2027届湖南长沙实验中学高三一模数学试题及答案

本试卷共5页，19题满分150分时量120分钟2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.集合A={x∈NIx²-2x-3≤0},B={xlx<3},则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{3.函数f(x)=3x-3的值域是则定义域为()4、余弦曲线y=cosx在点处的切线方程为()5.已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin2a=()B.B.A.6n-3B.6n7.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数，f(x-1)关于点(3,3)成中心对称，则下列说A.f(x)的一个周期为2B.f(22)=3C.f(x)的一条对称轴为x=4D.∑¹91f(i)=548.记函数f(x)的导函数为f’(x),已知f(3)=1,且Vx∈R,f'(x)>f(x),若关于x的不等式f(ax+1)<eax-2在x∈[1,3]上恒成立，则a的取值范围为()二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)A.函数f(x)的最大值为2B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的图象关于点对称D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)=sin2x的图象10.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,E,F分别是AD,DD₁的中点，点P是底A.存在点P,使得FP//平面ABC₁D₁B.异面直线BA₁与EF所成的角的大小为60°C.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形D.若D₁P//平面A₁BC₁,则点P的轨迹的长度为2√2A.函数f(x)在R上单调递增C.函数F(x)=√5f(x)-2x不存在零点三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)13.设随机变量X服从正态分布N(10,o²),P(X>17)=m,P(3≤X≤10)=n,则m²+n²的最小14.已知函数f(x)=cos⁴x+sin⁴x+asin4x-b,且为奇函数，若关于x的方程四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应骤)16.(15分)如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，(2)若平面AB₁E与平面ABCD夹角的余弦值为引，求λ的值.17.(15分)已知抛物线C:y²=2px(p>0))的焦点为(1)求C的方程；(2)过F的直线与C交于A,B两点，若P在以AB为直径的圆上，求△ABP的面积.18、(17分)某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备(第1阶段)、量子纠缠校准(第2阶段)和逻辑门操作验证(第3阶段)测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段，一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程。已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为,且每次测试相互独立.记事件A(n≥3)为“该工程师第n次测试后芯片合格”.(2)记“第k(2≤k≤n-1)次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件B,记“第k+1至n-1次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第n次通过”为事件Ck+1,求P(B),P(Ck+1),并求P(A.)19.(17分)定义F(x)=ef(x).(3)当f(x)=xa时，求最大的整数m,使得存在a∈(0·1),对任意x∈(0,+∞),都有不等式因为B={xlx<3},所以A∩B={0,1所以a+kb=(1+2k,-2+4k),a所以-1(1+2k)-6(-2+4k)=0,解得故-2<x-3≤2,解得1<x≤5,所以r【详解】∵对任意大于1的正整数n,点(a,a₄-1)在直线x-y-g(x)=g(2-x)=-g(2+x)=-g(1-(1+x))=-g(-x)=-8(2-(2+x)=g(2+(2+g(1)+g(3)=0,g(2)=0,g(0)=0,g(,B错.周期.可得即g(ax+1)<g(3),等价于a根据图象平移变换(左加右减)判断D选项.因为E,F分别是AD,DD₁的中点，所以EF//AD,因为EHI/AB,同理可得EH因为EH∩EF=E,EH,EFC平面EHF,所以平面EHF//平面ABC₁D₁,因为BC₁//AD₁,BC₁c平面ABC₁,AD₁α平面A₁BC₁,所以AD₁//平面ABC₁,所以平面ACD₁//平面ABC₁,所以D₁P//平面ABC₁,试卷第4页(共16页)对于B:将4x|x|-5y|y|=20中的x替换成-V,3替换成一x,所以,故D正确.故2-m=0且m+2≠0,即m=2.因为m²+n²≥2mn,得2(m²+n²)≥m²+n²+2mm,奇函数不含余弦项，故cos4x的系数为0,则f(0)<-m<f(x)mx或f(x)min<-m<f(0),即2远②,试卷第7页(共16页)AB=√6,∠ABC=45°,∠ACB∴BC=√3+1(负数舍),如图1,连接BD,设AC₁∩BD₁=0.所以O为对角线BD的中点.所以B₁D//平面AC₁E.【详解】(1)略(2)如图2,设CD的中点为F,连接AF.取x=1,则,所以试卷第9页(共16页)因为点P(x₀,2)在抛物线上，所以2(2)由(1)知，F(1,0),P(1,2),易知过点F的直线AB斜率不为0,设其方程为x=my+1,将x=my+1代入y²=4x,x+x₂=(my+1)+(my₂+1)=m(y+v₂)+xY·x₂=(my+1)·(my₂+1)=m²y₁V₂+m(y₁+PA=(x₂-1,y₁-2),PB=(x₂-1即xx₂-(x₁+x₂)+1+yYV₂-2(y+v₂当m=0时，直线为x=1,此时A(1,2),B(1,-2),但A与P(1,2)重合，舍去.②,则(3)依题意，又因为故P(BIA+)<P(A₄+IB).则F(x)=e)≥f(x)+1.当x>-1时，x+1>0,可得方程可化为sinx=In(x+1,因此,使得u(x)=0,综上所述，函数g(x)有且仅有2个零点.性，可得,令t>0,可得G(x)m.=P(t)=-ln(t+1)-tlnt+t,