北师大版高中数学选修2-4数列专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-4数列专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1，所以a_n=a_1+(n-1)d=n-1。选项B正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.2^n+n解析：由递推式b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项D正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=3n^2-2n，则c_5的值为（）A.34B.36C.38D.40解析：c_n=T_n-T_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。当n=5时，c_5=6×5-5=25。选项无正确答案，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，且公比q≠1，则该数列的通项公式d_n为（）A.d_n=2^(n-1)B.d_n=2^(n+1)C.d_n=4^nD.d_n=4^(n-1)解析：由d_2•d_8=d_1q•d_1q^7=d_1^2q^8=64，又d_1q=d_2，故d_2^8=64，d_2=2。代入d_2=d_1q得d_1=1，q=2，所以d_n=2^(n-1)。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n满足U_n=n(n+1)/2，则e_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：e_n=U_n-U_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n+1/2。当n=4时，e_4=4+1/2=4.5。选项无正确答案，需修正题目。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_n+1)，则该数列的极限为（）A.2B.4C.8D.不存在解析：令极限为L，则f_n→L，f_n+1→L，代入递推式得L=√(L+L)，解得L=2。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3+a_4的值为（）A.6B.7C.8D.9解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，a_3=3。所以a_3+a_4=2a_3=6。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n满足V_n=2^n-1，则该数列是（）A.等差数列B.等比数列C.摄动数列D.非等差非等比数列解析：h_n=V_n-V_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故{h_n}是首项为1，公比为2的等比数列。选项B正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=3i_n+2（n∈N），则该数列的前n项和W_n等于（）A.3^n-1B.n•3^nC.n•3^n-1D.3^n+n解析：由递推式i_n+1=3i_n+2，变形为i_n+1+1=3(i_n+1)，即{i_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列。故i_n+1=2•3^n，i_n=2•3^n-1。S_n=2(3^n-1)-n。选项无正确答案，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_3•j_7=64，且公比q>1，则该数列的通项公式j_n为（）A.j_n=2^(n-1)B.j_n=2^(n+1)C.j_n=4^nD.j_n=4^(n-1)解析：由j_3•j_7=j_1q^2•j_1q^6=j_1^2q^8=64，又j_3=j_1q^2，故j_3^8=64，j_3=2。代入j_3=j_1q^2得j_1=1，q=2，所以j_n=2^(n-1)。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和T_n=15n^2-2n，则该数列的通项公式a_n=_________。解：a_n=T_n-T_{n-1}=[15n^2-2n]-[15(n-1)^2-2(n-1)]=30n-17。参考答案：30n-172.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=_________。解：由b_4=b_2q^2得54=6q^2，q=3。参考答案：33.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第5项c_5=_________。解：c_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。c_5=2^4=16。参考答案：164.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，d=2，则该数列的前10项和S_{10}=_________。解：S_{10}=[10×3+(10×9×2)/2]=120+90=210。参考答案：2105.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），则该数列的通项公式e_n=_________。解：e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。e_n+1=2•2^n=2^(n+1)，e_n=2^(n+1)-1。参考答案：2^(n+1)-16.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，q=3，则该数列的前5项和S_5=_________。解：S_5=[2×(3^5-1)/2]=242。参考答案：2427.若数列{g_n}的前n项和T_n=3n^2+n，则该数列的第3项g_3=_________。解：g_n=T_n-T_{n-1}=[3n^2+n]-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。g_3=16。参考答案：168.在等差数列{h_n}中，若a_1=5，a_5=13，则该数列的公差d=_________。解：d=(a_5-a_1)/4=8/4=2。参考答案：29.若数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=4i_n-1（n∈N），则该数列的通项公式i_n=_________。解：i_n+1=4i_n-1，变形为i_n+1+1=4(i_n+1)，即{i_n+1}是首项为3，公比为4的等比数列。i_n+1=3•4^n，i_n=3•4^n-1。参考答案：3•4^n-110.在等比数列{j_n}中，若j_3=12，j_5=96，则该数列的公比q=_________。解：由j_5=j_3q^2得96=12q^2，q=2。参考答案：2三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2+3n]-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。故{a_n}是等差数列。正确。参考答案：√2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，q=2，则该数列的前n项和S_n=2^n-1。（）解：S_n=[1×(2^n-1)/2]=2^n-1。正确。参考答案：√3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列是等比数列。（）解：c_n=T_n-T_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故{c_n}是等差数列，不是等比数列。错误。参考答案：×4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：5a_3=25，a_3=5。正确。参考答案：√5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n+2（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：e_n+1=3e_n+2，变形为e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列。故{e_n}不是等比数列。错误。参考答案：×6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，则该数列的公比q=2。（）解：f_2•f_8=f_1q•f_1q^7=f_1^2q^8=64。q可取任何值。错误。参考答案：×7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第4项g_4=8。（）解：g_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。g_4=8。正确。参考答案：√8.在等差数列{h_n}中，若a_1=1，d=2，则该数列的前n项和S_n=n^2+n。（）解：S_n=[n×1+(n(n-1)/2)×2]=n^2+n。正确。参考答案：√9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的通项公式i_n=2^n+1。（）解：i_n+1=2i_n+1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，即{i_n+1}是首项为4，公比为2的等比数列。i_n+1=4•2^n=2^(n+2)，i_n=2^(n+2)-1。错误。参考答案：×10.在等比数列{j_n}中，若j_3•j_7=64，则该数列的公比q=4。（）解：j_3•j_7=f_1q^2•f_1q^6=f_1^2q^8=64。q可取任何值。错误。参考答案：×四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前n项和S_n的表达式。解：S_n=[n×2+(n(n-1)/2)×3]=3n^2+n/2。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=5，q=2，求该数列的通项公式b_n。解：b_n=5•2^(n-1)。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=4n^2-3n，求该数列的第4项c_4。解：c_n=T_n-T_{n-1}=[4n^2-3n]-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。c_4=25。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=18，a_3=6，求该数列的公差d。解：a_1+a_5=2a_3=12，故a_1=0，d=6/2=3。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n（n∈N），求该数列的前n项和U_n。解：e_n=3^(n-1)，U_n=[1×(3^n-1)/2]=3^n/2-1/2。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求该数列的公比q。解：f_4=f_2q^2，54=6q^2，q=3。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第3项g_3。解：g_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。g_3=4。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=4，d=-2，求该数列的前10项和S_{10}。解：S_{10}=[10×4+(10×9×(-2))/2]=40-90=-50。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：设第n年产量为a_n，a_1=100，q=1.1。a_5=100×1.1^4≈161.05万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求该数列的前10项和S_{10}。解：5a_3=25，a_3=5。设首项为a_1，公差为d，则a_1+4d=5。S_{10}=[10×a_1+(10×9×d)/2]=10a_1+45d=50。3.若数列{b_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求该数列的第6项b_6。解：b_6=T_6-T_5=[3×6^2+6]-[3×5^2+5]=98-70=28。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：c_4=c_2q^2，54=6q^2，q=3。S_5=[6×(3^5-1)/2]=396。5.若数列{d_n}的前n项和U_n=2^n-1，求该数列的第4项d_4。解：d_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。d_4=8。6.在等差数列{e_n}中，若e_1=2，e_5=14，求该数列的通项公式e_n。解：4d=12，d=3。e_n=2+(n-1)×3=3n-1。7.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：f_n=2^(n-1)-1。S_5=[1+3+7+15+31]=57。8.在等比数列{g_n}中，若g_3=12，g_5=96，求该数列的公比q及前8项和S_8。解：q=2，S_8=[12×(2^8-1)/2]=768。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.A8.B9.C10.A二、填空题1.30n-172.33.164.2105.2^(n+1)-16.2427.168.29.3•4^n-110.2三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.×10.×四、简答题1.S_n=3n^2+n/22.b_n=5•2^(n-1)3.c_4=254.d=35.U_n=3^n/2-1/26.q=37.g_3=48.S_{10}=-50五、应用题1.a_5≈161.05万吨2.S_{10}=503.b_