5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大九年级数学上册

认识二次函数5北师版九年级上册你是否注意到喷泉水流所经过的路线？你是否注意到篮球入篮的路线？情景导入它们会与某种函数有联系吗？1.什么是函数？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。2.目前，我们已经学习了哪些函数？一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)探究新知

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？多种一些橙子树自变量树之间的距离每一棵树所接受的阳光平均每棵树就会少结5个橙子因变量

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？100

+x600－5x（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式是什么？x

能取哪些值？y=(600－5x)(100+x)=－5x2+100x+60000

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。y=(600－5x)(100+x)=－5x2+100x+60000

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。自变量x

表示多种橙子树的棵树x≥0600－5

x

表示平均每棵橙子树结的果数600－5x≥0x≤120（1）某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y

万元，那么y

与x

之间的关系式是什么？x

能取哪些值？尝试·思考y=20(1+x)(1+x)对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数。=20x2+40x+20x

可以取任意值（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2

吗？可能是75cm2

吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm2，那么y

与x

之间的关系式是什么？x

能取哪些值？尝试·思考当矩形的长和宽都是10cm时，S=10×10=100（cm2）当矩形的长是15cm，宽是5cm时，S=15×5=75（cm2）（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2

吗？可能是75cm2

吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm2，那么y

与x

之间的关系式是什么？x

能取哪些值？尝试·思考y=x（40÷2－x）=－x2+20x

x

＞040÷2－x＞00＜x＜20（3）两个数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y

与x

之间的关系式是什么？x

能取哪些值？尝试·思考y=x（20－x）=－x2+20xx

可以取任意值观察·交流y=20x2+40x+20x

可以取任意值（1）y=－

x2+20x0＜x＜20（2）y=－x2+20x（3）x

可以取任意值观察由上述问题得到的关系式：它们有什么共同特征？与同伴进行交流。y=－5x2+100x+600000

≤

x≤120二次函数定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数。概念归纳含自变量的代数式是整式化简整理后，自变量的最高次数是2二次项系数不为0a为二次项系数，ax2叫作二次项b为一次项系数，bx叫作一次项c为常数项①y=ax2（a≠0，b=0，c=0）②y=ax2+c（a≠0，b=0，c≠0）③y=ax2+bx（a≠0，b≠0，c=0）y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)二次函数的特殊形式：【注意】二次项系数、一次项系数、常数项均包括前面的符号。可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。S=a2(正方形面积与边长的关系)S=πr2(圆面积与半径的关系)h=gt2(自由落体下落高度与时间的关系)你还可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？……达标检测【选自教材P130随堂练习T1】1.下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？

y=－+3x2，y=x2－x3+25，

y=22+2x，

s=1+t+5t2最高次数项次数不为2次一次函数判断一个函数是否为二次函数的“三步骤”：形式看函数表达式是否为整式化简将函数表达式化简判断看系数、次数是否符合要求写出等边三角形的面积S

与其边长a

之间的关系式，并分别计算当a=1，，2时三角形的面积。【选自教材P130随堂练习T2】S=a2当a=1时，当a=时，当a=2时，二次函数定义右边是整式；自变量的指数是2；二次