人教版数学八年级上册 寒假作业06 分式（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

分式（知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共71题）知识梳理技巧点拨TOC\o"1-2"\h\u 2知识点梳理01：分式相关概念 2知识点梳理02：分式的基本性质 3知识点梳理03：分式的变号法则 3知识点梳理04：分式的约分，最简分式 3知识点梳理05：分式通分（找最简公分母） 3知识点梳理06：分式的乘除 3知识点梳理07：分式的乘方 4知识点梳理08：同分母分式的加减 4知识点梳理09：异分母分式的加减 4知识点梳理10：科学记数法 5知识点梳理11：零指数 5知识点梳理12：分式方程的概念 5知识点梳理13：分式方程的解法 5优选题型考点讲练 5考点1：分式的判断 5考点2：分式无意义的条件 6考点3：分式有意义的条件 6考点4：分式值为零的条件 6考点5：判断分式变形是否正确 6考点6：利用分式的基本性质判断分式值的变化 6考点7：约分 7考点8：最简分式 7考点9：最简公分母 7考点10：通分 8考点11：分式乘法 8考点12：分式除法 8考点13：分式乘除混合运算 9考点14：分式乘方 9考点15：含乘方的分式乘除混合运算 9考点16：同分母分式加减法 10考点17：异分母分式加减法 10考点18：分式加减乘除混合运算 10考点19：分式化简求值 10考点20：负整数指数幂 11考点21：用科学记数法表示绝对值小于1的数 11考点22：解分式方程(化为一元一次) 11考点23：根据分式方程解的情况求值 11考点24：分式方程无解问题 12考点25：列分式方程 12考点26：分式方程的行程问题 12考点27：分式方程的工程问题 13考点28：分式方程的经济问题 13中考真题实战演练 14难度分层拔尖冲刺 15基础夯实 15培优拔高 15知识点梳理01：分式相关概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0知识点梳理02：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知识点梳理03：分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.知识点梳理04：分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.知识点梳理05：分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积知识点梳理06：分式的乘除分式的乘除法运算乘法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即除法分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即知识点梳理07：分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.⑴、（是正整数）⑵、（是正整数）⑶、（是正整数）⑷、（，是正整数，）⑸、（是正整数）⑹、（，n是正整数）知识点梳理08：同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.注意：“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.知识点梳理09：异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.注意：异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.知识点梳理10：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于1的数，也能写成a10n的形式，其中n是正整数，1a10，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则10d的指数n=m+1．知识点梳理11：零指数a0=1(a≠0)知识点梳理12：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点梳理13：分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.考点1：分式的判断【典例精讲】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列式子是分式的是（

）A．35 B．x5 C．5x【变式训练】（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式b3a,xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点2：分式无意义的条件【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）当x=时，分式2x−3【变式训练】（22-23八年级上·全国·阶段练习）若分式xx−2无意义，则x的值为（

A．±2 B．−2 C．2 D．0考点3：分式有意义的条件【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若分式2x−3有意义，则x的取值范围是（

A．x≠0 B．x=0 C．x≠3 D．x=3【变式训练】（23-24八年级上·重庆·期中）若分式x−1x+2有意义，则x的取值范围是（

A．x>2 B．x>−2 C．x≠2 D．x≠−2考点4：分式值为零的条件【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式x2−16x−4的值为零，则xA．x=±4 B．x=4 C．x=−4 D．x=−4或0【变式训练】（24-25八年级上·山东济宁·期中）若分式x−1x+1的值为0，则（A．x=±1 B．x=1 C．x=−1 D．x=0考点5：判断分式变形是否正确【典例精讲】（25-26八年级上·北京房山·期中）下列等式成立的是（）A．x6x2=x3 B．x+a【变式训练】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）y−xx2−y2=−1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考点6：利用分式的基本性质判断分式值的变化【典例精讲】（25-26八年级上·河北·期中）如果把分式xyx+y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（

A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为13倍 【变式训练】（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）若将分式−xx2−xy中的x，yA．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定考点7：约分【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：x3x=A．x B．x2 C．x3 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简下列各式：(1)x2(2)a2考点8：最简分式【典例精讲】（25-26八年级上·湖南·阶段练习）若Δ6y3−3y是一个最简分式，则A．2y B．3x C．4x D．6y【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）下列分式中是最简分式的是（）A．2xx2+1 B．x−1x2−1考点9：最简公分母【典例精讲】（23-24八年级下·吉林四平·期末）分式1x2−y2A．x2−yC．x2−y【变式训练】（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）分式1ab，−2bc，3考点10：通分【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课前预习）通分：(1)23x(2)1a+2与1【变式训练】（23-24八年级上·全国·课后作业）通分：(1)x−y，2y(2)29−3a，a−1a2考点11：分式乘法【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（

）A．8y23C．x2−4xx+3【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算ba⋅aA．ba B．ab C．1b考点12：分式除法【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)2m5n(2)x5y【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：aa−1÷aA．1 B．a C．a−1 D．1考点13：分式乘除混合运算【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）计算：(1)2(2)x+2【变式训练】（2025·江西宜春·三模）下列代数式中计算的结果等于a的是（

）A．a÷1a÷a B．a÷1a÷a考点14：分式乘方【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)−x(2)3a【变式训练】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算：(1)ab2c3=(2)xyx−y考点15：含乘方的分式乘除混合运算【典例精讲】（22-23八年级上·全国·期中）化简x3yzA．y2−z3x2 B．x【变式训练】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算：x2y2考点16：同分母分式加减法【典例精讲】（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）化简x2−2x−1A．x+1 B．x C．x−1 D．x−2【变式训练】（2024·广东·模拟预测）计算3mm−1+3A．3 B．3m+3 C．2 D．6m考点17：异分母分式加减法【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：aA．−1 B．1 C．a D．a−1【变式训练】（25-26八年级上·广西北海·阶段练习）计算：2x−1+考点18：分式加减乘除混合运算【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：aa−b【变式训练】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）先化简，再求值：a2−4a2−a考点19：分式化简求值【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：2x2−8x+8【变式训练】（23-24八年级下·四川乐山·期末）化简x+1x2−x−2x−1考点20：负整数指数幂【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算：2025−π【变式训练】（23-24八年级下·吉林四平·期末）计算：(π−2)考点21：用科学记数法表示绝对值小于1的数【典例精讲】（25-26八年级上·上海闵行·期中）目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为200纳米，已知1纳米=10−9米．用科学记数法表示200纳米为【变式训练】（25-26八年级上·上海普陀·期中）用科学记数法表示−0.000000325为．考点22：解分式方程(化为一元一次)【典例精讲】（25-26八年级上·河北唐山·期中）若分式4x−2和2−22−x的值相等，则xA．3 B．1 C．−2 D．−3【变式训练】（25-26八年级上·北京房山·期中）解分式方程：(1)2xx+3−1=1(2)3x−1考点23：根据分式方程解的情况求值【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的方程2−xx−5+mx−5=0A．−3 B．5 C．−3和5 D．3【变式训练】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如果方程5x−42x−4=2x+k考点24：分式方程无解问题【典例精讲】（2024八年级上·浙江宁波·竞赛）已知关于x的分式方程3−2xx−3+9−mx3−x=−1A．1 B．3 C．4 D．1或4【变式训练】（2023八年级上·甘肃平凉·竞赛）分式方程xx−1+k考点25：列分式方程【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）若分式2x−1与分式3x−2的值相等，则x=【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，设B种绿植单价是x元，则可列方程是（

）A．67503x−50=3000C．67503x+50=3000考点26：分式方程的行程问题【典例精讲】（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（

）A．200x=200C．200x×3=200【变式训练】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为50km，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少9考点27：分式方程的工程问题【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？【变式训练】（24-25八年级上·四川泸州·期末）某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？考点28：分式方程的经济问题【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）哈尔滨的冻梨是一种传统的冬季水果，很受当地人喜爱．哈尔滨当地某水果店以4000元购进一批冻梨进行售卖，第一批冻梨销售完后，又调拨7200元购进第二批冻梨，但第二批冻梨的进价比第一批的进价每千克少0.4元，购进的冻梨数量是第一批的2倍．(1)第一批和第二批冻梨的进价分别为每千克多少元？(2)若水果店将冻梨按每千克6元的价格售卖，销售了2000千克后，剩下的冻梨以定价的八折售卖完，则该水果店在两批冻梨售卖中的利润为多少元？【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）某公司将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9万元，第二年为10万元．请你根据以上条件提出一个问题，并用分式方程解决这个问题．1．（2024·广西·中考真题）已知1a+1b=2．（2024·重庆·中考真题）3x+1−x2−1x+1÷x3.（2024·贵州·中考真题）已知x−4x2−5x+6=Ax−2−Bx−3A．6 B．7 C．10 D．134.（2024·辽宁·中考真题）若关于x的方程有xx−3−2=mx−3增根，则A．m=−3 B．m=−1 C．m=3 D．m=15．（2024·江苏·中考真题）先化简，再求值：1−x−2−5x+2÷基础夯实1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列式子是分式的是（

）A．35x B．35x C．32．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式2−xx+2的值是零，则x的值是（A．x=0 B．x=±2 C．x=−2 D．x=23．（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示：0.00026000001=．4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知分式x2−1x+1的值为0，则5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）化简：(1)2aa−2(2)2xx(3)x2(4)a2培优拔高6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程x+m4−x2A．m=2或m=6 B．m=2 C．m=6 D．m=2或m=−67．（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知a1=x（x≠0且x≠1），a2=11−a1，a3A．13 B．14 C．−18．（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程x−2x+2−ax29．（2025八年级上·河北·专题练习）已知xa+yb+zc10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机的训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同．(1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？(2)若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量．

分式（知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共71题）知识梳理技巧点拨TOC\o"1-2"\h\u 2知识点梳理01：分式相关概念 2知识点梳理02：分式的基本性质 2知识点梳理03：分式的变号法则 2知识点梳理04：分式的约分，最简分式 3知识点梳理05：分式通分（找最简公分母） 3知识点梳理06：分式的乘除 3知识点梳理07：分式的乘方 3知识点梳理08：同分母分式的加减 4知识点梳理09：异分母分式的加减 4知识点梳理10：科学记数法 4知识点梳理11：零指数 5知识点梳理12：分式方程的概念 5知识点梳理13：分式方程的解法 5优选题型考点讲练 5考点1：分式的判断 5考点2：分式无意义的条件 6考点3：分式有意义的条件 6考点4：分式值为零的条件 7考点5：判断分式变形是否正确 8考点6：利用分式的基本性质判断分式值的变化 9考点7：约分 9考点8：最简分式 10考点9：最简公分母 11考点10：通分 12考点11：分式乘法 13考点12：分式除法 13考点13：分式乘除混合运算 14考点14：分式乘方 15考点15：含乘方的分式乘除混合运算 16考点16：同分母分式加减法 17考点17：异分母分式加减法 18考点18：分式加减乘除混合运算 18考点19：分式化简求值 19考点20：负整数指数幂 21考点21：用科学记数法表示绝对值小于1的数 21考点22：解分式方程(化为一元一次) 22考点23：根据分式方程解的情况求值 23考点24：分式方程无解问题 24考点25：列分式方程 25考点26：分式方程的行程问题 26考点27：分式方程的工程问题 27考点28：分式方程的经济问题 28中考真题实战演练 29难度分层拔尖冲刺 32基础夯实 32培优拔高 35知识点梳理01：分式相关概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；分式有意义的条件：B≠0；分式值为0的条件：分子=0且分母≠0知识点梳理02：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知识点梳理03：分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.知识点梳理04：分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.知识点梳理05：分式通分（找最简公分母）与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次幂的积知识点梳理06：分式的乘除分式的乘除法运算乘法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即除法分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即知识点梳理07：分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.⑴、（是正整数）⑵、（是正整数）⑶、（是正整数）⑷、（，是正整数，）⑸、（是正整数）⑹、（，n是正整数）知识点梳理08：同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.注意：“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.知识点梳理09：异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.注意：异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.知识点梳理10：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于1的数，也能写成a10n的形式，其中n是正整数，1a10，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则10d的指数n=m+1．知识点梳理11：零指数a0=1(a≠0)知识点梳理12：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.知识点梳理13：分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.考点1：分式的判断【典例精讲】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列式子是分式的是（

）A．35 B．x5 C．5x【答案】C【思路点拨】本题考查了分式的定义，根据分母含有未知数且不为0，进行逐项分析，即可作答．【规范解答】解：A、35B、x5C、5xD、πx−3是多项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；故选：C．【变式训练】（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式b3a,xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路点拨】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如AB，B【规范解答】解：在代数式b3a,x故选D．考点2：分式无意义的条件【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）当x=时，分式2x−3【答案】3【思路点拨】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母为0时分式无意义是解题的关键．根据分式无意义的条件，即分母为0时，分式无意义，所以只需令分母x−3=0，求解x的值即可．【规范解答】解：∵分式2x−3∴x−3=0，∴x=3．故答案为：3．【变式训练】（22-23八年级上·全国·阶段练习）若分式xx−2无意义，则x的值为（

A．±2 B．−2 C．2 D．0【答案】C【思路点拨】本题考查了分式无意义的条件“分式的分母等于0”，熟练掌握分式无意义的条件是解题关键．根据分式无意义的条件：分式的分母等于0求解即可得．【规范解答】解：∵分式xx−2∴x−2=0，∴x=2，故选：C．考点3：分式有意义的条件【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若分式2x−3有意义，则x的取值范围是（

A．x≠0 B．x=0 C．x≠3 D．x=3【答案】C【思路点拨】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的核心：分母不等于零．根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解不等式得到x的取值范围，再匹配选项得出答案．【规范解答】解：分式有意义的条件是分母不为零，对于分式2x−3，需满足分母x−3≠0，解得x≠3故选：C．【变式训练】（23-24八年级上·重庆·期中）若分式x−1x+2有意义，则x的取值范围是（

A．x>2 B．x>−2 C．x≠2 D．x≠−2【答案】D【思路点拨】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解即可得到答案．【规范解答】解：∵分式x−1x+2∴x+2≠0，∴x≠−2，故选：D．考点4：分式值为零的条件【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式x2−16x−4的值为零，则xA．x=±4 B．x=4 C．x=−4 D．x=−4或0【答案】C【思路点拨】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式值为零的条件可得x2−16=0且【规范解答】解：∵分式x2∴x2−16=0且解得：x=−4．故选：C【变式训练】（24-25八年级上·山东济宁·期中）若分式x−1x+1的值为0，则（A．x=±1 B．x=1 C．x=−1 D．x=0【答案】B【思路点拨】本题考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，列式求解即可．分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【规范解答】解：由题意得：x−1=0解得：x=1，故选：B．考点5：判断分式变形是否正确【典例精讲】（25-26八年级上·北京房山·期中）下列等式成立的是（）A．x6x2=x3 B．x+a【答案】C【思路点拨】本题考查了分式的基本性质，通过检查每个等式的恒等性，使用分式的基本性质和指数运算法则判断即可．【规范解答】解：A、x6B、x+ax+b与ab在x不为零时不一定相等（如x=1,a=1,b=2，左边=2C、−x+y=−(x−y)，−x+yx−y=−(x−y)D、x2+1x+1=x2−1+2故选：C．【变式训练】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）y−xx2−y2=−1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【思路点拨】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性．【规范解答】解：（1）y−xx（2）b−ac−a（3）分子、分母同时乘以−1，分式的值不变，即−x+y−x−y综上所述，正确的变形有1个．故选：B．考点6：利用分式的基本性质判断分式值的变化【典例精讲】（25-26八年级上·河北·期中）如果把分式xyx+y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（

A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为13倍 【答案】B【思路点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．将x，y都扩大3倍后，代入分式化简，与原分式比较即可得出结果．【规范解答】解：∵x和y都扩大3倍，∴新分式为3x3y∴分式的值扩大3倍，故选：B．【变式训练】（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）若将分式−xx2−xy中的x，yA．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．无法确定【答案】C【思路点拨】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行化简即可得出答案．【规范解答】解：由于x，y都扩大10倍，∴−10x∴分式的值变为原来的110故选：C．考点7：约分【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：x3x=A．x B．x2 C．x3 【答案】B【思路点拨】本题考查了分式的约分，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分．分子与分母都除以x即可．【规范解答】解：x故选：B【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简下列各式：(1)x2(2)a2【答案】(1)x−3(2)a+2【思路点拨】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键：（1）分子分母先进行因式分解，再约去公因式即可；（2）分子分母先进行因式分解，再约去公因式即可．【规范解答】（1）解：x2（2）a2考点8：最简分式【典例精讲】（25-26八年级上·湖南·阶段练习）若Δ6y3−3y是一个最简分式，则A．2y B．3x C．4x D．6y【答案】C【思路点拨】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键．【规范解答】解：Δ6根据题意可得Δ可以表示的式子是4x，故选：C．【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）下列分式中是最简分式的是（）A．2xx2+1 B．x−1x2−1【答案】A【思路点拨】本题考查了最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，熟记最简分式的定义是解题关键．根据最简分式的定义逐项判断即可得．【规范解答】解：A、2xxB、x−1xC、ab−2bcD、y−12−2y故选：A．考点9：最简公分母【典例精讲】（23-24八年级下·吉林四平·期末）分式1x2−y2A．x2−yC．x2−y【答案】D【思路点拨】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．【规范解答】解：1x2−∴分式1x2−y2故选：D．【变式训练】（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）分式1ab，−2bc，3【答案】abc【思路点拨】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可．【规范解答】解：分式1ab，−2bc，3故答案为：abc考点10：通分【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课前预习）通分：(1)23x(2)1a+2与1【答案】(1)23x(2)1a+2=【思路点拨】本题考查通分，通分是将两个或多个分数的分母化为相同的数，这个相同的数就是它们的最简公分母．然后根据分式的基本性质，将分式化为以最简公分母为分母的分式．（1）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可；（2）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可．【规范解答】（1）解：∴最简公分母是12x∴23x2（2）解：∵最简公分母是a−2a+2∴1a+2=a−2【变式训练】（23-24八年级上·全国·课后作业）通分：(1)x−y，2y(2)29−3a，a−1a2【答案】(1)x2−(2)2a−3a+3−3a−3【思路点拨】本题考查了分式的通分，确定各分式的最简公分母即可．（1）最简公分母为x+y，据此即可求解；（2）最简公分母为−3a−3【规范解答】（1）解：x−y=x−y2y2（2）解：29−3aa−19考点11：分式乘法【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（

）A．8y23C．x2−4xx+3【答案】B【思路点拨】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．【规范解答】解：A、8yB、x2C、x2D、3xx−y故选：B．【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算ba⋅aA．ba B．ab C．1b【答案】C【思路点拨】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解决问题．约分为最简分式即可．【规范解答】解：ba故选：C．考点12：分式除法【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)2m5n(2)x5y【答案】(1)n(2)−【思路点拨】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式除法的运算法则．（1）先将除法转化为乘法，再进行约分计算．（2）先将除法转化为乘法，再进行约分计算．【规范解答】（1）解：原式=2m（2）解：原式=x【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：aa−1÷aA．1 B．a C．a−1 D．1【答案】D【思路点拨】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数，然后进行约分计算．本题主要考查了分式的除法运算，熟练掌握分式除法运算法则以及约分的方法是解题的关键．【规范解答】解：a===故选：D．考点13：分式乘除混合运算【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）计算：(1)2(2)x+2【答案】(1)7(2)−1【思路点拨】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握运算方法是解答本题的关键．（1）将原式中的除法转换为乘法后进行约分即可得到结果；（2）将原式中的除法转换为乘法后进行约分即可得到结果．【规范解答】（1）解：2==7（2）解：x+2==−1．【变式训练】（2025·江西宜春·三模）下列代数式中计算的结果等于a的是（

）A．a÷1a÷a B．a÷1a÷a【答案】A【思路点拨】化除为乘，按照运算顺序计算解答即可．本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．【规范解答】解：A.a÷1B.a÷1aC.a÷1D.a÷1故选：A．考点14：分式乘方【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)−x(2)3a【答案】(1)x(2)−【思路点拨】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式乘方法则计算即可.（1）根据分式的乘方法则计算即可；（2）根据分式的乘方法则计算即可．【规范解答】（1）解：−=x（2）解：3=−=−=−27【变式训练】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算：(1)ab2c3=(2)xyx−y【答案】(1)a3b(2)x【思路点拨】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方法则计算即可求解．【规范解答】（1）解：ab2c3=故答案为：a3b3（2）解：xyx−y考点15：含乘方的分式乘除混合运算【典例精讲】（22-23八年级上·全国·期中）化简x3yzA．y2−z3x2 B．x【答案】B【思路点拨】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可．【规范解答】解：x==x故选：B．【变式训练】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算：x2y2【答案】x8/【思路点拨】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键．先算乘方，然后再算乘法．【规范解答】解：x2y故答案为：x8考点16：同分母分式加减法【典例精讲】（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）化简x2−2x−1A．x+1 B．x C．x−1 D．x−2【答案】A【思路点拨】本题主要考查了分式的减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．【规范解答】解：x====x+1，故选：A．【变式训练】（2024·广东·模拟预测）计算3mm−1+3A．3 B．3m+3 C．2 D．6m【答案】A【思路点拨】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可．【规范解答】解：3mm−1故选：A．考点17：异分母分式加减法【典例精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：aA．−1 B．1 C．a D．a−1【答案】B【思路点拨】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键．先将分母化为同分母，再进行计算即可．【规范解答】解：a===1．故选B．【变式训练】（25-26八年级上·广西北海·阶段练习）计算：2x−1+【答案】−2【思路点拨】本题主要考查了异分母分式加减，先通分，再根据同分母分式的加减法法则计算.【规范解答】解：原式=2故答案为：−2.考点18：分式加减乘除混合运算【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：aa−b【答案】b【思路点拨】本题考查了分式的加减乘除混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分，最后进行分式的减法运算．【规范解答】解：a====b【变式训练】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）先化简，再求值：a2−4a2−a【答案】a−2a−1【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，平方差公式的运用，根据平方差公式计算化简除号前面的式子，通分括号里的式子，再将除法变为乘法约分，根据分式有意义的条件得到a=−1，再代入求值即可．【规范解答】解：a====a−2∵a≠0，a−1≠0，a+2≠0，∴a≠0，a≠1，a≠−2，∴a=−1，当a=−1时，原式=−1−2考点19：分式化简求值【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：2x2−8x+8【答案】2x−3x+2；【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，先因式分解，并约分，再根据同分母分式加减法法则计算，然后代入求值．【规范解答】解：原式=====2x−3当x=1时，原式=【变式训练】（23-24八年级下·四川乐山·期末）化简x+1x2−x−2x−1【答案】x2【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的分式进行通分计算，然后把括号外面的除法转化成乘法计算，最后再选择合适的值代入求解即可．【规范解答】解：x+1======x当x=1，−1，0时，分式无意义，故当x=2时，x2考点20：负整数指数幂【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算：2025−π【答案】1.1+【思路点拨】本题主要考查了实数混合运算，属于基础题，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，绝对值意义，进行计算即可．【规范解答】解：(2025−π)=1−=1−2.5+=1.1+5【变式训练】（23-24八年级下·吉林四平·期末）计算：(π−2)【答案】−3【思路点拨】本题考查零次幂、负整数指数幂的运算，根据任何非零的数的零次方为1及负整数指数幂的定义计算即可．【规范解答】解：π−2故答案为：−3．考点21：用科学记数法表示绝对值小于1的数【典例精讲】（25-26八年级上·上海闵行·期中）目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为200纳米，已知1纳米=10−9米．用科学记数法表示200纳米为【答案】2×【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，【规范解答】解：200纳米=200×10故答案为：2×10【变式训练】（25-26八年级上·上海普陀·期中）用科学记数法表示−0.000000325为．【答案】−3.25×【思路点拨】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数，表示时关键是要正确确定【规范解答】解：−0.000000325=−3.25×10故答案为：−3.25×10考点22：解分式方程(化为一元一次)【典例精讲】（25-26八年级上·河北唐山·期中）若分式4x−2和2−22−x的值相等，则xA．3 B．1 C．−2 D．−3【答案】A【思路点拨】本题主要考查了解分式方程，由分式4x−2和2−22−x【规范解答】解：∵分式4x−2和2−∴4x−24=2x−24=2x−4+24+4−2=2x，2x=6，x=3，经检验，x=3是原方程的解，故选：A．【变式训练】（25-26八年级上·北京房山·期中）解分式方程：(1)2xx+3−1=1(2)3x−1【答案】(1)x=4(2)x=−【思路点拨】（1）根据解分式方程的步骤解答即可；（2）先对分式方程的分母进行因式分解，再根据解分式方程的步骤解答即可；本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【规范解答】（1）解：方程两边乘以x+3，得2x−x+3解得x=4，检验：当x=4时，x+3=4+3=7≠0，∴x=4是原方程的解；（2）解：方程可化为3x−1方程两边乘以xx−1，得3x+x+2=0解得x=−1检验：当x=−12时，∴x=−1考点23：根据分式方程解的情况求值【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的方程2−xx−5+mx−5=0A．−3 B．5 C．−3和5 D．3【答案】D【思路点拨】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解．【规范解答】解：∵2−xx−5∴x−5=0的解为方程的增根，∴x=5为方程的增根，∴2−x2−x+m=0m=−2+x，将x=5代入得，m=−2+x=−2+5=3，故选D．【变式训练】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如果方程5x−42x−4=2x+k【答案】x=2【思路点拨】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程的增根是整式方程的解，并且使分式方程分母为0即可求解，熟记增根特点是解题的关键．【规范解答】解：∵方程5x−42x−4∴x−2=0，解得：x=2，故答案为：x=2．考点24：分式方程无解问题【典例精讲】（2024八年级上·浙江宁波·竞赛）已知关于x的分式方程3−2xx−3+9−mx3−x=−1A．1 B．3 C．4 D．1或4【答案】C【思路点拨】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：m−1x=9，可知当m−1=0时，方程m−1x=9无解，当m−1≠0时，方程的解为x=9m−1，因为分式方程的解为增根，所以可得：【规范解答】解：3−2xx−3去分母得：3−2x−9−mx去括号得：3−2x−9+mx=−x+3，移项得：−2x+mx+x=3−3+9，合并同类项得：m−1x=9当m−1=0时，方程m−1x=9此时m=1；当m−1≠0时，可得：x=9∵分式方程3−2xx−3∴9解得：m=4，检验：当m=4时，原方程的增根为x=3，符合题意；∴当m=4时，分式方程3−2xx−3故选：C．【变式训练】（2023八年级上·甘肃平凉·竞赛）分式方程xx−1+k【答案】k=−1【思路点拨】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入到整式方程，求出k的值即可．【规范解答】解：方程两边同时乘以x+1x−1，得：x整理得：k+2x+k=0∵分式方程有增根，∴x+1x−1∴x=−1或x=1，当x=−1时，整式方程无解，不符合题意；当x=1时，则：k+2+k=0，解得：k=−1；综上：k=−1．考点25：列分式方程【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）若分式2x−1与分式3x−2的值相等，则x=【答案】−1【思路点拨】此题考查了解方式方程，根据题意列出分式方程，求出解后要检验是否是增根．【规范解答】解：根据题意得：2x−1去分母得：2x−2解得：x=−1，经检验x=−1是分式方程的根．故答案为：−1．【变式训练】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，设B种绿植单价是x元，则可列方程是（

）A．67503x−50=3000C．67503x+50=3000【答案】C【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．【规范解答】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是3x元，根据题意得：67503x故选：C．考点26：分式方程的行程问题【典例精讲】（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（

）A．200x=200C．200x×3=200【答案】B【思路点拨】本题考查列分式方程，设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则燃油汽车平均每公里的加油费是x+0.4元，根据“若充电费和燃油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍”可列出分式方程，理解题意并找到等量关系是解题的关键．【规范解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则燃油汽车平均每公里的加油费是x+0.4元，依题意，得：200x故选：B．【变式训练】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为50km，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少9【答案】地铁的平均速度为40千米/时【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为10x千米/时，由题意：A，B两站之间的距离为50km，乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少9【规范解答】解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为10x千米/时，由题意得：50x解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，答：地铁的平均速度为40千米/时．考点27：分式方程的工程问题【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？【答案】甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道．【思路点拨】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘1.5x米的隧道，根据挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天，列出分式方程，解方程即可．【规范解答】解：设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘1.5x米的隧道，根据题意得：240x解得：x=20，经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x=1.5×20=30．答：甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道．【变式训练】（24-25八年级上·四川泸州·期末）某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？【答案】甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米．【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设甲工程队每天改造道路的长度是x米，则乙工程队每天改造道路的长度是(x−20)米，根据甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同，列出分式方程，解方程即可．【规范解答】解：设甲工程队每天改造道路的长度是x米，则乙工程队每天改造道路的长度是(x−20)米，由题意得：480x解得：x=120，经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，∴x−20=100，答：甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米．考点28：分式方程的经济问题【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）哈尔滨的冻梨是一种传统的冬季水果，很受当地人喜爱．哈尔滨当地某水果店以4000元购进一批冻梨进行售卖，第一批冻梨销售完后，又调拨7200元购进第二批冻梨，但第二批冻梨的进价比第一批的进价每千克少0.4元，购进的冻梨数量是第一批的2倍．(1)第一批和第二批冻梨的进价分别为每千克多少元？(2)若水果店将冻梨按每千克6元的价格售卖，销售了2000千克后，剩下的冻梨以定价的八折售卖完，则该水果店在两批冻梨售卖中的利润为多少元？【答案】(1)第一批每千克4元，第二批每千克3.6元(2)5600元【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，（1）设第一批冻梨的进价为每千克x元，则第二批冻梨的进价为每千克x−0.4元．根据题意列分式方程计算即可；（2）求出两次冻梨购进的数量，进而计算即可．【规范解答】（1）解∶设第一批冻梨的进价为每千克x元，则第二批冻梨的进价为每千克x−0.4元．根据题意可列方程4000x×2=7200经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意，∴x−0.4=3.6（元）．答∶第一批冻梨的进价为每千克4元，第二批冻梨的进价为每千克3.6元．（2）第一批冻梨购进的数量为4000÷4=1000（千克），∴第二批冻梨购进的数量为2000千克．根据题意可得2000×6+1000×6×0.8−4000−7200=12000+4800−11200=5600（元）．答：该水果店在两批冻梨售卖中的利润为5600元．【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）某公司将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9万元，第二年为10万元．请你根据以上条件提出一个问题，并用分式方程解决这个问题．【答案】见解析（答案不唯一）【思路点拨】本题考查了分式方程的实际应用．提出问题，设出未知数，列分式方程求解，检验后作答即可．【规范解答】解：提出问题：该公司共出租房屋多少间？解决问题：设该公司共出租房屋x间，根据题意，得100000x−90000经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．答：该公司共出租房屋20间．（答案不唯一）1．（2024·广西·中考真题）已知1a+1b=【答案】−1【思路点拨】本题考查了分式的化简求值．根据1a+1b=【规范解答】解：1a即a+bab整理得：a2ba将a2−b故答案为：−1．2．（2024·重庆·中考真题）3x+1−x2−1x+1÷x【答案】−3【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤和分式的运算法则．对分式进行化简，然后确定x的取值，最后代入求值即可．【规范解答】解：3===−=−−2≤x≤2的整数值可取−2,−1,0,1,2，∵x+1≠0,x≠0,x−2≠0，∴x≠−1,x≠0,x≠2，∴x=−2或x=1，当x=−2时，−2当x=1时，−2∴−3+0=−3，故答案为：−3．3.（2024·贵州·中考真题）已知x−4x2−5x+6=Ax−2−Bx−3A．6 B．7 C．10 D．13【答案】B【思路点拨】本题考查了已知字母的值求代数式的值，异分母分式加减法，构造二元一次方程组求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．先将等式右边通分，根据等式两边相等，得到关于A、B的方程组求解，再代入4A−B求值．【规范解答】解：A=Ax−Bx+2B−3A∵x−4x∴A−B=1①2B−3A=−4②∴4A−B=4×2−1=7，故选：B．4.（2024·辽宁·中考真题）若关于x的方程有xx−3−2=mx−3增根，则A．m=−3 B．m=−1 C．m=3 D．m=1【答案】C【思路点拨】本题主要考查分式方程增根的定义，是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义是解题的关键．根据分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值可得增根为x=3，再将分式方程化成整式方程并把x=3得到关于m的方程求解即可．【规范解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x−3=0，解得x=3，即增根为3，方程两边同乘x−3，得x−2x−3把x=3代入x−2x−3=m可得：3−23−3故选C．5．（2024·江苏·中考真题）先化简，再求值：1−x−2−5x+2【答案】63−x【思路点拨】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，最后运算减法，得63−x，再把x=2【规范解答】解：1−=1−=1−=1−=1−=1−===6把x=2代入63−x，得6基础夯实1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列式子是分式的是（

）A．35x B．35x C．3【答案】B【思路点拨】本题考查了分式的判定．分式是指分母中含有字母的代数式．选项B的分母5x中含有字母x，因此是分式．【规范解答】解：∵分式需满足分母中含有字母，A、式子35B、式子35x中，分母为5x，