北师大版高中数学选修2-12概率统计专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-12概率统计专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学选修2-12中，关于离散型随机变量X的分布列，下列说法正确的是（）A.分布列中的每个概率值必须大于0且小于1B.分布列中所有概率值之和必须等于1C.分布列中的随机变量取值可以是连续的D.分布列只能描述随机变量的取值情况，无法反映其分布规律2.已知某校高三（1）班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生组成学习小组，则抽到3名男生的概率为（）A.0.18B.0.12C.0.36D.0.243.在北师大版高中数学选修2-12中，关于正态分布曲线的性质，下列描述错误的是（）A.正态分布曲线关于均值μ对称B.正态分布曲线的峰值点即为均值μC.正态分布曲线的拐点位于标准差σ处D.正态分布曲线下的总面积一定等于14.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为（）A.0.147B.0.343C.0.21D.0.0675.在北师大版高中数学选修2-12中，关于样本频率分布直方图，下列说法正确的是（）A.直方图的高度表示每个小组的频数B.直方图的面积之和一定等于样本容量C.直方图只能反映样本数据的分布情况，无法推断总体分布D.直方图中的每个矩形宽度必须相等6.已知某校高三（2）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm，则身高在165cm～175cm之间的学生比例大约为（）A.68%B.95%C.34%D.50%7.在北师大版高中数学选修2-12中，关于线性回归方程，下列说法正确的是（）A.线性回归方程一定经过样本数据的中心点B.线性回归方程的系数只受自变量X的影响C.线性回归方程只能用于预测因变量Y的值D.线性回归方程的残差平方和一定为08.某工厂生产的产品次品率为0.05，现随机抽取4件产品，则至少有一件次品的概率为（）A.0.8145B.0.1805C.0.0185D.0.98159.在北师大版高中数学选修2-12中，关于独立性检验，下列说法正确的是（）A.独立性检验只能用于分析两个分类变量之间的关系B.独立性检验的假设检验中，拒绝原假设意味着两个变量有相关性C.独立性检验的卡方统计量一定大于临界值时拒绝原假设D.独立性检验只能用于小样本数据10.已知某校高三（3）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，且两者的相关系数为0.8，则下列说法正确的是（）A.数学成绩高的学生物理成绩一定高B.物理成绩高的学生数学成绩一定高C.数学成绩和物理成绩之间可能存在线性关系D.数学成绩和物理成绩之间一定存在非线性关系二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学选修2-12中，若离散型随机变量X的分布列为：X123Pp2p3p则p的值为________。2.已知某校高三（4）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为168cm，标准差为6cm，则身高在162cm以下的学生比例大约为________。3.在北师大版高中数学选修2-12中，若某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现连续射击4次，则恰好命中3次的概率为________。4.已知某校高三（5）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.75，若某学生的数学成绩为85分，则其物理成绩的预测值为________（假设物理成绩与数学成绩的线性回归方程为Y=0.8X+50）。5.在北师大版高中数学选修2-12中，关于样本频率分布直方图，若样本容量为100，某小组的频数为20，则该小组的频率为________。6.已知某校高三（6）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm，则身高在180cm以上的学生比例大约为________。7.在北师大版高中数学选修2-12中，关于线性回归方程，若某数据集的残差平方和为50，样本容量为10，则均方误差MSE为________。8.某工厂生产的产品次品率为0.03，现随机抽取5件产品，则至少有一件次品的概率为________。9.在北师大版高中数学选修2-12中，关于独立性检验，若卡方统计量为10.5，自由度为1，则P值________（假设显著性水平为0.05）。10.已知某校高三（7）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.9，若某学生的数学成绩为90分，则其物理成绩的预测值为________（假设物理成绩与数学成绩的线性回归方程为Y=0.9X+40）。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学选修2-12中，若离散型随机变量X的分布列为：X123P0.20.50.3则X的期望值为2。2.已知某校高三（8）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为6cm，则身高在160cm～180cm之间的学生比例一定大于95%。3.在北师大版高中数学选修2-12中，若某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击3次，则至少命中一次的概率为0.91。4.已知某校高三（9）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.85，则数学成绩和物理成绩之间一定存在线性关系。5.在北师大版高中数学选修2-12中，关于样本频率分布直方图，若样本容量为200，某小组的频率为0.1，则该小组的频数为20。6.已知某校高三（10）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为168cm，标准差为5cm，则身高在165cm以下的学生比例小于50%。7.在北师大版高中数学选修2-12中，关于线性回归方程，若某数据集的残差平方和为30，样本容量为8，则均方误差MSE为3.75。8.某工厂生产的产品次品率为0.02，现随机抽取6件产品，则至少有一件次品的概率为0.88。9.在北师大版高中数学选修2-12中，关于独立性检验，若卡方统计量为5.99，自由度为1，则P值大于0.05（假设显著性水平为0.05）。10.已知某校高三（11）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.95，若某学生的数学成绩为95分，则其物理成绩的预测值为135分（假设物理成绩与数学成绩的线性回归方程为Y=1.4X+20）。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在北师大版高中数学选修2-12中，简述离散型随机变量分布列的性质。2.已知某校高三（12）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为6cm，简述如何计算身高在165cm～175cm之间的学生比例。3.在北师大版高中数学选修2-12中，简述线性回归方程的系数如何计算。4.某工厂生产的产品次品率为0.04，现随机抽取7件产品，简述如何计算至少有一件次品的概率。5.在北师大版高中数学选修2-12中，简述独立性检验的基本步骤。6.已知某校高三（13）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.8，简述如何预测某学生的物理成绩。7.在北师大版高中数学选修2-12中，简述样本频率分布直方图的绘制步骤。8.已知某校高三（14）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为168cm，标准差为5cm，简述如何计算身高在180cm以上的学生比例。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.75，现连续射击5次，求恰好命中3次的概率。2.已知某校高三（15）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm，求身高在165cm～175cm之间的学生比例。3.在北师大版高中数学选修2-12中，某工厂生产的产品次品率为0.03，现随机抽取8件产品，求至少有一件次品的概率。4.已知某校高三（16）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.85，若某学生的数学成绩为88分，预测其物理成绩。5.在北师大版高中数学选修2-12中，某班级的样本容量为100，某小组的频数为30，求该小组的频率。6.已知某校高三（17）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为168cm，标准差为6cm，求身高在160cm以下的学生比例。7.在北师大版高中数学选修2-12中，某数据集的残差平方和为40，样本容量为12，求均方误差MSE。8.某工厂生产的产品次品率为0.02，现随机抽取9件产品，求至少有一件次品的概率。六、案例分析（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某校高三（18）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为6cm，某学生的身高为180cm，分析其身高是否属于该班级的异常值。2.在北师大版高中数学选修2-12中，某班级的样本容量为150，某小组的频率为0.2，求该小组的频数。3.已知某校高三（19）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.9，若某学生的数学成绩为92分，预测其物理成绩。4.某工厂生产的产品次品率为0.05，现随机抽取10件产品，求至少有一件次品的概率。5.在北师大版高中数学选修2-12中，某数据集的残差平方和为35，样本容量为10，求均方误差MSE。6.已知某校高三（20）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为168cm，标准差为5cm，求身高在165cm～175cm之间的学生比例。7.在北师大版高中数学选修2-12中，某班级的样本容量为200，某小组的频数为50，求该小组的频率。8.某工厂生产的产品次品率为0.03，现随机抽取12件产品，求至少有一件次品的概率。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.在北师大版高中数学选修2-12中，论述离散型随机变量分布列的性质及其应用。2.已知某校高三（21）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为6cm，论述如何计算身高在165cm～175cm之间的学生比例。3.在北师大版高中数学选修2-12中，论述线性回归方程的系数如何计算及其应用。4.某工厂生产的产品次品率为0.04，现随机抽取13件产品，论述如何计算至少有一件次品的概率。5.在北师大版高中数学选修2-12中，论述独立性检验的基本步骤及其应用。6.已知某校高三（22）班学生的数学成绩和物理成绩近似服从正态分布，两者的相关系数为0.8，论述如何预测某学生的物理成绩。7.在北师大版高中数学选修2-12中，论述样本频率分布直方图的绘制步骤及其应用。8.已知某校高三（23）班学生的身高数据近似服从正态分布，均值为168cm，标准差为5cm，论述如何计算身高在180cm以上的学生比例。9.在北师大版高中数学选修2-12中，论述样本频率分布直方图的绘制步骤及其应用。10.某工厂生产的产品次品率为0.02，现随机抽取14件产品，论述如何计算至少有一件次品的概率。标准答案及解析一、单项选择题1.B解析：离散型随机变量X的分布列中，所有概率值之和必须等于1，这是分布列的基本性质。其他选项的描述均不正确。2.B解析：抽到3名男生的概率为C(30,3)/C(50,3)=(30×29×28)/(50×49×48)≈0.12。3.C解析：正态分布曲线的拐点位于标准差σ处，其他选项的描述均正确。4.A解析：恰好命中2次的概率为C(3,2)×0.7×0.3=3×0.7×0.3=0.147。5.B解析：样本频率分布直方图的面积之和一定等于样本容量，其他选项的描述均不正确。6.A解析：身高在165cm～175cm之间的学生比例大约为68%（正态分布的68-95-99.7法则）。7.A解析：线性回归方程一定经过样本数据的中心点，这是线性回归的基本性质。其他选项的描述均不正确。8.A解析：至少有一件次品的概率为1-C(4,0)×0.95^4=1-0.8145=0.1855≈0.8145。9.B解析：独立性检验的假设检验中，拒绝原假设意味着两个变量有相关性，其他选项的描述均不正确。10.C解析：数学成绩和物理成绩之间可能存在线性关系，其他选项的描述均不正确。二、填空题1.0.3解析：分布列中所有概率值之和必须等于1，即0.2+2p+3p=1，解得p=0.3。2.0.1587解析：身高在162cm以下的学生比例大约为Φ((162-168)/6)≈Φ(-1)≈0.1587（标准正态分布表）。3.0.324解析：恰好命中3次的概率为C(4,3)×0.6×0.4^3=4×0.6×0.064=0.1536≈0.324。4.86解析：物理成绩的预测值为0.8×85+50=86。5.0.2解析：频率等于频数除以样本容量，即20/100=0.2。6.0.0228解析：身高在180cm以上的学生比例大约为Φ((180-170)/5)≈Φ(2)≈0.0228（标准正态分布表）。7.5解析：均方误差MSE等于残差平方和除以样本容量，即50/10=5。8.0.8204解析：至少有一件次品的概率为1-C(5,0)×0.03^5=1-0.8204=0.1796≈0.8204。9.<0.05解析：卡方统计量为10.5，自由度为1，P值小于0.05（假设显著性水平为0.05）。10.126解析：物理成绩的预测值为0.9×90+40=126。三、判断题1.错误解析：X的期望值为1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1。2.错误解析：身高在160cm～180cm之间的学生比例大约为95%（正态分布的68-95-99.7法则）。3.正确解析：至少命中一次的概率为1-C(3,0)×0.7^3=1-0.343=0.657≈0.91。4.错误解析：相关系数为0.85，表示数学成绩和物理成绩之间可能存在线性关系，但并不一定存在线性关系。5.正确解析：频率等于频数除以样本容量，即0.1×200=20。6.错误解析：身高在165cm以下的学生比例大约为Φ((165-168)/5)≈Φ(-0.6)≈0.2743>0.5。7.正确解析：均方误差MSE等于残差平方和除以样本容量，即30/8=3.75。8.正确解析：至少有一件次品的概率为1-C(6,0)×0.02^6=1-0.88=0.88。9.错误解析：卡方统计量为5.99，自由度为1，P值等于0.05（假设显著性水平为0.05）。10.错误解析：物理成绩的预测值为1.4×95+20=146，而不是135。四、简答题1.离散型随机变量分布列的性质包括：-分布列中的每个概率值必须大于0且小于1；-分布列中所有概率值之和必须等于1；-分布列只能描述随机变量的取值情况，无法反映其分布规律。2.计算身高在165cm～175cm之间的学生比例的步骤如下：-计算标准正态分布的Z值：Z1=(165-170)/6=-0.833，Z2=(175-170)/6=0.833；-查标准正态分布表，得到Φ(0.833)≈0.7969，Φ(-0.833)≈0.2031；-身高在165cm～175cm之间的学生比例为Φ(0.833)-Φ(-0.833)≈0.5938。3.线性回归方程的系数计算步骤如下：-计算样本数据的均值：X̄和Ȳ；-计算样本数据的协方差：SXY=Σ(xi-X̄)(yi-Ȳ)/n；-计算样本数据的方差：SX^2=Σ(xi-X̄)^2/n；-回归系数b=SXY/SX^2；-回归系数a=Ȳ-bX̄。4.计算至少有一件次品的概率的步骤如下：-计算至少有一件次品的概率为1-C(7,0)×0.04^7；-计算结果为1-0.8115≈0.1885。5.独立性检验的基本步骤如下：-建立假设：原假设H0表示两个变量独立，备择假设H1表示两个变量不独立；-计算卡方统计量：χ^2=Σ(oi-ei)^2/ei，其中oi为观测频数，ei为期望频数；-查卡方分布表，得到P值；-根据P值与显著性水平α的比较结果，判断是否拒绝原假设。6.预测某学生的物理成绩的步骤如下：-计算样本数据的均值：X̄和Ȳ；-计算样本数据的协方差：SXY=Σ(xi-X̄)(yi-Ȳ)/n；-计算样本数据的方差：SX^2=Σ(xi-X̄)^2/n；-回归系数b=SXY/SX^2；-回归系数a=Ȳ-bX̄；-预测某学生的物理成绩为Y=a+bX。7.样本频率分布直方图的绘制步骤如下：-将样本数据分组；-计算每个小组的频数和频率；-绘制矩形，每个矩形的宽度为小组的宽度，高度为频率；-确保所有矩形的面积之和等于1。8.计算身高在180cm以上的学生比例的步骤如下：-计算标准正态分布的Z值：Z=(180-168)/5=2.4；-查标准正态分布表，得到Φ(2.4)≈0.9918；-身高在180cm以上的学生比例为1-Φ(2.4)≈0.0082。五、应用题1.恰好命中3次的概率为C(5,3)×0.75×0.25^2=10×0.75×0.0625=0.46875≈0.469。2.身高在165cm～175cm之间的学生比例大约为68%。3.至少有一件次品的概率为1-C(8,0)×0.03^8=1-0.9227≈0.0773。4.物理成绩的预测值为0.85×88+50=138.2。5.该小组的频率为30/100=0.3。6.身高在160cm以下的学生比例大约为Φ((160-168)/6)≈Φ(-2)≈0.0228。7.均方误差MSE等于残差平方和除以样本容量，即40/12≈3.33。8.至少有一件次品的概率为1-C(9,0)×0.02^9=1-0.8951≈0.1049。六、案例分析1.某学生的身高为180cm，分析其身高是否属于该班级的异常值：-计算标准正态分布的Z值：Z=(180-170)/6=2.4；-查标准正态分布表，得到Φ(2.4)≈0.9918；-身高在180cm以上的学生比例约为0.0082，属于异常值。2.该小组的频数为0.2×150=30。3.物理成绩的预测值为0.9×92+40=128.8。4.至少有一件次品的概率为1-C(10,0)×0.05^10=1-0.9132≈0.0868。5.均方误差MSE等于残差平方和除以样本容量，即35/10=3.5。6.身高在165cm～175cm之间的学生比例大约为68%。7.该小组的频率为50/200=0.25。8.至少有一件次品的概率为1-C(12,0)×0.03^12=1-0.9415≈0.0585。七、论述题1.离散型随机变量分布列的性质及其应用：-分布列中的每个概率值必须大于0且小于1；-分布列中所有概率值之和必须等于1；-分布列只能描述随机变量的取值情况，无法反映其分布规律。应用：离散型随机变量分布列可以用于描述和预测随机事件的概率分布，例如在质量管理中，可以用于分析产品的合格率。2.计算身高在165cm～175cm之间的学生比例：-计算标准正态分布的Z值：Z1=(165-170)/6=-0.833，Z2=(175-170)/6=0.833；-查标准正态分布表，得到Φ(0.833)≈0.7969，Φ(-0.833)≈0.2031；-身高在165cm～175cm之间的学生比例为Φ(0.833)-Φ(-0.833)≈0.5938。3.线性回归方程的系数计算及其应用：-计算样本数据的均值：X̄和Ȳ；-计算样本数据的协方差：SXY=Σ(xi-X̄)(yi-Ȳ)/n；-计算样本数据的方差：SX^2=Σ(xi-X̄)^2/n；-回归系数b=SXY/SX^2；-回归系数a=Ȳ-bX̄；应用：线性回归方程可以用于预测因变量Y的值，例如在经济学中，可以用于预测某商品的价格。4.计算至少有一件次品