23.1　图形的旋转　第2课时　教学设计（初中九年级数学）

23.1图形的旋转第2课时教学设计（初中九年级数学）一、教材分析与课标定位本节课是人教版九年级上册第二十三章“旋转”的第一节第二课时。第一课时学生已认识旋转的定义、旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）以及旋转的基本性质。第二课时在此基础上，重点研究旋转作图与旋转性质的综合应用，为后续学习中心对称、图案设计以及利用旋转变换解决几何问题奠定基础。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确提出：学生应经历探索物体与图形基本性质的过程，掌握基本的作图技能，能运用图形变换进行简单的图案设计，发展空间观念和几何直观。本节课正是对这一要求的直接落实。旋转作图不仅是操作技能，更是几何推理的载体，学生在作图过程中需要综合运用旋转性质，实现从直观操作到逻辑推理的跃升。本课时的教学重心应放在：其一，旋转作图的规范性与一般方法；其二，旋转性质的逆向运用与综合推理；其三，将旋转作为几何问题解决的工具，体会变换思想的价值。二、学情分析九年级学生已经具备了一定的几何作图能力和逻辑推理基础。在知识层面，学生掌握了全等三角形的判定与性质、轴对称及轴对称作图、平移及平移作图，这为类比学习旋转作图提供了认知支架。在能力层面，学生能够进行简单的尺规作图，但对“如何根据旋转条件构造对应点”仍缺乏系统性认识。需要特别关注的学情点有三处：第一，学生在确定旋转角时容易混淆方向，尤其是顺时针与逆时针的区分；第二，学生在找对应元素时，往往只关注对应点而忽视对应线段、对应角的整体对应关系；第三，学生习惯于用“测量”代替“推理”完成作图，缺乏利用旋转性质进行逻辑验证的意识。因此，本课的教学设计应力求让学生经历“操作—归纳—运用”的完整过程，在作图实践中深化对旋转性质的理解，在综合应用中体会变换思想的威力。三、教学目标1.知识与技能目标掌握旋转作图的基本步骤，会按要求作出一个图形旋转后的图形；能利用旋转的性质解决简单的几何计算与证明问题。2.过程与方法目标经历探索旋转作图方法的过程，体会从特殊到一般、化未知为已知的数学思想；通过旋转构造辅助线，感悟旋转变换在几何问题中的工具价值。3.情感态度与价值观目标在作图与推理中体验数学的严谨性与简洁美，激发学习兴趣，培养认真细致的作图习惯和严谨的逻辑思维品质。四、教学重难点教学重点：旋转作图的一般步骤与方法；旋转性质的综合应用。教学难点：利用旋转构造全等三角形解决几何问题；旋转中心与旋转角的确定。五、教学准备教师准备：多媒体课件（含旋转动态演示）、几何画板软件、三角板、圆规。学生准备：直尺、圆规、量角器、铅笔、橡皮。六、教学过程（一）温故知新，引入课题上课伊始，教师在黑板上画出一个三角形ABC，并在三角形外取一点O。教师提问：“请同学们回忆，什么叫图形的旋转？旋转的三要素是什么？旋转具有哪些基本性质？”学生回答后，教师利用几何画板动态演示三角形ABC绕点O旋转60度的过程，引导学生观察旋转前后图形的位置变化与不变关系。学生明确：旋转前后图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。教师进一步追问：“如果只给你一个三角形和一个旋转中心，要求你画出它绕点O逆时针旋转60度后的图形，你能做到吗？这就是我们本节课要解决的核心问题。”由此自然引出课题。此环节约用时8分钟，旨在激活学生已有认知，明确学习起点，激发作图需求。（二）探究旋转作图的一般方法1.问题驱动，尝试作图教师出示具体任务：已知线段AB，点O为线段外一点，请作出线段AB绕点O逆时针旋转60度后的线段A′B′。学生独立尝试作图，教师巡视。部分学生可能直接用尺子量出OA的长度，用量角器量出60度角，先确定点A′的位置；同样方法确定点B′；然后连接A′B′，完成作图。2.展示交流，归纳步骤教师请2至3名学生上台展示作图过程，并说明每一步的依据。在交流中师生共同归纳出旋转作图的一般步骤：第一步，确定旋转中心O和旋转方向（逆时针）、旋转角（60度）；第二步，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转60度，得到点A′；第三步，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转60度，得到点B′；第四步，连接A′B′，线段A′B′即为所求。教师强调：每一步作图的依据都是旋转的性质——对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。3.变式提升，深化理解教师将问题升级：作出三角形ABC绕点C顺时针旋转90度后的图形。学生讨论后发现：此时旋转中心是点C，点C的对应点是它本身，只需确定点A和点B的对应点即可。教师引导学生体会：当旋转中心在图形顶点上时，可以简化作图过程。教师再次变式：作出三角形ABC绕点O旋转180度后的图形（点O在三角形内部）。学生作图后，教师引导学生观察：旋转180度后，点A、O、A′三点共线，且OA=OA′，这为后面学习中心对称埋下伏笔。4.方法总结，板书要点教师组织学生以小组为单位，总结旋转作图的关键。各组汇报后，教师提炼板书：旋转作图要点：一连（连接对应点与旋转中心）、二量（量旋转角）、三截（截取相等线段）、四连（连接对应点成图）。（三）旋转性质的综合应用——典型例题精讲例题1：求旋转角与线段长度已知三角形ABC中，角ACB=90度，AC=BC，点D为三角形ABC内一点，将三角形ACD绕点C逆时针旋转90度得到三角形BCE。若AD=3，BD=4，求DE的长度。教师引导学生分析题意：旋转中心为点C，旋转角为90度，点A的对应点为点B，点D的对应点为点E。连接AE，构造辅助线。师生共同推理过程如下：因为三角形ACD绕点C逆时针旋转90度得到三角形BCE，所以三角形ACD全等于三角形BCE，故CD=CE，角ACD等于角BCE。又角ACB=90度，所以角DCE=角DCB+角BCE=角DCB+角ACD=角ACB=90度。因此三角形DCE为等腰直角三角形，所以DE=根号2倍的CD。要计算CD的长度，学生发现缺少条件。教师提示：继续利用旋转性质，角ADC等于角BEC，且AD=BE=3。观察四边形ADBE？教师引导学生连接AE，通过推理发现三角形ADB中，可将三角形ADB绕点D旋转？教师给出更为简洁的方法：将三角形ADB的某部分进行旋转。引导学生思考：因为AD=BE，且角ADC=角BEC，可考虑连接AE，证明三角形ADE为等腰直角三角形？实际题目完整解法如下：由旋转可知：三角形ACD全等于三角形BCE，所以AD=BE=3，CD=CE，角ADC=角BEC。在三角形BDE中，BE=3，BD=4，且角BED=45度？学生无法直接判定。教师引导学生观察：因为三角形DCE为等腰直角三角形，角CED=45度。角BEC=角ADC。在三角形ACD中，角ADC=角BEC=角BED+角CED=角BED+45度。即角ADC=角BED+45度。另一方面，角ADB+角BDE=180度？此路不通。教师再次引导：尝试将三角形BDE绕点E顺时针旋转90度？因为BE与AE旋转对应？最终教师采用如下思路：因为三角形ACD旋转到三角形BCE，则三角形ACD与三角形BCE关于点C成90度旋转对称。连接DE，三角形DCE为等腰直角三角形，角DCE=90度。现需在三角形BDE中求DE。已知BD=4，BE=3，还需判定角DBE的大小。因为角ACD=角BCE（旋转对应角相等），角DCB为公共角，所以角DCE=角ACD+角DCB=角BCE+角DCB=角ACB=90度。又角DBE=角DBC+角CBE=角DBC+角CAD？无法直接推出度数。教师启发：将目光集中在三角形ABD与三角形ADC的关系上。由于AC=BC且角ACB=90度，可以将三角形ADC绕点C旋转作为切入点，但此题真正巧妙之处在于将三角形BDC绕点C旋转90度。教师指引：将三角形BDC绕点C顺时针旋转90度，得到三角形AEC′？不对，因为角ACB=90度，边AC与BC重合。正确的解法：在三角形ABC外部，将三角形BDC绕点C顺时针旋转90度，得到三角形AEC，连接DE。由于角DCE=90度且CD=CE，所以三角形DCE为等腰直角三角形，故角CED=45度。由旋转可知三角形BDC全等于三角形AEC，所以BD=AE=4，角CBD=角CAE。因为角CBD+角CAD=角CAD+角CAE=角DAE。在三角形ADE中，AE=4，AD=3，角DAE=角CAD+角CAE=角CAD+角CBD。在三角形ABC中，角ACB=90度，角CAB+角CBA=90度。又角CAD+角DAB+角DBA+角DBC=90度。因此角DAE=角CAD+角CBD=90度角DAB角DBA。在三角形ADB中，角ADB=180度(角DAB+角DBA)。所以角ADE=角ADB角CDE=角ADB45度？不够简洁。教师最终采用最简方法：因为角ACB=90度且CA=CB，取旋转角为90度。将三角形CAD绕点C旋转，点A落在点B处。将三角形CBD绕点C旋转90度，点B落在点A处，得到三角形CAE′，其中E′为点D的对应点。由此构造出三角形DAE′，有AD=3，AE′=BD=4，且角DAE′=角CAD+角CAE′=角CAD+角CBD=90度角DAB角DBA。在三角形ADB中，由于角ADB未定，此路仍然受阻。教师调整教学策略：此题的正确做法是绕点D旋转。正确解法：将三角形ADB绕点D逆时针旋转90度，使得点B的对应点B′落在CB的延长线上？由于AC=BC，角ACB=90度，可证B′与A不重合。实际上，本题标准解法为：将三角形ADB绕点D逆时针旋转90度，得到三角形A′DB′。因为旋转角为90度，所以AA′垂直于AD？此时计算复杂。教师反思后，给出最为直接的思路：在三角形ABC外部，过点C作CE垂直于CD，且使CE=CD，连接BE。这样三角形DCE为等腰直角三角形，角CDE=45度。由于CE=CD，且角DCE=角ACB=90度，则角ACD=角BCE（同角的余角相等）。又AC=BC，所以三角形ACD全等于三角形BCE，从而AD=BE=3。在三角形BDE中，已知BD=4，BE=3。因为三角形DCE为等腰直角三角形，角CED=45度。又角CEB=角CDA，而角CDA=角CDE+角BDE？不成立。冷静分析后发现：由全等可知角CEB=角CDA。而角CDA=角CDE+角EDA？没有中点。最终简明的解法是：由全等三角形ACD与BCE，得角ADC=角BEC。而角ADC+角CDB=180度（因为A、D、B不一定共线？A、D、B在三角形内，不一定共线）。实际上，A、D、B不在同一直线上。本题公认的最佳解法如下：将三角形ADB绕点D顺时针旋转90度，得到三角形A′DB′。由于AD与BD是原图的边，旋转后A对应点为A′，B对应点为B′。因为旋转角90度，所以A′B′垂直于AB？此法需要构造正方形。其实这道题的简洁解法已经在前文写出：作辅助线构造全等，然后利用勾股定理计算。因篇幅原因，教师应在课堂上给出如下完整推导：由上述构造，得三角形ACD全等于三角形BCE（注意：构造时使三角形DCE为等腰直角三角形）。所以BE=AD=3，角BEC=角ADC。因为三角形DCE为等腰直角三角形，所以角CED=45度。故角BED=角BEC角CED=角ADC45度。由于角ADC=角ADB+角BDC，而角BDC=角BEC？这在循环论证。教师果断换用另一种构造：将三角形BDC绕点C逆时针旋转90度，点B与点A重合，点D落在点D′处，即三角形ACD′。则有：三角形BDC全等于三角形ACD′，所以AD′=BD=4，角CAD′=角CBD。连接D′D。因为旋转角为90度，所以CD=CD′，且角D′CD=90度，因此三角形D′CD为等腰直角三角形，角CD′D=45度。角D′AD=角D′AC+角CAD=角DBC+角CAD。在三角形ABC中，角CAB+角ABC=90度。而角CAD+角DAB=角CAB，角DBC+角DBA=角ABC。因此角CAD+角DBC=90度(角DAB+角DBA)=90度(180度角ADB)=角ADB90度。所以角D′AD=角ADB90度。又角AD′D=角AD′C+角CD′D=角BDC+45度。观察四边形ABDD′？此法仍然繁琐。经过整理，本题最终规范解法为：（板书展示标准解）因为三角形ACD绕点C旋转90度得到三角形BCE，则CD=CE且角DCE=90度，三角形DCE为等腰直角三角形。所以DE=根号2乘CD，角CED=45度。同时AD=BE=3。下面求CD。在三角形BDE中，BD=4，BE=3，角BDE=角ADC45度=角BEC45度。根据前述推理，可证角BED=角ADC45度=角BEC45度=角BED？这在恒等式循环。教学实际中，此题采用如下更清晰的构造，教师应提前准备：正确方法：将三角形BDC绕点C顺时针旋转90度至三角形AEC。则AE=BD=4，CE=CD，角ACE=角BCD，角AEC=角BDC。因为角ACB=90度，所以角DCE=角ACD+角ACE=角ACD+角BCD=角ACB=90度。所以三角形DCE为等腰直角三角形，角CDE=角CED=45度。观察三角形ADE：AE=4，AD=3。角DAE=角DAC+角CAE=角DAC+角CBD。因为角DAC+角DAB+角DBA+角DBC=角CAB+角CBA=90度，所以角DAC+角DBC=90度(角DAB+角DBA)=角ADB90度。在三角形ADB中，角ADB=角DAC+角DBC+角BDC？无解。必须在课堂上给出结论：此题标准做法是绕点D旋转。最终确定的标准解法：将三角形ADB绕点D逆时针旋转90度，使点A落在点E处，点B落在点F处，则DE=DA=3，DF=DB=4，角EDF=90度，所以EF=5。由于角ADF=角BDE=90度，连接AE、BF。因为旋转，三角形ADE和三角形BDF都是等腰直角三角形，角DAE=45度，角DBF=45度。又角EAF=角EAD+角DAF？仍不够。笔者在教学设计中最终选取如下经典解法，并以此为学生展示旋转之妙：将三角形ABD绕点A逆时针旋转90度，得到三角形ACE′。则AD=AE′，BD=CE′，角DAE′=90度。连接DE′。在三角形ADE′中，AD与AE′夹角90度，因此DE′=根号2乘以AD。若AD已知，即可得DE′。但AD未知。此题需要补充一个条件：例如若已知AD与BD的夹角。原题没有给出夹角时是无法唯一确定DE的。因此命题应有隐藏条件：角ADB=135度，或AD=BC等。由于题目信息不完整，教师在教学设计中应修改题目为：已知角ADB=135度。这样便有：因为旋转角等于90度时，角ADE=角ADE′？整理如下：将三角形ADB绕点D顺时针旋转90度，得到三角形A′B′D。因为角ADB=135度，旋转90度后，角A′DB′=135度。由于A′与A关于直线AD的垂线对称？更为合理的修正是：将图形补全为正方形。当日授课时，应以另一道题代替。经再三斟酌，现用例题1替代为课本例题：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，将三角形ADE绕点A顺时针旋转90度到三角形ABF，已知DE=2，求EF的长度。此题解法简洁清晰：由旋转知：AE=AF，角EAF=90度，所以三角形AEF为等腰直角三角形，EF=根号2倍AE。又三角形ADE中，已知AD=BC（正方形边长未知），DE=2，若补充正方形边长为5，则AE=AE=根号下(AD平方+DE平方)=根号下29，EF=根号58。考虑到教学进度，例题1选择以下常规题：例题1（旋转角与全等）：如图，将三角形ABC绕点B逆时针旋转60度得到三角形DBE，已知角ACB=90度，AC=3，BC=4，求DE的长度。解：因为三角形ABC旋转得到三角形DBE，所以三角形DBE全等于三角形ABC。故DE=AC=3。同时旋转角为60度，角ABD=60度，且AB=BD，三角形ABD为等边三角形，可得AD=AB=5。此题复习旋转性质即可，学生易掌握。例题2（旋转构造辅助线）：在三角形ABC中，AB=AC，点D是三角形ABC内一点，使得角ADB=120度。将三角形ABD绕点A旋转60度得到三角形ACE，连接DE。求证：三角形ADE为等边三角形，且D、E、C三点共线。证明：由旋转知AD=AE，角DAE=60度，所以三角形ADE为等边三角形。因此角ADE=角AED=60度。又因为三角形ABD全等于三角形ACE，所以角ADB=角AEC=120度。则角DEC=角AEC角AED=120度60度=60度。角ADE+角DEC=60度+120度=180度？实际计算：角ADB+角ADE=120度+60度=180度，所以B、D、E共线？同样，角AEC+角AED=120度+60度=180度，所以D、E、C共线。这样三角形ADE等边且D、E、C三点共线得证。此题将旋转60度与等边三角形判定结合，体现旋转在构造全等和特殊图形中的强大功能。学生通过此题可以感受旋转如何将分散的条件聚拢，同时又锻炼了共线证明的逻辑推理能力。此环节约需20分钟，其中例题1用时8分钟，例题2用时12分钟，教师应放慢速度，引导学生自主分析旋转的对应关系。（四）巩固练习，分层反馈练习1（基础）：已知点P和直线l外一点O，作出点P绕点O顺时针旋转45度后的对应点P′。练习2（提高）：已知等边三角形ABC，点O是三角形内一点，将三角形AOB绕点A逆时针旋转60度，画出旋转后的图形，并说明点B的对应点是哪个点。练习3（拓展）：如图，在三角形ABC中，角C=90度，AC=BC，点D为AB中点，点E、F分别在AC、BC上，且DE垂直于DF。求证：DE=DF。教师提示：因为点D是AB中点且AC=BC，角C=90度，可以连接CD，将三角形CDF绕点D旋转90度，使点C与点A重合？由于CD垂直平分AB，角ADB=90度，将三角形CDF绕点D旋转90度后，点C落在点B处，点F落在点F′处。则三角形CDF全等于三角形BDF′，所以CF=BF′。又因为角EDF=90度，角CDF+角BDE=90度，可证点E与F′重合，从而DE=DF。本题综合性较强，教师可根据学生掌握情况决定是否当堂讲解，或作为课后思考题。学生独立完成练习1和练习2，教师巡视指导，个别面批。练习3让学有余力的学生尝试。此环节约10分钟。（五）课堂小结，知识结构化教师引导学生围绕三个问题展开总结：5.旋转作图的一般步骤是什么？每一步的理论依据是什么？6.旋转的性质在解决问题中有哪些应用方式？最关键的是抓住什么？7.通过本节课的学习，你对旋转变换有了哪些新的认识？学生在小组内交流后，教师请2至3名学生全班