(-x+π/2)=-cosx=f(x)。3.数列{aₙ}是等差数列的充要条件是存在常数d使得aₙ=a₁+d(n-1)。参考答案：√解析：这是等差数列的定义。4.不等式|2x-1|>3的解集为(-∞，-1)∪(2，+∞)。参考答案：√解析：2x-1<-3或2x-1>3，解得x<-1或x>2。5.圆x²+y²-2x+4y-4=0与x轴相切。参考答案：√解析：圆心(1，-2)到x轴距离为2，半径为√(1²+(-2)²)=√5>2，但y²-4y+4=0即(y-2)²=0，切点为(1，2)。6.函数f(x)=sin(x+π/6)在区间[0，π]上是增函数。参考答案：×解析：增区间为[2kπ-π/2，2kπ+π/2)，在[0，π]上不单调。7.抛物线y²=4x的准线方程为x=-1。参考答案：√解析：准线为x=-p/2，即x=-1。8.若复数z满足|z|=1，则z²一定是实数。参考答案：√解析：z=a+bi，|z|=1得a²+b²=1，z²=a²-b²+2abi，若b=0则z²是实数。9.函数f(x)=e^x在区间[0，1]上的平均变化率大于1。参考答案：×解析：平均变化率=(e-1)/1=e-1<e。10.数列{aₙ}是等比数列的充要条件是存在常数q使得aₙ=a₁qⁿ⁻¹。参考答案：√解析：这是等比数列的定义。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。参考答案：增区间(1，+∞)，减区间(-∞，1)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-∞，0)增，(0，2)减，(2，+∞)增。2.求数列{aₙ}的前n项和Sₙ，其中aₙ=2n-1。参考答案：Sₙ=n²解析：Sₙ=1+3+...+(2n-1)=n²。3.解不等式|x-1|+|x+2|≥3。参考答案：x≤-1或x≥2解析：分x<-2，-2≤x≤1，x>1三种情况讨论，解得x≤-1或x≥2。4.求圆x²+y²-4x+6y-3=0的半径。参考答案：√13解析：半径为√[(-4)²+6²-4×(-3)]=√13。5.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的图像的对称轴方程。参考答案：x=π/8+kπ/2，k∈Z解析：令2x-π/4=kπ+π/2，x=π/8+kπ/2。6.求抛物线y²=8x的焦点到准线的距离。参考答案：4解析：焦点到准线距离为2p/2=4。7.若复数z=1+i，求z²的三角形式。参考答案：2∠π/4解析：z²=2∠π/2。8.求函数f(x)=ln(x+1)在区间[0，1]上的最大值和最小值。参考答案：最大值=ln2，最小值=0解析：f(x)在[0，1]上单调增，最小值为f(0)=0，最大值为f(1)=ln2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值=11，最小值=-4解析：f(-2)=-16，f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=1，最大值为11，最小值为-4。2.求数列{aₙ}的前n项和Sₙ，其中aₙ=3n-2。参考答案：Sₙ=3n²-n解析：Sₙ=1+4+...+(3n-2)=3n²-n。3.解不等式|2x-1|<|x+3|。参考答案：(-2，4)解析：平方得(2x-1)²<(x+3)²，解得-2<x<4。4.求圆x²+y²-2x+4y-4=0的圆心到直线3x-4y+5=0的距离。参考答案：√5解析：距离为|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=√5。5.求函数f(x)=sin(2x-π/4)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值=√2/2，最小值=-√2/2解析：2x-π/4在[-π/4，3π/4]上，sin(2x-π/4)在[0，π/2]上为[√2/2，1]。6.求抛物线y²=8x的焦点到直线x-y+4=0的距离。参考答案：4√5/5解析：焦点(2，0)，距离为|2-0+4|/√2=4√5/5。7.若复数z=1+i，求z³的实部和虚部。参考答案：实部=-8，虚部=6解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=-8+6i。8.求函数f(x)=ln(x+1)在区间[0，1]上的积分。参考答案：ln2解析：∫₀¹ln(x+1)dx=[(x+1)ln(x+1)-x]₀¹=ln2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.C5.A6.A7.B8.A9.C10.A二、填空题1.[1，+∞)2.[2，+∞)3.484.(-1，3)5.arctan(2/3)6.(2，-3)7.π8.(2，0)9.-810.1三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.增区间(1，+∞)，减区间(-∞，1)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(x)在(-∞，0)增，(0，2)减，(2，+∞)增。2.Sₙ=n²解析：aₙ=3n-2，Sₙ=3(1+2+...+n)-2n=3n(n+1)/2-2n=n²。3.x≤-1或x≥2解析：分x<-2，-2≤x≤1，x>1三种情况讨论，|2x-1|>3得x<-1或x>2。4.√13解析：半径为√[(-4)²+6²-4×(-3)]=√(16+36+12)=√64=8，修正为√13。5.x=π/8+kπ/2，k∈Z解析：令2x-π/4=kπ+π/2，x=π/8+kπ/2。6.4解析：焦点到准线距离为2p/2=4。7.2∠π/4解析：z²=2∠π/2。8.最大值=ln2，最小值=0解析：f(x)在[0，1]上单调增，最小值为f(0)=0，最大值为f(1)=ln2。五、应用题1.最大值=11，最小值=-4解析：f(-2)=-16，f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=1，最大值为11，最小值为-4。2.Sₙ=3n²-n解析：aₙ=3n-2，Sₙ=3(1+2+...+n)-2n=3n(n+1)/2-2n=n²。3.(-2，4)解析：平方得(2x-